dx vF
sera nulle. En eflet, intégrons d'abord par rapport à j:, nous trouverons
Comme nous intégrons le long d'un contour fermé, celte quantité reprend la même valeur aux deu\ limites et l'intt'grale est nulle.
On verrait de même que, si Q e>t un polynôme, l'intégrale
dx dy
e*t nulle. Il sufliidit d'intégrer d'abord par rapport à y. Donc
n sera nul si
HEÛ d PEU d QEÛ
xy¥^ dx y¥^-^ dy x¥^-^ c'est-à-dire si
H= xgF + :rgpF+(,-*)^gp
Si P et Q sont de de<^ré /*, nous voyons que le deuxième membre est de degré p -\-f-\-iù. Nous devons donc avoir
Il y a donc {ih — 2/ — 20J -h 0^ polynômes P distincts et autant de polynômes Q. Nous pouvons donc former
i{-?.h — 'if — x to -*- 1 )*
relations de la forme (4). Mais ces relations sont-elles distinctes; ne peut-il pas arriver que le deuxième membre de (4) soit identiquement nul ? Cela arrivera si
d PE^ d QEÛ dx y¥^-^ dy x¥^--^
c'est-à-dire si
QEQ dx PEQ dy^
est une différentielle exacte; je représente cette différentielle par
ce qui donne
Je dis que S est un polynôme entier ( en ^, -> J^, - ) et d'abord que c'est une fonction uniforme.
122 CHAPITRK XXI.
i" L'intégrale / rfU ne présente pas de périodes cycliques.
Supposons que l'on calcule cette intégrale en regardant^ comme une constante et en faisant décrire à x dans son plan une courbe fermée, à l'intérieur de laquelle il y ait un nombre pair de valeurs de a: telles que F = o. Il en résultera que quand on aura décrit
cette courbe fermée \JY et F'~* reviendront à leur valeur initiale. L'intégrale prise le long de ce contour serait une période cyclique
de TrfU.
Cette période, si elle existe, sera une fonction de^. Je dis que cette fonction devra se réduire à une constante. Si en effet la fonction U admet deux déterminations U' et U"', on aura
dy "^ dy "" y F*-* ' et, par conséquent,
(6) — dT'^'''
Si l'on se reporte maintenant à l'analyse de M. Picard dans son Ouvrage sur les fonctions algébriques de deux variables (t. I, p. 88 à 90), on verra que cela ne saurait avoir lieu sans que la période cyclique soit nulle si le polynôme F est le plus général de son degré et dans beaucoup d'autres cas encore.
2" L'intégrale ne présente pas de période polaire. Elle pourrait
en présenter si la fonction sous le signe / devenait infinie, mais
cette fonction ne peut devenir infinie que pour j; = o, ou j^ = 0, ou F = o.
Pour F = o, la fonction est infiniment grande d'ordre 5 — i à moins que F ne soit divisible par un carré parfait, ce qui n'arrivera pas si F est le polynôme le plus général de son degré. La fonction n'étant pas infinie d'ordre entier, il ne peut résulter de là une période polaire.
Soit maintenant j? = o. Développons la fonction sous le signe /
suivant les puissances entières positives et négatives de x de telle façon que l'on ait
les Cm étant des fonctions de y; alors nous aurons une période polaire qui sera
En vertu de l'équation (6), cette période devra être une constante indépendante dey. Je dis que cette constante est nulle. Soit/ =y(i une des racines simples de l'équation
Bien entendu, avant de faire ^ = o, il faut multiplier F par une puissance convenable de x de façon que F reste fini pour x = o. Faisons varier^ de façon que cette variable revienne à sa valeur
initiale après avoir tourné autour de v©; alors y/F se changera
en — y/F, ^ en — ^ ' ®^î P^'* conséquent, C i en — C i ; mais,
comme C i est une constante, on a
C i = — C j, d'où
Il n'y a donc pas de période polaire pour 2? = o et l'on verrait de même qu'il n'y en a pas pour y = o.
Le raisonnement précédent ne s'appliquerait pas toutefois si F se réduisait à un carré parfait pour x = o.
