CALCUL NUMÉRIQUE DES COEFFICIENTS
300. Dans les Chapitres précédents, nous avons cherché à obtenir le développement analytique des coefficients à l'aide de séries procédant suivant les puissances des excentricités et des inclinaisons. L'emploi de ces développements ne présenterait aucune difficulté si le nombre des termes n'était pas si grand. Mais ce nombre a effrayé beaucoup d'astronomes qui se sont efforcés de calculer la valeur numérique des coefficients sans passer par l'intermédiaire de ces développements.
Nous avons vu que les coefficients pouvaient se mettre sous la forme d'intégrales définies. Telles sont les intégrales (i) et (2) des n"» 280 et 289
(I) -4.r.Bw=rr ^^-^
(a) — 4tc*A
mm
'If
QEQ dx dy
xniym' ^^{x, y)
On pourrait donc calculer les valeurs de ces intégrales doubles par quadratures mécaniques ; nous pouvons écrire en effet l'équation (2) sous la forme
(3) 47c»A.,„;„= rr5£.E-n/n«-Hm«') du du\ ou bien encore sous la forme
(4) àT:^\mm'= f f ^E-i^'»f^'n'r) ^l ^l'^
d'où l'on tirerait les formules approchées
mu-^m'u')
CALCUL NUMéRlQUB DBS COEFFICIENTS. l4l
et
Dans la formule (3 bis)^ il faut donner, sous le signe ^, à a de même qu'à u\ les n valeurs équidistantes
Cela fera donc, sous le signe ^, des termes dont le nombre
sera /i^, puisqu'il faut combiner les n valeurs de u avec les n valeurs de u\
Pour la formule (4 bis), on opérera de la même manière avec cette différence que ce n'est plus à i/ et à «', mais bien à / et à /' qu'il faut donner les n valeurs équidistantes
aie 4''^ 2(/i — i)7r
Le Verrier voulant calculer la grande inégalité Pallas-Jupiter, c'est-à-dire le coefficient A<8 7, a employé la formule (4 bis), U aurait pu se servir avec plus d'avantage de la formule (3 bis). Mais il fallait la puissance de calcul de Le Verrier pour avoir le courage d'aborder une tâche aussi écrasante. Heureusement il y a des moyens d'éviter ces quadratures mécaniques, ou tout au moins de réserver les quadratures mécaniques pour le calcul, non plus d'une intégrale double, mais d'une intégrale simple. Les plus importantes de ees méthodes sont celles de Hansen, de Cauchy et de Jacobi.
301. Méthode de Hansen. — 11 s'agit d'obtenir les coefficients Bfliin' du développement procédant suivant les anomalies excentriques. U sera aisé ensuite de passer aux coefficients Kmm' au développement suivant les anomalies moyennes en employant la formule du n** 240, ou bien encore de passer au développement spécial de Hansen en employant la formule du n® 246.
Prenons alors l'expression de A^ ; c'est un polynôme du second degré en E-"*, E^'"', de sorte que nous pouvons écrire
(5) A«= A -+- BE^"'-H B'E-'«'-h CE*'"' -h CE-»'"',
1^1 CHAPITRK X\1I.
les coefficients A, B et C dépendant seulement de a; nous verrons ensuite que l'on a simplement
de sorte que Cet C sont indépendants de u et, de plus, du second degré par rapport aux excentricités. Nous pouvons en conséquence négliger ces termes en première approximation et, appelant AJ la somme des trois premiers termes du second membre de (5) et R la somme des deux derniers, écrire
La série (6) converge très rapidement à cause de la petitesse
de R, de sorte que le développement de - est ramené à celui de
Ao A}
Or nous pouvons poser
AJ = A H- BE'«'-+- B'E-'«' = H»[i -h a>— 2a cos(a' - P)],
H, a et p étant des fonctions de u. On en déduit
les éj** étant les coefficients de Laplace formés en fonctions de a par les procédés du Chapitre XVII.
