CONVERGENCE DES SÉRIKS. IO
telle sorte qu'aucune des valeurs singulières définies par les équations (4) et (4 bis) ne se trouve dans le champ d'intégration. Si, e variant d'une manière continue depuis zéro jusqu'à eo> oû peut s'arranger de façon que cette condition ne cesse jamais d'être remplie, c'est que e^ n'est pas une véritable valeur critique; e^ ne convient pas; si, au contraire, il est impossible de s'arranger pour que la condition soit remplie (parce que, comme je l'expliquais plus haut, le contour d'intégration se trouve pris entre deux points singuliers), c'est que Cq est une véritable valeur critique; e^ convient.
Faisons donc varier e de zéro à e^ et, en même temps, déformons nos contours d'intégration en partant des contours initiaux
qui sont les mêmes pour les intégrales (i) et (2); si ^o ne con- \ient pas à l'intégrale (i), c'est que nous pouvons déformer nos contours de telle façon qu'à aucun moment une des valeurs singulières satisfaisant aux équations (4) et (4 bis) ne se trouve dans le champ d'intégration. Mais, si cette condition ne cesse jamais d'être remplie en ce qui concerne l'intégrale (i), elle ne cessera jamais non plus de l'être en ce qui concerne l'intégrale (2), puisque les équations (4) et (4 bis) qui définissent les valeurs singulières sont les mêmes pour (1) et pour (2). Donc e^ ne conviendra pas non plus à l'intégrale (2). c. q. f. d.
Voici donc un premier résultat.
Les coefficients Qm,m' du développement de la fonction perturbatrice suivant les anomalies excentriques, ainsi que les coefficients P^m^m' du développement suivant les anomalies moyennes sont eux-mêmes développables suivant les puissances des excentricités et des inclinaisons.
Les limites de convergence de ces nouveaux développements sont les mêmes pour les coefficients B^'^' et pour les coefficients Xinm'j ^llcs sont Ics mêmcs pour tous ces coefficients quels que soient les entiers m et m' .
284. Mous examinerons spécialement le cas où les excentricités sont nulles et celui où l'inclinaison est nulle.
lo8 CHAPITRk; XX.
Dans le cas où les excentricités sont nulles, il n'y a plus à faire de distinction entre les anomalies excentriques et les anomalies moyennes, de sorte que
Amiwi'= B
dx dy
mm' — *^mm'
Cette dernière intégrale peut encore sVcrire
r r d.r dy
ou bien en posant comme au n° âo9
nous pouvons encore l'écrire
I i" /' dz div __ 1 /" /" iiz dw
en posant
Quand j* cl i*décri\enl chacun dans leur plan des circonférences de rayon k ; et u* fi»nt de même: mais, à chaque couple de valeurs do 5 et i\' situées sur ces ciix^onférences, correspondent dettx couples de \aleui> de J' et de »*: on ol>lient donc deux fois Tintégnde, de sorte que* finalement* nous pourrons écrire
I iulcgnuiou étant r tend ne* tant j^^uir ^ que jHiur »v. à une circon- Icïeuct" do nt^ou i axant siui conln* à l\»ni:ine* de telle façon que
Il >ora plu> oomnuHlo d'o|vrt*r sur Tinteizrale 5 - que sur l'intéiiralo i"^. \ou^ a\ou> aiori
CONVERGENCE DES SEKIES. 109
Nos courbes singulières sont alors
^ = O, iV = O, J = X, IV = 00, A* = G.
Nous devons alors chercher la condition pour que trois de ces courbes se coupent en un même point, ou pour que deux d'entre elles se louchent, ou pour que l'une ait un point double.
Nous n'avons pas à nous inquiéter de la première condition, la courbe A^= o passe toujours par l'origine; or, pour qu'une fonction définie par une intégrale définie présente un point singulier,
il faut que deux points singuliers de la fonction sous le signe /
primitivement séparés yiennetil à se confondre; c'est-à-dire, par exemple, que trois courbes singulières (\u\ primitivement ne passaient pas par un même point viennent à passer par un même point. Ce n'est pas ici le cas, puisque les trois courbes A^ = o, ^ = 0, iv = o passent toujours par un même point.