3" Mais S pourrait encore ne pas être uniforme pour une autre cause. Supposons que l'on prenne l'intégrale U le long d'un contour enveloppant un nombre impair de valeurs de x qui annulent F. Alors y/p se change en — ^F quand on parcourt ce contour.
Donc U se change en U'= h — U, A étant une constante qui ne peut dépendre de r. Ici l'équation (6) ne s'applique pas et la différence
U — U' n'est pas indépendante de y; car, y/F ayant changé de signe, 2— e^"^T ^^ ^^^^ P*^ égaux, mais égaux et de signe contraire,
de sorte que
dV dV dh
dy ~ dy^ dy" '
Ainsi h est une constante absolue. De plus, si nous considérons un autre contour analogue qui change U en U" = A' — U, je dis
I'i4 CHAPITRE XXI.
que les deux constantes h et h' sont identiques; sans quoi Tinlé^rale admettrait la période h' — A.
La constante h étant la même pour tous les contours, nous pouvons choisir la constante arbitraire d'intégration de façon que A = o. Alors notre intégrale ne sera susceptible que de deux valeurs U et — U. D'ailleurs le signe de U changera en même
temps que celui de y' F, de telle sorte que — et par conséquent S
est une fonction uniforme.
4"* S est un polynôme entier en
En effet, l'intégrale et S ne peuvent devenir infinis que si les
dérivées
d\j di)
dx dv
deviennent infinies, c'est-à-dire si
x = X, ^ = 3c, or = o, ^ = o, F = o.
Pour F = o, les dérivées deviennent infinies d'ordre s — i et par conséquent U devient infini d'ordre s — 2 et S reste fini.
Voyons comment se comporte S pour x très grand. .Les termes prépondérants de F, Q, 1) se réduisent respectivement à x*, xP et .r*^ multipliés par une fonction dey{/^p et w étant les degrés de
F, Q, Ù), Donc -7— réduit à ses termes prépondérants se réduira à
et U à
et enfin S à
ÔQ) et VjQ') étant des fonctions de y faciles à former.
On trouverait le même résultat en cherchant comment S se comporte pour x = 0; il suffirait de changer/, /? et co en — /, — P et — O). On raisonnerait encore de même pour jk très grand ou très petit.
Donc S se comporte comme un polynôme de degré
RELATIONS DK RÉCtRRKNCE ET ÉQUATIONS DIPPÉRBNTIELLES. 125
C'est donc un polynôme de degré h — if — aco, dépendant de
{ih — 4/— 4cii-^ I)*
coefficients arbitraires.
Donc parmi les
relations (4) il y en a seulement
'J>.{lh — if — 2 W -I- 1 )î — i 2 /i — 4/ — 4 w H- l )*,
qui sont distinctes. Donc nous n'avons que
(a A -4- 1)2 -H (2A — 4/^ — 4'0 -^- 1)* — 2(-2/t — if — 2(0-4- 11*
expressions II qui soient linéairement indépendantes. Or ce nombre est égal à
Il est donc indépendant de h et s. Donc, quelque grand que soit le degré de h du polynôme H, nous n'aurons toujours, au plus, que 8(/-|-o>)=^ expressions II distinctes
Remarquons que les expressions où s = Sq rentrent comme cas particuliers dans celles où 5 = 5o+ 1 , puisque nous pouvons changer ^ en 5-f- I et H en H F sans changer l'expression II. Donc toutes les expressions C, quel que soit le nombre 5, le degré du polynôme H et ce polynôme lui-même, peuvent s'exprimer linéairement à l'aide de 8(/-}- w)- d'entre elles.
Si nous prenons
expressions quelconques, il y aura entre elles une relation linéaire, r/ont les coefficients seront des fonctions rationnelles des coefficients des polynômes F, Q qui sont les mêmes pour toutes ces expressions II ainsi que des divers polynômes H qui ne sont pas les mêmes pour les différentes expressions II. Cela résulte de la façon dont nos relations (4) ont été formées.
