JJ
^/A-.B(.^ij^c(.^i)
où A = a^ -I- a'*, B = aa'^^ C = aa'u. Intégrons d'abord par rapport à iv; nous avons une intégrale elliptique que nous pouvons prendre par le procédé de la moyenne arithmético-géométrique. Ce procédé est fondé sur l'égalité
r dw w-^ r dw CV-»
l5o CHAPITRE XXII.
qui a lieu quand
Si nous prenons Tintégrale qui donne le coefficient de Laplace
les quantités qui jouent le rôle de ^a -f- 2 6 sont
en prenant les moyennes arithmétique et géométrique, on trouve
I, /i — a»; ^ en faisant une seconde fois la même opération,
i -4- v/l — ai* w; r
une troisième fois, d'où
ou
1 J / I -h V 1 — ex* \
ce qui est la formule du Chapitre XVII; nous avons vu quelle
approximation donne cetle formule quand a est plus petit que yf*
Appliquons la même méthode à Tinlégrale (1 3). Nous pouvons la mettre sous la forme
s-h ^f—\ fiz dw
JJ
I / a* -h a'« -h aa' ( w h j
CALCUL NUMERIQUE DBS COEFFICIENTS. l5l
en posant
(z -h - j ±aG = (a ± a')>= a'«(i ± a)«,
en posant
A-hB(z-f-- -hîG
A-hB U-f-- I — 2G
a' = l/A-H B(^-hi j -1-2G -+-4/Ari-B(^-+- -^ — 2G.
Notre intégrale, par l'application de la règle précédente, se réduira donc à l'intégrale simple
où a' et a sont des fonctions de z définies par les formules précédentes et que Ton pourra calculer par quadratures mécaniques, ou mieux de la manière suivante :
Comme B est très petit de l'ordre du carré de l'inclinaison, on pourra développer la fonction sous le signe / suivant les puissances de B (z -\ — ]> ce qui nous donnera en même temps le développement de cette fonction suivant les puissances entières positives et négatives de z.
305. On pourrait faire quelque chose d'analogue dans le cas général; il s'agit toujours de calculer l'intégrale
dx dy
On commencera par exemple par intégrer par rapport ky\ l'intégrale à calculer est alors une intégrale elliptique que je puis écrire
\y-m' dy
et il faut calculer Tune des périodes de cette intégrale elliptique.
l5'i CHAPITRE XXII.
Seulement A, a, {3, y, 8 sont des fonctions de x. Quand e' est nul, une des quatre racines a, ^3, v, S est nulle et une autre infinie. On est donc ramené au calcul de l'intégrale
yn dy
v/r^7 — tH^^ — S)
Le calcul des racines y et 3 est alors immédiat et Ton peul appliquer directement les procédés du Chapitre XVII et en particulier ceux du n° 2o6. Toutes les intégrales peuvent d'ailleurs se déduire de deux d'entre elles par les relations de récurrence du Chapitre XVII.
Si e' n'est pas nul, le cas est plus compliqué; il faut d'abord déterminer les racines a, fi, y, 8; nous avons expliqué au n** 303 comment cela pouvait se faire, grâce à la petitesse de e^ . D'autre part, nous n'avons plus comme au Chapitre XVII à calculer l'intégrale
mais l'intégrale plus compliquée
(>5) / V- — r àa.
où a et 6 sont des constantes et m un entier positif ou négatif. Et
en effet, pour ramener l'intégrale (i4) à la forme canonique, il faut
poser
p{u) étant la fonction de Weierstrass.
La période de l'intégrale (i5) dépend de celles des quatre intégrales suivantes :
I du, I t,'(u± Uo)du, / [ï(w-4-ao) — Ç(a -H ««)] ûfa,
/ [t^(u-hux) — li{u — Ui)]du,
Uq et Ut étant définis par les équations
p(Uo) = a, p(Ui) = b.
CALCUL NUMÉRIQUE DES COEFFICIENTS. l53
On s'en assurerait en décomposant la fonction doublement périodique (~ — , ) en éléments simples.
Or ces quatre intégrales ont pour périodes
On a vu au n" 2o6 comment on pouvait calculer (o« et r^i ; on trouvera dans l'excellent ouvrage de M. Schwarz ( Formules et propositions pour V emploi des fonctions elliptiques, d'après les leçons de Weierstrass, Paris, Gauthier-Villars, 1894) des formules tout aussi convergentes pour le calcul de Wo et de u^ (pages 67 à 73).
On voit qu'ici les formules de récurrence permettent d'exprimer toutes les intégrales en fonction non plus de 2, mais de 4 d'entre elles.