A, B, B' peuvent être regardées comme des fonctions connues de a; il en est donc de même de H, a et ^ et, par conséquent, des bf^ ; on aura alors
si Chk est le coefficient de E'^" dans le développement de
c'est-à-dire si
CALCUL NUMÉRIQUE DKS COEFFICIENTS. l43
On calculera Tintégrale (8) par quadratures mécaniques à l'aide de la formule
(9) Ca* = 2
où n est un grand nombre ; la fonction qui figure sous le signe ^
est une fonction de // ; on y donnera successivement k u les n valeurs équidistantes
2it iiz i(n — Oit
Telle est la méthode de Hansen; je me bornerai à renvoyer pour plus de détails au Chapitre XXI du Tome IV de la Mécanique céleste de Tisserand et en particulier aux pages 34 1 à 344*
302. Méthode de Jacobi. — Jacobi cherche aussi à former le développement qui procède suivant les anomalies excentriques ; il décompose aussi A^ en deux parties A^ et R, dont la seconde est du second degré par rapport aux excentricités et aux inclinaisons; mais il n'a pas recours aux quadratures mécaniques. Sa manière de mettre A^ sous la forme
n'est d'ailleurs pas la même que celle de Hansen. Pour bien la faire comprendre, je suppose d'abord que l'inclinaison soit nulle. On trouve alors, en appelant Ç, t) et Ç', yj' les coordonnées des deux planètes,
D'autre part, si l'on pose
il vient
Ç-hi7i= r(E'«— 2e-i-e»E-'«).
On en déduirait l'expression de Ç — iri en changeant i et — /, et l'on aurait ensuite celles de Ç'-h i"^'^ $' — if\' en changeant a, s, ©, u en a', s', m', «/.
l44 CHAPITRE XXII.
Si, dans l'expression précédente, nous négligeons le terme en €^E~'", nous commettrons une erreur du second degré et nous trouverons
en posant, pour abréger,
, aE'w a'E'W aE-^w ,, a'E-'W
Si alors nous désignons par ùl\ cette valeur approchée de A' et par R Terreur commise, nous aurons
et R sera du second degré par rapport aux excentricités.
Si l'inclinaison n'est pas nulle, nous pourrons développer suivant les puissances de l'inclinaison et dans le développement ne figureront que des puissances paires de l'inclinaison.
Si donc nous négligeons l'inclinaison. Terreur commise sera du second degré. Nous pourrons donc conserver la même expression pour AJ et l'erreur R =: A^ — AJ sera encore du second degré par rapport aux excentricités et aux inclinaisons.
Nous pouvons écrire ensuite
A J = H* ( I — Y E't«*-«*'-<«>J — y' E-«»'-co') ) ( I — y ^-i{u-u'-iù) y' E-+-«»'-»'^ ), en posant
Y'E^M'rsae'— 26^.
Il est clair d'ailleurs que nous pourrions modifier les coefficients H, y, co, y', (i)', qui figurent dans AJ, pourvu que les modifications soient seulement du second degré par rapport aux excentricités et aux inclinaisons. L'erreur R resterait du second degré.
Jacobi profite de cette latitude pour faire disparaître certains termes de R, à savoir les termes tout connus, les termes en
COS. ,, cos
sin '' sin
CALCUL NUMÉRIQUE DES COEFFICIENTS. l45
Je renverrai pour les détails de l'analyse à la Mécanique céleste de Tisserand (t. IV, Chap. XVIII, p. 3oi à 3o6). Quoi qu'il en soit, nous avons
' - JL i ^ 3 R*
de sorte que (R se réduisant à un nombre fini de termes) le développement de - est ramené à celui de -jj • Si nous posons, pour
A Aq*
abréger,
il vient
^iiu-u'-ta) — z, E-' "'-w') = m,
et il s'agit d'effectuer le développement suivant les puissances entières, positives ou négatives de 5 et de m.
Il est aisé de vérifier que le coefficient de z^m^ sera, au facteur près Y^y'* et à un facteur constant près, une série hypergéométrique de deux variables de M. Appell par rapport à y^ et y'*.
Ces séries sont tout à fait analogues à celles que nous avons étudiées au Chapitre XVIII, seulement elles ne se réduisent pas à des polynômes.
Jacobi ne se sert pas de ces séries, qui n'étaient pas encore connues de son temps: son analyse est un peu diff'érente; on la trouvera dans la Mécanique céleste de Tisserand (t. IV, p. 3o6 à 3i i).
Les coefficients du développement de-—> -r* "-r» ••• sont liés
^^ Ao AJ AJ
par des relations de récurrence, et ces relations permettent de les exprimer tous à l'aide de quatre d'entre eux (de sorte qu'elles deviennent pratiquement utilisables). Il suffit, pour s'en convaincre, soit de se reporter à ce que nous avons dit au n'' !264, soit d'appliquer les principes du Chapitre XXI, en remarquant qu'ici Cl) = o, /= I et que le polynôme AJ présente une symétrie particulière, puisqu'il ne change pas quand on change z en - et td
en -