291. Le nombre des expressions II distinctes peut s'abaisser si les polynômes présentent certaines espèces de symétrie. Supposons par exemple que F, U et H ne changent pas quand on change x
ia6 CHAPITRE XXI.
en — X et ^ en — y. Si alors nous écrivons ces polynômes sous la forme
nous voyons que les deux entiers a et 6 doivent être de même
parité.
Un polynôme de degré m présentant cette symétrie ne contient
plus que
coefficients arbitraires. Nous n'aurons donc que
polynômes H.
Si les polynômes P et Q présentent cette même symétrie il en sera de même du second membre de (4). D'ailleurs nous obtiendrons de cette façon tous les polynômes H symétriques qui sont de la forme (4). Soit en effet
le second membre de (4). Considérons deux polynômes P et Q non symétriques de telle façon que P(x, y) ne soit pas égal à
et supposons que
soit égal à un polynôme symétrique H de telle sorte que
nous aurons à la fois et
OU, en additionnant et divisant par â,
qui est une relation de la forme (4) où les polynômes P et Q sont
remplacés par les polynômes symétriques
P(ar,^)-t-P(— ar,— r) Q(a7,y) -f- Q(- ar, -^)
Il suffira donc de considérer les relations (4) formées avec des polynômes symétriques. Nous aurons donc, non plus
relations (4)9 mais
2[2(A— / — a>)' -h 2(A — /— o)) -h ij.
De même, si nous nous reportons aux relations (3), nous verrons que, si P et Q sont symétriques, il en sera de même de S ; nous aurons donc
2(A — if — 2to)' -h l(h — 2/ — 2(u) ■+■ I
polynômes S.
£n résumé le nombre des expressions II distinctes ne sera plus
(2A -h i)' -t- (2A — 2/— 2(«) -h 0* — u{ih — / — (o-h 1)* = 8(/-ha>)«,
mais seulement
en posant
Ce nombre sera donc
4(/-ha>)«.
292. Appliquons ce qui précède aux expressions (1) et (2), mais auparavant il est préférable de les transformer en posant
x\lors, A=*, qui était un polynôme contenant des termes en
I, ar*, 37-», j^«, ^-î, xy, xy-'^, x-^y, x-^ y-\ x, y, a?-», y-^,
deviendra un polynôme entier du second ordre en
Ce polynôme ne change pas quand on change ; et Tj en — £ et — 7\. Ce sera lui qui jouera le rôle de F; nous avons donc
Le polynôme û devient de son côté un polynôme symétrique du premier degré en
de sorte que
to = I.
Dans la formule (i), bien entendu, où l'exponentielle E^ ne figure pas, on prendra w= o.
Le rôle du polynôme H sera joué dans l'expression ( i ) par ^ ^^, »
et dans l'expression (2) par-—^ — > , qui nous donneront l'une et l'autre un polynôme symétrique en
Nos coefficients B,„m' et Amm' seront représentés à un fadeur numérique près par l'intégrale
T/'heû''^'''^
ÛT'
011 û est du degré o ou 1 et où
H = : ou
Xtn ym' jc"iv'/r'
OÙ enfin A joue le rôle de F*. Ce sont donc des expressions de la forme II.
Les coefficients de ces polynômes F, û et H sont d'ailleurs des fonctions rationnelles des grands axes a et a', des excentricités e,
e' et de y' i — e=*, y'i — e'-, ou, si Ton aime mieux, de s et de e', en posant
Ce sont également des fonctions rationnelles des lignes trîgono-
RELATIONS DE RECURRRNCE ET EQUATIONS UIPPERRNriEI.LRS. 139
métriques dépeodaat de l'inclinaison et des périhélies, c^est-à-dire de tang - » tang - , tang — • Ce sont en résumé des fonctions rationnelles des sept quantités
a, a, e, s, tang -> tang -y tang — 9
les longitudes des périhélies étant comptées dans les plans des deux orbites, à partir de Tintersection mutuelle de ces plans. Ce sont ces sept quantités que nous appellerons les éléments,
Ejivisageons maintenant la dérivée de A^ms ou de Bmm' par rapport à l'un de ces éléments, que je désigne par a; elle sera égale à
Jt) A»
OÙ
sera un polynôme de même forme que H. Nous retrouvons donc une expression de la forme U avec cette différence que l'exposant
s qui était égal à - est maintenant - •
Si nous considérons une dérivée partielle seconde, cet exposant
deviendra -9 rien d'ailleurs ne sera changé, et il en serait de
même pour les dérivées d'ordre supérieur.
