Méthode de Cauchy. — Cauchy, comme Jacobi et Hansen

p. — II. 10

cherche d'abord le développement suivant les anomalies excentriques pour en déduire, par le moyen des fonctions de Bessel, le développement suivant les anomalies moyennes. Je n'ai pas à revenir sur le passage d'un développement à l'autre; je m'occuperai donc simplement de la manière d'obtenir le développement suivant les anomalies excentriques.

La méthode de Cauchy se rapproche également de celle de

Hansen par un autre point. Cauchy commence par développer --

suivant les anomalies excentriques de la seconde planète sous la forme

Les B„' sont des fonctions dé u et, si nous posons il vient finalement

Cauchy calcule les coefficients B,,' par des procédés analytiques et il en déduit ensuite les coefficients B,i,i' par quadrature mécanique à l'aide de l'intégrale

La différence provient surtout de la manière d'obtenir les coefficients B„'; reprenons la formule (5) :

(5) A«= A -h BE''*'-h B'E-'«'-h CE*'**' -h G' £-*'«'.

Si nous égalons A^ à o, nous obtiendrons une équation du quatrième degré eny =- E'"' qui peut s'écrire

B' (II) A -hB^h h G/« -h C'>-« = o.

Discutons cette équation ; nous observerons d'abord que ses coefficients ne sont pas réels, ou du moins A, C, C sont réels, mais B et B' sont imaginaires conjugués; l'équation ne change pas quand

CALCUL NUMÉRIQUE DES COEFFICIENTS. l47

on change j^ en — et «en — «. Les racines peuvent donc se répartir en deux paires :

où a et ^ sont réels et plus petits que i , de telle sorte qu'on permute les deux racines d'une même paire en changeant j^ en - et / en — i. De plus,

de sorte que le produit des racines est égal à + i ^ ce qui donne

11 en résulte que nous pouvons mettre A^ sous la forme d'un produit de deux facteurs :

A*= H*[i — 2acos(it'— (i))-ha*] [i — 2p cos(tt'-i- w) -h p»],

H étant facile à calculer quand on connaît a, p et co.

Nous remarquerons ensuite que, si l'on néglige e'*, le degré de l'équation s'abaisse, car C et C s'annulent et l'équation (ii) devient simplement

L'équation du quatrième degré se réduit donc au deuxième, une des racines étant devenue nulle et l'autre infinie. L'équation se résout donc aisément pour C^C'=o. Nous pouvons ensuite développer les racines suivant les puissances de C, en considérant A, B, B' et C comme des variables indépendantes et faisant C'= C. Comme C est du deuxième degré par rapport aux excentricités, la convergence sera très rapide. Nous voyons en même temps que p est une quantité du deuxième degré par rapport aux excentricités.

Il reste à eflfectuer le développement de - et pour cela on développera les deux facteurs

[i — -lacosCit'— ci>)-i- cx«] *= y^CpE'/»"',

[i — 2pcos(tt'-ha>)-Hp*] * =y c'^E'^**'.

l4H CHAPITRE XXII.

On aura ensuite le coefficient &„' en faisant le produit des deux séries ; on trouve ainsi

Les quantités

ne sont pas autre chose que les coefficients de Laplace

calculés respectivement en prenant a = a et a = ^. On les déterminera par les procédés du Chapitre XVII. Cauchy préfère employer, pour cette détermination, les séries procédant suivant les

puissances de ^ ( ou de — ^g» ) particulièrement commodes

dans le cas où p (ou q) sont grands, ce qui est le cas où il est placé.

Quant à la série

elle converge très rapidemenl à cause de la petitesse de ^; en ertel* le développement de c'^^p suivant les puissances de ^ commence par un terme en 3*"'*', donc ci,^ est du degré 2|/i' — p\ par rapport aux excentricités et est par conséquent très petit.

Avant calculé ainsi B« par la formule ^la^, Cauchj aurait pu obtenir ensuite B«« par la formule • lo i et en déduire ensuite A,,// par la formule ^la^ du Chapitre XVL Mais ce n*est pas tout à fait comme cela qu'il opère^ il passe par Tintermédiaire d*un développement mixte procédant suivant Tanomalie excentrique u' et l auom.die moyenne / :

do Norlo que

iTi\, — / B, K ^' ,;V-i / B» t-^*« I — e cos a ) du.

CALCUL NUMÉRIQUE DKS COEFFICIENTS. l49

Cauchy calcule Cn„' à Taide de cette dernière formule et pour cela il applique les quadratures mécaniques, c'est-à-dire qu'il prend (K étant un entier suffisamment grand)

KG

n«' = ]^Bn' £-'«'(1 — 6 008 a),

B„ et E~"»' sont des fonctions de u;on donne à u sous le signe "V les K valeurs équidistantes

air 2(K — i)7r

On calcule enfin Ai,,,' à l'aide de la formule

analogue à la formule (12) du Chapitre XVI. Cauchy a appliqué cette méthode au calcul de la grande inégalité Pallas-Jupiter, en faisant n = — 18, /i'= 7, il n'avait donc à calculer que les fonctions de Bessel de l'argument unique 7e'.

Je renverrai pour plus de détails à la Mécanique céleste de Tisserand, t. IV, Chap. XVII.

304. On pourrait évidemment fonder d'autres méthodes analogues sur les propriétés des fonctions elliptiques et sur l'emploi de formules, telles que celles dont nous avons fait usage au n? 236. Je me bornerai à cet égard à quelques indications sommaires. Supposons d'abord les excentricités nulles et que nous ayons à calculer, par exemple, l'intégrale