Il y a des termes des développements (3), (3 bis) et

(3 ter) qui sont connus; ce sont ceux où

m = /n' = q = q' = Oj

les seuls qui subsistent quand les excentricités sont nulles; nous les avons déterminés au Chapitre précédent. Ils sont d'ailleurs les mêmes pour les trois développements, sauf la substitution de T^ elr/ à Ç et Ç'.

De ces termes connus, il s'agit de déduire les autres; et, pour cela, que nous adoptions les variables du n** 274 ou celles du n® 275, il nous suffira d'opérer tout à fait de la même manière qu'a» n** 273; on n'aura qu'à faire jouer à

«> ^'» ^li t/» «*• "' ou à

e, e', Tj, r/, a, u' le rôle que jouaient au n" 273 les quantités

On trouvera comme au n" 273 que le coefficient de

^//i g' m' J£«(/rr4-*-/>'r,'-4-7«-«-7'a')

OU celui de sera

A désignant le coefficient du terme en

tandis que 11'^^' est un opérateur qui n'est autre chose que le coefficient de

gm g m' J£i(7tt-(-7'tt ')

OU de

dans le développement de l'expression symbolique

suivant les puissances de ^E-'«, e'E-'«' ou celles de eE-'", s' £-'"'. On remarquera que, dans l'expression (7), j'ai remplacé D, et D',

LES OPERATEURS nS NEWCOMB. 91

par ip et ip'^ ainsi que nous avons démontré qu'on devait le faire à la fin du n" 273.

Seulement les opérateurs II sont beaucoup plus simples quand on adopte les variables du n*^ 274 et surtout quand on adopte celles du n" 275.

277. Il y a d'abord une remarque que nous devons faire et qui restera vraie que l'on adopte les variables des n"" 273, 274 ou 27o. L'expression symbolique (6) est le produit de deux autres

Il en est de même de l'expression (7), à la condition bien entendu de changer!^ et X^ en r\ et V; quant à D, et D'^ ils peuvent élre remplacés par ip et ip'^ ainsi que nous l'avons dit.

La première des deux expressions (8) ne dépend que de eE-^^, ou de eE-'", ou de eE-"*, la seconde au contraire ne dépend que de e'E=^''' ou de e'E=^'«', ou de e'E^'"'.

Appliquant en conséquence une remarque faite aun^ 272, nous voyons que l'opérateur II à quatre indices peut être considéré comme le produit de deux opérateurs à deux indices

Le premier facteur dépend seulement de D et de D| , c'est-à-dire de D et de p; le second de D'etdeD'p c'est-à-dire de D' et dey/. Mais de plus nous avons une relation entre D et D'. En eflet,

d log a da

et de même

Mais la fonction ~ est homogène et de degré — i en a et en d ,

Cette propriété n'est altérée ni par l'opération D, ni par l'opération D', elle appartiendra donc à toutes les fonctions auxquelles nous aurons à appliquer soit l'opérateur D, soit l'opérateur \y\

de sorte qu'on aura

^F , dV ^

da da' '

c'est-à-dire

Cela nous permet d'exprimer D' en fonction de D de sorte que nos opérateurs H seront des polynômes entiers par rapport à l'opérateur simple D et par rapport aux entiers p et p^ .

278. On rencontre de plus grandes simplifications encore quand on adopte les variables du n" 275. On a alors, en eflPet,

r I — 2E cosit -H e'

— =1 — ecosi£= r »

d'où

Reste le facteur

On observera que, en vertu de l'équation des aires,

'•'dt

= /la^

r' dv a* dl

dl

du

I — e cos « =

-eî

d'autre part

dv /i — e* I — e* I sE-'**

du I — e cos u 1 — 26 cos a -h e* i — e E^'* i — e E-'«

et en intégrant

A^ mi émi nii •

On voit que

ED»(«'-tii

se décomposera en deux facteurs, le premier dépendant seulement de eE'" comme le deuxième facteur de ( - ) , le deuxième dépendant seulement de eE-'« comme le troisième facteur de (-)"*. Mais

LES OPKRAi'EIJRS l)K NEWCOAJB. 97

il vaut mieux opérer coinine il suit. Considérons l'expression

Si la longitude du périhélie est, pour un instant, supposée nulle, elle est égale à

cos u — e -^ ismuyi — e* =

ou a

(I — £fc:-'«)«.