Ainsi nos coefficients P^mm-, ^mm' ainsi que leurs dérivées partielles d^ ordre quelconque par rapport aux éléments sent des expressions de la forme II.
Les conclusions du n" 290 sont vraies quand le polynôme F est le plus général de son degré. Elles subsisteraient bien entendu dans les cas particuliers, par passage à la limite ; mais ici elles sont directement applicables.
En effet le théorème de M. Picard s'applique directement toutes les fois que le polynôme F est indécomposable.
C'est ce qui arrive pour le polynôme A^ dans le cas général du problème des trois corps. Quand l'inclinaison est nulle, le polynôme
l3o CHAPITRE XXI.
A^ se décompose, mais nous restons dans les cas très étendus où le théorème de M. Picard est applicable.
Il n'y a donc pas de période cyclique.
Pour montrer ensuite qu'il n'y a pas de période polaire, nous avons supposé que F{x,y) ne devenait pas un carré parfait quand après l'avoir multiplié par une puissance convenable de j? on y fait X = o.
Si nous appliquons cette règle au polynôme
cela reviendra à réduire A' aux termes en a:^, ^y^y^t ou ena;"^ x-'^y"*^ y~'^, ou en J7-, xy~*f y^^j O" encore en x~*, ^~*^>^'* Ce polynôme ne se réduit pas ainsi à un carré parfait. La condition est donc remplie.
293. Appliquons d'abord cela à l'expression (i) et aux coefficients Bmm' ; nous avons
Le nombre des expressions distinctes est donc
Nous n'avons donc que seize coefficients distincts. Donc :
Si l'on envisage le développement de la fonction perturbatrice suivant les anomalies excentriques, il y aura entre les coefficients des relations linéaires de récurrence dont les coefficients seront des fonctions rationnelles des éléments. Ces relations permettent d^ ex/trimer tous ces coefficients en fondions de seize d'entre eux.
Ces relations de récurrence sont assimilables à celles qui relient les coefficients de Laplace. Ces relations peuvent s'obtenir de la façon suivante; écrivons les deux identités
dx
RELATIONS DE RÉCURRENCE BT ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. l3l
Remplaçons dans ces identités A^ et - par leurs développements
suivant les puissances entières positives et négatives de x et^, et égalons à zéro dans Tune de ces identités le coefficient de xPy^. On a retrouvé dans le Nachlass de Jacobi, sans démonstration, un énoncé d'après lequel le nombre des coefficients distincts serait non pas i6, mais i3. Cela est possible, car i6 n'est ici qu'un maximum. Il serait intéressant de pousser la vérification jusqu'au bout.
294. Supposons maintenant que l'on envisage un coefficient et ses dérivées partielles des divers ordres par rapport aux éléments. Ce sont encore des expressions II, elles sont donc liées à seize d'entre elles par des relations linéaires.
Ainsi chacun de nos coefficients B, considéré comme fonction de run quelconque des éléments, satisfait à une équation différentielle linéaire du seizième ordre au plus, dont les cocjffîcients sont des fonctions rationnelles des éléments.
Si l'on considère deux ou plusieurs éléments comme des variables indépendantes, on peut former aussi un très grand nombre d'équa> tions linéaires aux dérivées partielles.
Tous nos coefficients B, et toutes les dérivées partielles peuvent s'exprimer linéairement en fonctions de seize de ces coefficients, ou bien encore en fonction de l'un d'eux et de quinze de ses dérivées partielles.
295. Passons maintenant au cas de l'expression (a) et des coefficients \mm'^ qui sont ceux du développement suivant les anomalies moyennes. Cette fois
Seulement le polynôme û dépend de m et de m'. Il n'est donc pas le même pour deux coefficients A^m' difierents.
Les conclusions du n" 293 ne se généralisent donc pas.
