OU
rc u m V = ; —
•iaa
La condition de convergence du développement est donc
' iaa
112 CHAPITRK XX.
Celle condilion est toujours remplie, car ou a
|jx|=jx; |v|=v;
a^-ha*
A^os coefficients sont donc toujours développât les suivant les puissances de cos- - et sin- -•
Nous avons donné, au n** 270, un développement qui procède suivant les puissances de
c'est le développement (28) du Chapitre XVllI. D'après ce qui précède, ce développement converge pourvu que
\LOL
va
Or, comme [jl, v et a sont essentiellement positifs et plus petits
ue I
que est, par conséquent, plus petit que - et que
|jL -h V = I , on aura
|xa 1 -h a*
va
La condition de convergence sera donc toujours remplie.
Du développement (28) du Chapitre VIII on passerait aisément au développement (2^) qui procède suivant les puissances de a, [JL et V, il suffirait de développer chaque terme en
/ jjia y« / va y»
suivant les puissances de a, ce qui est possible pourvu que a < 1. Comme cette condition est toujours remplie, le développement (27) converge toujours.
287. Considérons maintenant le cas particulier où l'inclinaison est nulle et développons suivant les puissances des excentricités e et e' ,
COXVKRGENflE DKS SÉRIES. 1 l3
Les courbes qui correspondent aux courbes (3) sont les courbes (4 » et (4 ter)^ à savoir
ar = o, ^ = (», ar = X, ^ = X, R, = o, Rj=o.
1** Cherchons d'abord la condition pour que R| = o ait un point double. Pour nous en rendre compte, cherchons la signification de ces équations. Soient C l'orbite de la première planète, C celle de la- seconde; d'après notre hypothèse ces deux coniques sont dans un même plan. A chaque valeur de x correspond un point M de la conique C et à chaque valeur de )' un point M' de la conique C.
L'équation R== o exprime alors que la distance MM' est nulle, ce qui peut ne pas vouloir dire que les deux points M et M' coïncident puisque ces deux points peuvent être imaginaires.
L'équation R, = o exprime que le coefficient angulaire de la
droite MM' est égal à \' — i et l'équation R2=o exprime que ce
coefficient est égal à — \' — i .
Les équations j: = o, x = x expriment que le point M est à l'infini sur l'une des deux branches infinies de la conique C; les équations y = o, y = oo expriment que le point M' est à l'infini sur la conique C.
Pour que la courbe R, = o ait un point double, il faut et il suffit que la droite MM' soit tangente à la fois aux deux coniques C et C. Les deux coniques C et C ont un foyer commun, le Soleil. La droite MM', qui est une tangente isotrope à C, doit passer par un des foyers de C, et pour la même raison elle doit passer par un des foyers de C. Soient alors S le foyer commun de C et C, R le second foyer de C, R' celui de C.
Pour que les deux coniques admettent une tangente isotrope commune (en dehors de celle qui passe par S qui existe toujours et qui ne saurait convenir), il faut donc que la droite MM' passe par R et R'; c'est-à-dire que la droite RR' ail pour coefficient
angulaire \/ — i . Cette condition s'exprime analytiquement comme
il suit :
aeE-i^ — a' e E~i^' .
Je représente par w et w' les longitudes des périhélies.
C'est là la condition pour que R, = o ait un point double (en
Il4 , CHAPITRK XX.
dehors de celui qui, correspondant à la tangente isotrope passant
par S, existe toujours et ne saurait convenir).
2® De même la condition pour que R2== o ait un point double
s'écrit
ae Ei^ = a' e' E''^'.
3° Pour que les deux courbes R^ = o, R2= o soient tangentes, il faut que les deux coniques C et G se touchent; car les points d'intersection à distance finie des deux courbes R, = o, R2=o correspondent aux quatre points d'intersection des deux coniques.
11 faut donc que la distance des deux foyers R et R' soit égale à la somme ou à la différence des grands axes ; ce qui s'écrit
(aeE^^— a' e'E^^' ) (aeE-i^— a' e' E-i^') =z {a' ±1 a)i.
4® Il faut voir ensuite si l'un des points d'intersection des courbes (4 ter) ne peut pas se confondre avec l'un des points d'intersection de l'une de ces courbes avec l'une des droites (4) ou de deux de ces droites entre elles.
Ces deux catégories de points correspondent respectivement : aux quatre intersections de C et de C (M et M' confondus) et aux cas où les deux points M et M' sont à l'infini sur les deux coniques C etC.