On aura donc, quelle que soit la longitude du périhélie,

Reprenons Texpression symbolique

Câ) *""•-'-& '"^'""-'{l)"^

elle pourra s écrire

Or, on a par la formule du binôme

la notation (D, Ar) ayant même sens qu'au Chapitre précédent. Ces formules nous donnent immédiatement nos opérateurs II. Si, en effet, nous tenons compte seulement d'abord des deux derniers facteurs et que nous posions

98 CHAMTBB XIX.

il viendra

(D-p^,-'!L±S,2Ltl){D^P+x-!l^,T^)

el ensuite

m -^ (Dli) H-n-. + <"-.'' ^> HS-» +. . ..

ou en mettant en évidence le terme général

On voit que tous nos opérateurs se présentent sous la forme de polynômes entiers en D.

M. Chessin préfère, au lieu de passer par les intermédiaires des développements (3 1er) et (3 bis)^ former directement les opérateurs qui donnent le développement (3). Ces opérateurs sont encore des polynômes en D, mais dont les coefficients sont beaucoups plus compliqués; mais M. Chessin a donné dans VAstrononiical Journal des relations de récurrence qui en facilitent beaucoup le calcul.

279. Une fois les opérateurs formés, il est aisé d'obtenir les développements eux-mêmes. Au Chapitre précédent, nous avons

développé - en supposant les excentricités nulles et cela sous plusieurs formes différentes. Nous avons trouvé d'abord

B étant égal à un polynôme de Gauss en v = sin=*-> multiplié par

un facteur numérique et par des puissances de |jl = cos^ - et

v = sin*'^-- C'est la formule (27) du Chapitre précédent. 11 s'agit alors de voir ce que c'est que

on trouve

LES OPERATEURS DE NRWCOMB. 99

a'w-hi -^ a'"»-^'

Il suffit donc de remplacer D, D', D, D', par m, — (m-f-i), Vî '/''j notre expression (6) devient tout simplement

et le développement (3) est ramené au suivant :

formule d^ailleurs évidente sans tant de détours.

Nous avons trouvé aifssi une autre forme de développement

1 Ad a' ^

p-^P' P-P' où B est égal à |jl ' '^ * ^ multiplié par la différence des carrés de

deux polynômes de Gauss. C'est la formule (26) du Chapitre précédent. Cette fois l'emploi des opérateurs se justifie. 11 faut appliquer nos opérateurs H à

et pour cela il faut savoir appliquer à cette expression l'opérateur simple D une ou plusieurs fois; or, on trouve

a 2 a da.

et les expressions

s'exprimeraient de même très simplement à l'aide des dérivées

supérieures du coefficient de Laplace 6^,*'. Or nous avons appris

au n° 230 à calculer par des relations de récurrence les dérivées successives des coefficients de Laplace. Le problème peut donc être considéré comme entièrement résolu.

CONVERGENCE DES SÉKIES.

280. Nous avons vu au n" 240 que la partie principale de la fonction perturbatrice - pouvait se développer, soit sous la forme

soit sous la forme

et au n"* 242 que les coeHicients de ces deux séries pouvaient s'exprimer par des intégrales définies

Kl) — 4^*B,„«= j I

dx dy

X'nym- ^ R(.r, r)

et

où

et où r intégra lion doit être étendue, tant par rapport à x que par rapport à %\ le long d'une circonférence ayant pour centre l'origine et pour ravou 1 unité.

Ces cocrticients }imm » ^mm *ont des fonctions de Tinclinaison, des excentricités, des longitudes des périhélies comptées à partir du uuHid et enfin des grands axes. Nous avons appris dans les deux