Considérons maintenant une intégrale double

/ / R(:r.7, z)dx(ly,

envisagée comme fonction du paramètre :; et étendue à un champ quelconque.

Le cas particulier le plus simple est celui où l'on doit intégrer par rapport à x, le long d'un contour fixe indépendant de/, et par rapport à )', le long d'un contour fixe indépendant de x. C'est précisément ce cas particulier simple que l'on rencontre en ce qui concerne les intégrales (i) et (2 ).

Ici, en effet, les deux contours C.r et C^ indépendants, le premier de r, le second de Xj sont deux circonférences de centre zéro et de rayon 1 , le premier dans le plan des x^ le second dans le plaa des/.

Soient donc Cx et Cy les deux contours fixes d'intégration par rapport k x et ky. Soit

ô(7'^) = / ^(x,y,z)dx.

l'intégrale étant prise le long de C^.

Notre intégrale double sera alors

l'intégrale étant prise le long de C^.

CONVERGENCE DES î^ÉRIES. Io3

Nous n'avons plus qu'à appliquer les principes du numéro précédent aux deux intégrales simples

JR dx, Te dy.

Nous devons observer toutefois que nous risquons de n'obtenir ainsi que des conditions nécessaires et pas suffisantes. En effet, nous avons observé plus haut que toutes les valeurs critiques ne conviennent pas.

On obtiendra d'autres conditions également nécessaires en changeant de coordonnées, et en particulier en permutant .r et y, c'està-dire en intervertissant l'ordre des intégrations.

Soit

l'équation qui exprime que la fonction R. a une singularité- Décomposons cette équation en équations irréductibles

On obtiendra les singularités de la fonction 9(^, z) :

r* En annulant deux des fonctions o<, fa, 'fj et écrivant, par

exemple,

^\{^,y^^) = fiC^'J.'^) = o;

2° En annulant une des trois fonctions et sa dérivée et écrivant

Ces singularités peuvent ne pas toutes convenir, car il peut arriver que les deux points singuliers, qui se confondent, soient d'un même côté du contour d'intégration.

Pour avoir les singularités de *-r,(3), considérons maintenant celles de 0(j^, 5), qui nous seront données par des systèmes d'équations de Tune des deux formes

et cherchons les conditions pour que deux de ces singularités se confondent.

Si nous considérons z comme un paramètre, x et y comme les coordonnées d'un point dans un plan, les équations (3) représentent un certain nombre de courbes planes.

Les singularités de données par un système d'équations de la

forme

correspondront aux points d'intersection de ces courbes; celles qui seront données par un syslème de la forme

op, = -y- = o

correspondront aux points de contact d'une de ces courbes avec une tangente parallèle à l'axe des r.

Pour que deux de ces singularités se confondent, il faut :

i" Ou bien que trois des fonctions » s'annulent à la fois

2° Ou bien que l'on ait à la fois

mais, comme la condition ne doit pas dépendre du choix des coordonnées, et qu'en particulier elle doit subsister quand on permute X et )', on devra avoir aussi

et, par conséquent,

doi

' dx ^

<y«Pî __ dQ\ *' dx dv

ce qui veut dire que l'une des courbes (3) aura un point double; 3" Ou bien que les deux courbes

9, = o, <pj = o

soient tangentes l'une à l'autre :

4° Ou enfin que les deux courbes

dri,

"P' = °' rf7 = "

CONVERGENCE DES SÉRIES. Io5

soient tangentes Tune à l'autre. Mais cela entraîne : ou bien

OU bien -^ = o; mais, comme la condition ne doit pas changer quand on permute x et y^ on devra avoir dans tous les cas

En résumé, les valeurs critiques de z sont :

1** Celles pour lesquelles trois des courbes (3) se coupent en un même point;

2" Celles pour lesquelles deux de ces courbes sont tangentes; 3° Celles pour lesquelles une de ces courbes a un point double.

Seulement toutes ces valeurs peuvent ne pas convenir, car les deux singularités qui se confondent peuvent être situées d'un même côté du contour d'intégration.

Et d'ailleurs nous avons vu que nos conditions ne sont que nécessaires.

S83. Appliquons ces principes aux intégrales (i) et (2). La fonction sous le signe / sera holomorphe tant par rapport kx et y

que par rapport aux excentricités e et e' et à sin-> J étant l'incli-

naison.

11 y aura exception seulement : ,

i" Si ^ = I et e' = I (condition où j: et j' n'interviennent pas et sur laquelle nous reviendrons); 2" S\ X on y est nul ou infini ; 3" Si A s'annule, c'est-à-dire si

qui est un polynôme entier du sixième ordre en x^ y^ est égal à zéro.

Cela est vrai quels que soient les entiers m et m'; cela est vrai

(1 ailleurs aussi bien de rinléj;rale 12) que de l'intégrale (1). car

Q et Ei-i

ne cessent d'èlre holoinorplies que si x ou j^ est nul ou infini. Les courbes (jui correspondent aux courbes (3), cest-ù-dire

celles dont les équations expriment que la fonction sous le signe /

cesse d être holoniorj)lie, se récbiisent donc, en ce qui concerne les intt'grales ( i ) et ( 1 ), aux quatre droites

et à la courbe du sixit'-nie degré

< i fji's ) K = o.

Cette dernière, dans b* cas où 1 inclinaison est nulle, se décompose en deux courijes du troisième degré

' 4 ft^f) H, = o, R., = o.

Poui' trouver les \ab'urs criticpies des excentricités ou des inclinaisons, nous devons donc chercber celles pour lesquelles trois des courbe^ ( j) ou ( \ hïs ) se coupent, ou j)our lesquelles deux de ces courbes se touchent, ou pour les(|uelles une de ces courbes a un point doubb'.

Mais, (onuue ce> courbes sont les mêmes pour les intégrales (1) et (2), les \aleurs pour lesqueUe> une de ces trois circonstances >e piM'scntera seront également les mêmes pour les intégrales (^i) et ( > I.

\iiisi les \aleiirs criticjues des excentricités ou des inclinaisons sont les mêmes pour les deux intégrales (1 ) et (2 ).

Mais une (piestion pourrait encore se poser; nous avons vu que toutes les \aleur*i ciiliijues ne ciuivienntmt pas. Ne poiirrait-il se faire ipi une de ces \aleur> coiuîut à (i ) sans convenir à (2) ou iiiNersement .

La réponse doit être ingatiNe. Comment se fait-il, en elFet, que ccitauie> \aleurs (Mitujucs couNiennenl et que d autres ne conviennent j)as? Pour nou> en l'cndre conipte, faisons varier dune manirr»' continue 1 un de no> p<tramèlres. par exemple lexcentricilé /'. et. en même temp>. detoruMms d une manière continue les coiiloui> d inléuialion. Non- dcNons dirii;er cette déformation de