La condition est donc que l'une des quatre intersections de C et de C s'éloigne indéfiniment, c'est-à-dire qu'une asymptote deC soit parallèle à une asymptote de C.
Cela s'écrit d'une des quatre manières
en posant
Je puis écrire aussi
tang» 2 E»'cï= tang» ^ E^^^',
cot« 5 E*'Cï = tang» 2. E*'»'
tang» 2 E-»'ci = tangï 2- E-«'ct'
cot* 2 E-«'a = tang» 2 E-«^cr\
e = sino, e' = sin©'.
■ ^ — E»'ci = ' — V ' f E**^\
v/l — «* I qz v/i — ^'*
CONVERGENCB DBS SÉRIES. Il5
en prenant dans chaque fraction le signe inférieur dans les deux termes ou le signe supérieur dans les deux termes.
Voici donc quelles sont les équations qui définissent les valeurs critiques
(8) acE'ci= a'c'E'cJ',
(9 ) ( ac E'o — a' e' W^' ) ( ae E-'w — a' e' E-'w ) = ( a' =b a )«,
I zp /i — e* i=Pvï — ^'*
auxquelles il convient d'adjoindre (il) c = i, c' = i.
Mais nous avons vu que toutes les valeurs ainsi trouvées peuvent ne pas convenir et il est même aisé de voir qu'elles ne peuvent pas toutes convenir.
En effet, envisageons l'équation (7); elle est satisfaite pour
Si donc les valeurs critiques définies par cette équation convenaient, notre fonction présenterait des singularités pour des valeurs très petites deeete'. Nos coefficients ne seraient pas développables suivant les puissances de e et de e', même pour des valeurs très petites de ces quantités. Nous savons qu'il n'en est pas ainsi. Donc les valeurs définies par l'équation (7) ne sauraient convenir.
Le même raisonnement s'applique aux équations (8) et (10). Il importe de remarquer que l'équation (10), malgré la présence des doubles signes, ne représente qu'une seule équation analytique irréductible qui prendrait sa forme algébrique si l'on chassait les radicaux. Cette équation irréductible est satisfaite pour e = e'=o.
Restent les équations (9) et (i i). Pour trouver la limite de convergence définie par l'équation (9), remarquons que n^ af^metw' sont des données de la question et sont réelles, mais que e et e' qui sont nos variables indépendantes pourront prendre des valeurs imaginaires.
Donnons à e une série de valeurs de module constant |e|, mais
Il6 CHAPITRE \X.
dWgument variable; faisons de même pour e'. Le maximum du module du* premier membre de (9) est
a*| e- 1 -h a'* |e'*| -+- 2aa' |ee'cos(tij — ct';|;
la condition de convergence est donc
a5 1 c« I -h a'« I c'« I H- iaa!\ee cos(m — m') |< {a'—a)^.
Nous sommes ainsi conduits à supposer que les seules conditions de convergence de notre développement sont
/ a«|€«|-f-a'»|«'»|-^2aa'|cc'cos(Tn — tij')| <(a"— a)«.
Je ne voudrais pas entrer dans trop de détails ; je ne puis cependant me contenter d'un aperçu : il faut donc que j'explique en quelques mots comment on peut donner à la démonstration toute sa rigueur.
Considérons le domaine D défini par les inégalités (12). Il ne contient pas de valeurs singulières satisfaisant aux équations (9) et(i i). Mais il en contient qui satisfont aux équations (7), (8), (10). Si l'une de ces valeurs convenait, il en serait de même de toutes celles qui satisferaient à la même équation et qu'on pourrait rencontrer en faisant varier e et e' d'une manière continue et sans cesser de satisfaire à cette équation. Cela serait vrai au moins en ce qui concerne la détermination de la fonction que l'on atteindrait par cette variation continue.
Or on verrait qu'on peut atteindre, par une variation continue, une quelconque des valeurs singulières qui satisfont aux équations (7), (8), (10) et aux inégalités (12) en partant de la valeur e = o, e'=o et sans cesser de satisfaire à ces équations et sans sortir du domaine D. La valeur singulière e = o, e'=o ne convenant pas, aucune de ces valeurs ne convient.
Les conditions (12) sont donc les seules conditions de convergence,
La troisième condition (12) sera satisfaite quels que soient m
et m'y si Ton a
I ae I -+- 1 ae' \ < a' — a,
