CONVERGENCE DES SERIES

Chapitres précédents à développer ces fonctions suivant les puissances des excentricités et des inclinaisons et il s'agit maintenant de savoir quelles sont les conditions de convergence de ces séries. Nous n'aurons pour cela qu'à appliquer la méthode de Cauchy et à chercher les points singuliers de ces fonctions.

281. Nous sommes donc ainsi amenés à expliquer comment on trouve les points singuliers des fonctions représentées par des intégrales définies et d'abord par des intégrales définies simples.

Soit

R(a?, z) dx,

une intégrale définie prise par rapport à :r le long d'un certain contour : cette intégrale sera alors fonction du paramètre z.

Pour que pour celte fonction une valeur de z soit critique, il faut d'abord que l'un des points singuliers de R(:r, 2), considérée comme fonction de x^ se trouve sur le contour d'intégration.

Mais, comme on peut déformer ce contour d'une manière continue, on peut le faire fuir devant le point singulier, et l'on n'est arrêté que lorsque ce contour se trouve pris entre deux points singuliers et ne peut plus fuir.

On obtiendra donc toutes les valeurs critiques de 3, en exprimant que Aexm des points singuliers de R, considérée comme fonction de x^ se confondent. Mais toutes les valeurs critiques ainsi trouvées ne conviennent pas; il faut, en effet, que les deux points singuliers qui se confondent ainsi soient, avant de s'être confondus, de part et d'autre du contour; c'est seulement à cette condition que le contour, pris entre deux feux, ne peut plus fuir.

Soit donc

l'équation qui exprime que la fonction R(:f, z) présente une singularité, et supposons qu'elle se décompose en un certain nombre d'équations indépendantes, trois par exemple :

«p,(a7, ^) = o, ©2(2?, «) = o, <pj(ar, ^) = o.

On obtiendra les valeurs critiques de z de l'une des deux manières suivantes :

i** En annulant deux des trois fonctions ^ 1, cpj, fa, et en écri-

vant, par exemple,

^iiX, Z) = 9i(T, Z) =0.

En éliminant x et résolvant par rapport à z, on aura une valeur critique de z.

2° En annulant Tnne de ces trois fonctions et sa dérivée et écrivant, par exemple,

On aura encore une valeur critique de 3, en éliminant x et résolvant par rapport à z.