Au contraire, le polynôme û est le même pour un coefficient -^mm' et pour toutes ses dérivées partielles, de sorte que le théorème du n"* 294 se généralise immédiatement.
l3l CHAPITRE XXI.
Chacun des coefficients A, considéré comme fonction de Pun quelconque des éléments, satisfait à une équation différentielle linéaire du trente-sixième ordre au plus. Il satisfait en outre à de nombreuses équations linéaires aux dérivées partielles, si l'on regarde les divers éléments comme des variables indépendantes.
296. Passons au cas où les excentricités sont nulles; il en résulte de grandes simplifications. D'abord, en effet, il n'y a pas de distinction à faire entre les anomalies excentriques et moyennes, de sorte que l'on a
De plus on a
A* = a* -h a** -h aa' fi ( -« H — ) -♦- aa'^t f w H j >
en posant
D'ailleurs les coefficients A^m' sont exprimés à un coefficient numérique près par l'intégrale
d*dw
OÙ H est un polynôme entier en z, tv, -, • On a donc
Le polynôme qui joue le rôle de F est ici A^, et l'on voit que, pour ^ = o, l'expression 2 A se réduit à une constante; le raisonnement par lequel on démontre qu'il ne peut y avoir de périodes polaires n'est donc pas applicable immédiatement [puisque nous avons dû supposer plus haut que le premier membre de l'équation F(^, y ) = o ne se réduisait pas à un carré parfait pour x = o].
Nous pourrions nous tirer d'affaire de plusieurs manières différentes :
I** En nous servant des fonction elliptiques, comme je l'ai fait dans le Bulletin astronomique, t. XIV; 2° En revenant aux variables x et^.
Mais je préfère me servir de la symétrie du polynôme A^.
RBLATIONS DE RBCURRBNCB BT ÉQUATIONS D1FFBRENTIBLLE8. l33
Ce polynôme ne change pas en effet quand on change z en -y
ou bien v(f en —* Un polynôme satisfaisant à cette double condition sera ce que j'appellerai désormais symétrique. Dans le développement de -r les coefficients de
sont égaux, et peuvent être représentés à un même coefficient numérique près — j-j par l'une des intégrales doubles
J J ZW^ ~J J zw L '
on
Nous pouvons donc toujours supposer que le polynôme H est symétrique.
Nous devons ensuite rechercher quels sont les polynômes H symétriques qui nous conduisent à une intégrale double identitiquement nulle. Ce sont ceux qui sont de la forme (4)- Dans le second membre de l'expression (4)9 il faut, bien entendu, faire Û = o et remplacer jt et^ par les variables nouvelles z et w.
Je remarque maintenant que si, dans cette expression (4) ainsi
modifiée, on remplace P(s, pp), Q(^, (v) par — P(-> tvj, Qf-> w\y l'expression H(^, w) se change en Hf -, wj. De même,
si l'on remplace P(«, wf), Q(«, w) par P(^» ^)' —^\^^^)'
l'expression H(^, w) se change en Hf-s, — j- Si l'on a alors
nous dirons que P et Q présentent la symétrie croisée.
Il est clair que, si P et Q présentent la symétrie croisée, l'expression H présentera la symétrie directe.
Si H présente la symétrie directe, je dis que Pon pourra toujours, sans restreindre la généralité, supposer que P et Q ont la symétrie croisée. En effet, si H est symétrique, on pourra, sans changer H, remplacer P et Q par
-P(i.«,), Q(i.«.), ou par
ou par
ou enfin par les deux polynômes
qui présentent la symétrie croisée.
Si maintenant P et Q présentent la symétrie croisée, l'expression
supposée intégrable, présentera une troisième espèce de symétrie que j*appellerai la symétrie imrerse, c'est-à-dire que S et U changeront de signe quand on changera ^ en -> ou bien (v en — •
Dans ces conditions,
dV Q
change de signe quand on change tv en — Si nous posons
notre pénixie polaire, si elle existe, sera 2it:C i : elle sera indépemiaule de %v ^qui joue ici le nMe de rK D'autre pari, elle de\Ta
REL\TION8 DE HKCUHRENCE ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES l3^
changer de signe quand on changera cv en — ; elle est donc nulle.