De même la courbe A*== o passe toujours par les points
5 = 0, «; = ac ; 5 = x, w = o ; « = w = 00,
de sorte que nous n'avons pas à nous inquiéter de cette condition. Pour que 3 = o ou 3 = x touche A* = o, il faut que
^aa' = o soil 11 = o.
Pour que w = 0, ou iv = x touche A^ = o, il faut que
vaa' = o soit v = o.
Pour que à'^=. o ait un point double, il faut
c'est-à-dire
(tw ttz
w = it 1, z =zn\
et
(6) a*-»- a'*it: 2{xaa'=b avrta = o.
28o. Examinons de plus près ces résultats. Nous verrons d'abord que les solutions [jl = o ou v = o ne pouvaient convenir à la question. Supposons, en effet, d'abord que, remplaçant [jl par i — v, on développe suivant les puissances de v. Si la valeur v=: o était
un véritable point singulier pour la branche de la fonction considérée, le développement suivant les puissances de v serait toujours divergent; or nous savons qu'il n'en est pas ainsi.
Si la valeur [jl = o ou v = i était un point singulier, nous devrions en conclure que la série diverge dès que |v|>i, mais nous n'aurions pas à nous inquiéter de cette conséquence puisque v est toujours <C i .
Supposons maintenant que l'on développe suivant les puissances de |x et V regardées comme des variables indépendantes; si jx = o, ou bien v = o était un véritable point singulier pour la branche de fonction considérée, le développement serait toujours divergent, et nous savons qu'il n'en est pas ainsi et que le développement converge pourvu que ul et v soient assez petits.
Il est aisé d'ailleurs de constater que, pour les petites valeurs de |x et V, les points singuliers qui se confondent pour v = o, par exemple, sont tous deux intérieurs, ou tous deux extérieurs au contour d'intégration. On pourrait toutefois se demander s'il en serait encore de même pour des valeurs plus grandes de |x. Mais la réponse est aisée ; si les deux points singuliers sont tous deux intérieurs au contour pour |jl petit, puis que nous fassions varier jjl d'une manière continue, les deux points singuliers A et B et le contour varieront aussi d'une manière continue, mais ces deux points ne pourront cesser d'être intérieurs au contour que si l'un d'eux, A par exemple, franchit le contour; mais alors, nous pourrons toujours faire y^/'r le contour devant le point A, à moins que ce point A ne se confonde avec un autre point singulier G primitivement extérieur au contour, différent par conséquent du point B. Mais alors la convergence cesserait déjà par suite de la coïncidence des points A et G. On n'a donc pas à s'inquiéter de la coïncidence possible des points A et B puisqu'elle ne pourrait amener une singularité de notre fonction, q\i^ après que la convergence aurait déjà cessé pour d'autres causes.
\insi les points singuliers [jl = o, v = o ne conviennent pas à la branche de fonction considérée; nous devons ajouter qu'ils pourraient convenir à d'autres branches de la fonction qui seraient définies par l'intégrale (5) étendue à d'autres contours que celui qui est défini par les deux équations
CONVEHGENflK DKS SÉRIES. ITI
Oc '^our la branche étudiée, nous n'avons donc à nous pré- P^rque delà condition (6).
^Ons V = sin^ - et proposons-nous de développer suivant les
puissances croissantes de v. La condition (5) devient
a«-H a'* -h 2aa'[±:(i — v) ±: v] = o,
ce qui peut s'écrire de l'une des deux manières suivantes
(5 bis) (a'=ha)*=o; a^-h a'^dziaa'ii — 2v) = o.
Dans la première de ces relations v n'entre pas; la seconde
donne
Le rayon de convergence sera donc la plus petite des deux
valeurs
(a'dz a)«
c'est-à-dire
Ainsi la condition de convergence du développement sera
. J (a'-a)^ sm*- < — ', —
La discussion des équations (5 bis) montrerait de même que les
coefficients A.m,m' sont développables suivant les puissances de a,
pourvu que
G)nsidérons maintenant |jl et v comme des variables indépendantes et développons suivant les puissances de ui et v. La relation (6), qui définit les limites de convergence, s'écrit
alors
a* -H a'* =fc 2 aa' a di 2 aa v = o
