CONVERGENCE DES SÉRIES

c*est-à-cïire si la distance périhélie de l'une des planètes est plus grande que la distance aphélie de l'autre.

288. Le théorème que nous avons appliqué à la fin du numéro précédent est analogue à celui que nous avons rencontré au n" 285 et pourrait s'établir de la même manière. Mais il vaut mieux le rattacher à un théorème d'Analyse.

Si, dans un domaine D simplement connexe, une fonction de deux variables F{x, y) est holomorphe, sauf peut-être pour les points qui satisfont à une relation analytique

et si un de ces points

est ordinaire, il en sera de même de tous les autres.

En effet, d'abord si ce point est ordinaire, il en sera de même de tous les points voisins.

Décrivons maintenant dans le plan des x un contour très petit,

-autour du point douteux x ■=^{y). Soit x = •i(^') un des points

^^ contour. Nous pouvons supposer que le contour se déforme

^He manière continue quand y varie d'une manière continue, et

^(.X) ^^^ ^^® fonction analytique.

-•A? dis d'abord que ¥{x^y) est une fonction uniforme.

L^pposons, en effet, qu'elle ne le soit pas, que ¥^{x^y) et F^ (,2«:?, y) soient deux de ses déterminations, et que l'on passe de V»-"^^^^ à l'autre quand x décrit le contour. Alors

Fi {^{yh y] - ^t[Hy)^ y] = «(r)

*^*"^it une fonction analytique de y, mais cette fonction serait

'^■-*^1^ pour )' = l'o et pour les valeurs voisines, puisque la fonc-

^^^*^ ¥{x,y) est uniforme pourjK=yo et pour les valeurs voisines-

^- ^ CDnction B(^') est donc nulle pour toutes les valeurs de JK et,

'^'*^** Cionséquent, ¥{x^y) est uniforme pour toutes les valeurs dc^.

-L*^ fonction F étant uniforme, la condition pour que a: = ©(j^)

*^^ un point ordinaire, c'est que l'intégrale

iF"» ¥(^x^ y) dx,

Il8 CHAPITRE XX. — CONVERGKNCK DES SÉRIES.

prise le long du contour, soit nulle quel que soit l'entier positif m.

Cette intégrale est une fonction analytique de y; elle est nulle pour j^ =^0 et pour les valeurs voisines puisque x = ^(yo) est un point ordinaire ainsi que les points voisins. Elle est donc identiquement nulle, et le point x = 'f (jk) est ordinaire quel que soit^.

Le théorème s'étendrait aisément au cas où tous les points de D seraient ordinaires, sauf peut-être ceux qui satisfont à l'une des n relations analytiques

et où l'on saurait, d'autre part, que les points

y=yu ^=?i(ri)i

sont ordinaires.

Nous nous bornerons aux cas particuliers simples traités plus haut, bien que les mêmes procédés soient applicables au cas général. Nous mentionnerons toutefois que M. Féraud a traité d'autres cas particuliers dans le Tome X des Annales de C Observatoire de Bordeaux,

289. Reprenons les équations du n" 280 (1) -h-^^^mm'^ f f- ^"^^

qui définissent les coefficients du développement, soit suivant les anomalies excentriques, soit suivant les anomalies moyennes. Rappelons que

Ces coefficients A. et B sont des fonctions des éléments, par exemple des grands axes, des excentricités et des inclinaisons et l'on peut se proposer Tétude analytique de ces fonctions. Je me propose de montrer :

i" Que ces fonctions satisfont à des équations différentielles linéaires, dont les coefficients sont des fonctions rationnelles des éléments.

2° Qu'il y a entre ces fonctions, ou du moins entre les B, des relations de récurrence linéaires dont les coefficients sont des fonctions rationnelles des éléments.

290. A cet effet, je vais envisager une expression plus générale définie comme les A et les B par une intégrale double.

I/o CHAP1TRK XXI.

Soit

.rr F'

une intégiaie double prise le long de contours fermés.

H, Q et F sont des polynômes entiers en ^, -» .)', - dont le

degré est respectivement A\ to et/. Quant à s, c'est la moitié d'un entier impair.

Avant d'aller |)lus loin, il faut que j'explique ce que j'entends

par le degré d'un polynôme en x, - * r, - • Un pareil polynôme est de la forme

a et b étant des entiers positifs ou négatifs. Je dirai qu'il est de

degré m si

Un polynôme de degré m contient [im -h i)^ coefficients arbitraires, puisque a de même que b peut j)rendre 2/?î -|- i valeurs.

Ceci posé, je suppose que Û et F soient des polynômes donnés, mais que nous fassions varier H. Il y a ( 2// -h 1)'' polynômes H de degré h linéairement indépendants, mais pour quelques-uns d'entre eux la fonction II est nulle. En ell'et, si P est un polynôme, l'intégrale

/ / -j J~^dxdv