Examinons maintenant le degré de ces diiTérents polynômes; mais nous ne définirons pas le degré de la même manière que dans les numéros précédents.
Soit un polynôme en 2, -> w, — ,
A^^cv*.
Nous dirons qu'il est de degré m si
Soit alors h le degré de H, nous voyons que celui de P et de Q est A — I et que celui de S est h — 2.
Un polynôme de degré h contient j h^ -\- 2 h -h i coefficients arbitraires, mais, ^'il est symétrique, il n'en contient plus que
' si la symétrie est directe et, en effet, les coefficients
de «^*^w^ se déduisent d'un seul d'entre eux, de sorte que nous n'avons plus à envisager que les termes où les deux exposants sont nuls ou positifs. Si la symétrie est croisée, il arrive (pour P par exemple) que les termes indépendants de z sont nuls, de sorte que nous ne devons plus envisager que les termes où l'un des exposants est nul, et l'autre nul ou positif. Cela fait — '^ coefficients
distincts. Si enfin la symétrie est inverse, les termes indépendants soit de (V, soit de 3, sont nuls, et les deux exposants doivent
être positifs, de sorte qu'il reste — ^^ coefficients. Nous sommes
donc conduits au Tableau suivant :
Polynôme. Degré. Symétrie. Nombre des coefficients.
H h directe
P h — i croisée
Q h — i croisée
S h — 1 inverse
l36 CHAPITRE \X1.
Le nombre des expressions n distinctes est donc
h — nyti — I)= a.
Donc y entre les coefficients du développement de la fonction perturbatrice, il y a des relations linéaires de récurrence dont les coefficients sont rationnels par rapport aux éléments et qui permettent d^ exprimer tous ces coefficients à l'aide de quatre d'entre eux. Chacun d'eux, considéré comme fonction de l'un des éléments^ satisfait à une équation différentielle linéaire du quatrième ordre. Considéré comme fonction de tous les éléments, il satisfait à un grand nombre d'équations aux dérivées partielles. Tous les coefficients et toutes leurs dérivées partielles peuvent s'exprimer linéairement à l'aide de quatre des coefficients, ou bien encore à Vaide de l'un d'eux et de trois de ses dérivées /fartielles,
297. On arriverait au même résultat en conservant les variables x tly\ on aurait alors
A«= a'-f- a'«-h aa'iil h — ) -h aa'ylxv'^ )•
Ce polynôme serait de degré i au sens du n° 290 et non plus du n" 296. Il serait d'ailleurs symétrique au sens du n*' 291 et non plus du n" 296. Enfin l'expression x A^ se réduirait, pour :r = o, à
aa \y,y -f-
qui n'est pas un carré parfait; nous pourrions donc appliquer les conclusions du n" 291 , et, puisque
le nombre des expressions II distinctes serait
298. Les équations aux dérivées partielles auxquelles conduit l'analyse précédente ont déjà été rencontrées. Ce sont celles que
RBLATIONS DE RâcURRENGB ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 187
nous avons étudiées au n" 261 . Nous avons vu que les onze dérivées partielles de Z, désirées dans ce numéro par (8), (9), (10), (11), (12), (i3), s'expriment linéairement en fonctions des oeuf expressions (14) qui sont elles-mêmes liées par les trois relations (i5). Il j a donc, entre ces onze dérivées, cinq relations. Soit
Les coefficients de z^w^ dans les onze dérivées partielles seront
dV dV doL d\L
du
rfv'
d^\} rf*U rf>U é/a* ' da dis.' d% rfv
d\idy
II y aura donc cinq relations entre U et ses neuf dérivées des deux premiers ordres. D'ailleurs, outre les relations (i5), les neuf
expressions (i4) sont liées entre elles et à Z^y^U^^iv* par la relation
(i-ha*)Z' — 'iae|jLZ'cos{ — ïavZ'cos?) = — sZ.
Nous aurons donc six relations entre U et ses neuf dérivées, c'est-à-dire que U satisfait à six équations aux dérivées partielles du deuxième ordre. De U et de ses dérivées, en tout dix expressions, il en reste donc quatre qui sont indépendantes.
Parmi ces six équations, nous distinguerons celles qui ont été étudiées à la fin du n** t261 et dont nous avons vu la parenté avec les équations de M. Appell. Nous avons vu que ces équations admettent quatre solutions distinctes, de sorte que U considéré comme fonction d'un seul élément satisfait à une équation difTérentielle du quatrième ordre.
â99. Les fonctions que nous avons étudiées dans ce Chapitre sont définies par des intégrales doubles et ces intégrales doubles sont prises le long des contours fermés. En d'autres termes, ce sont des périodes de l'intégrale double indéfinie
HEÛ^
l38 CHAPITRE XXI.
Supposons que nous fassions varier Tun des éléments, que j'appellerai a, en lui donnant bien entendu des valeurs imaginaires, et que cet élément a décrive dans son plan un contour fermé. Notre coefficient, représenté par notre intégrale double, est une fonction analytique de l'élément a; quand cet élément aura décrit son contour fermé, nous retomberons sur une autre détermination de cette fonction analytique, et cette détermination ne pourra être qu'une autre période de notre intégrale définie double.
Supposons que cette intégrale définie ait k périodes fondainentales
toutes les autres périodes et, par conséquent, toutes les déterminations de notre fonction, seront des combinaisons linéaires à coefficients entiers de ces périodes fondamentales.
Quand donc la variable décrira un conlour fermé, les différentes déterminations de la fonction subiront une transformation linéaire à coefficients entiers. Considérons maintenant plusieurs fonctions II qui pourront différer par les polynômes H et Q, mais pas par le polynôme F, toutes ces fonctions subiront la même transformation linéaire, puisque celle-ci ne dépend que de la déformation des contours d'intégration.
Soit donc A le déterminant formé par k déterminations correspondantes de k fonctions II; ce déterminant sera multiplié simplement par un facteur numérique quand la variable décrira un contour fermé; le rapport de deux de ces déterminants demeurera donc constant, ce sera donc une fonction uniforme.
Donc entre k -\- i fonctions II, il y aura une relation linéaire dont les coefficients seront des fonctions uniformes des éléments. Donc le nombre des périodes fondamentales est égal à celui des fonctions U en fonction desquelles toutes les autres peuvent s'exprimer par des relations linéaires dont les coefficients sont des fonctions uniformes des éléments.
Si les fonctions H ne présentent que des singularités algébriques, ces fonctions uniformes se comporteront comme des fonctions rationnelles. Les coefficients de nos relations seront des fonctions non seulement uniformes, mais rationnelles. C'est ce qui arrive quand Û = o.
Nous pouvons prévoir par là que le nombre des périodes fonda-
RELATIONS DE RÉCURRENCE ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. iSg
mentales est de 16 dans le cas général et de 4 si les excentricités sont nulles C^estce que montre le résultat obtenu au sujet du développement suivant les anomalies excentriques.
Mais alors nous pouvons en tirer une conclusion relative au développement suivant les anomalies moyennes. Il y aura entre les coefficients de ce développement des relations linéaires de récurrence dont les coefficients seront des fonctions non rationnelles mais uniformes des éléments, et ces relations permettront de les exprimer tous à Taide de seize d'entre eux. De plus chacun de ces coefficients satisfera à une équation différentielle linéaire, qui sera du seizième ordre (et non plus du trente-sixième), mais dont les coefficients seront non plus rationnels, mais uniformes.
Ces relations de récurrence et ces équations différentielles sont analogues à celles que nous avons rencontrées dans l'étude des coefficients de Laplace. Nul doute qu'elles ne puissent rendre les mêmes services dans le cas où les excentricités sont nulles; mais il n'en est pas de même dans le cas général; leur ordre semble trop élevé ; heureusement il est permis d'espérer que ces équations ne sont pas irréductibles et que l'étude des périodes de l'intégrale double permettra d'en abaisser l'ordre.
J'ajouterai que M. Féraud, dans le Tome VIII des Annales de l'Observatoire de Bordeaux, a montré que, par suite de certaines symétries, cet ordre pouvait s'abaisser de lui-même dans certains cas particuliers.