D'autre part 2(0|, 2x^1, 4*^1^09 4*^1^^! ^^ ^ouX plus ici des constantes, mais des fonctions de 27, et il faut maintenant les développer suivant les puissances entières, positives et négatives de x. Ce développement peut se faire, soit par quadrature mécanique, soit par des procédés analytiques ainsi que je l'ai expliqué à la fin du numéro précédent.
Nous remarquerons qu'il est préférable de faire la première intégration en prenant pour variable non pas y comme nous l'avons
fait plus haut, mais ^; il arrive alors que nos quantités b)|, 7|i, etc.
varient peu quand on fait varier x^ les variations étant de l'ordre des excentricités.
306. Seulement ce n'est pas la fonction perturbatrice elle-même qui figure dans les équations différentielles du mouvement; ce sont les dérivées partielles de cette fonction si l'on emploie la méthode de la variation des constantes ; ce sont les composantes de la force perturbatrice avec d'autres méthodes.
Si nous avions les coefficients de développement de la fonction perturbatrice sous la forme analytique, il serait aisé d'en déduire les coefficients correspondants dans le développement des dérivées partielles, ou des composantes de la force. Mais il n'en est plus de même si nous possédons seulement la valeur numérique de ces
l54 CHAPITRB XXII.
coefficients, et c'est là tout ce que nous donnent les méthodes exposées dans le présent Chapitre. Cela nous oblige à examiner la question à ce point de vue nouveau.
Pas de difficulté en ce qui concerne la dérivée partielle suivant Tune des anomalies moyennes / ou /'. Si l'on a
on trouve immédiatement
Pour les autres dérivées partielles, il s'agit (a étant l'un quelconque des éléments) de calculer
où
Si l'on veut les composantes de la force suivant trois axes rectangulaires, on aura à développer
Lii ililZl' lui!
en désignant par 5? ^? ?i S'» V? 'Q les coordonnées rectangulaires des deux planètes.
Dans la méthode de Hansen i^volr Tisserand, t. IV, Chap. XXI, p. 340 on considère les composantes de la force suivant trois axes particuliers et l'on est amené à envisager les combinaisons
Dans tous les cas, il s'agit de développer une expression de la forme -r;» et - est encore de la même forme en faisant P = A-. Ce
qui nous intéresse c'est que, quand on développe P suivant les anomalies excentriques, c'est-à-dire suivant les puissances entières, positives et négatives de x et de y^ ce développement ne contiendra qu'un nombre fini de termes.
Cela est vrai des coordonnées Ç, y|, Ç? $'î V- î' et par conséquent
CALCUL NUMÉRIQUE DES COEFFICIENTS. l55
de leurs combinaisons
Cela est vrai de A* et par conséquent de --t- • Il faudra donc opérer de la façon suivante :
i" On développera — suivant les anomalies excentriques. Les méthodes des numéros précédents qui visaient particulièrement s'appliquent sans changement à — et en particulier à — •
2" On multipliera le développement de — par celui de P.
Ce dernier développement se réduisant à un nombre fini de
termes, cette multiplication ne présente aucune difficulté.
P S** On passera du développement de — suivant les anomalies
excentriques à celui de cette même quantité suivant les anomalies moyennes à Taide de la formule (lu) du Chapitre XVI.
Une dernière observation toutefois. Les dérivées -y -y -r- dont
nous venons de parler et que Ton rencontre dans la méthode de la variation des constantes, sont les dérivées prises par rapport à un système de variables parmi lesquelles figurent les anomalies moyennes.
Désignons au contraire par — > avec des d ronds, les dérivées
prises par rapport à un système de variables parmi lesquelles figurent les anomalies excentriques. Nous avons immédiatement A*
et il est aisé d'en déduire -r- et — -; mais ce qu'il nous faut c'est
^ -• Tout d'abord, si l'élément a n'est pas l'une des deux excentricités e ou e', on a simplement
Si a = e, t = u — e sin w, il vient
d i d \ d \ idl d i d i
= -î- 1 — Tî — -r- = -t-T-H sin u-r, —•
de à de ^ dl à de de 1 dl X
l5(> CHAPITRE XXIÏ. — CAU:UL Nl'MÉniQlE DES COEFFICIENTS.
Nous connaissons le développement de - et de — t- H reste donc à trouver celui de sin// -r, r-
al A
Soit donc
L =.^Bpp'E'^P'*^p'" =2 A^,,„'E'"«'-^"»'''>
avec
PL,„m' = y\CPLpf/; C= -^ 3 ,„-p( me ) ifn'-p'im' e'), ^t '^'^ mm '
il viendra
àe A ^^ ôe Jmd
avec
D'autre part
de A ~"^ c^e
£/(/«/-♦- wV)
avec
Il reste donc
avec
et
dC
^mm' =7^ t5/»/i'
G«im' =^^ Bp,/
rfc
La formule précédente est analogue à la formule (12 ) du Chapitre XVI. Nous connaissons B^,, et ^^ ; les formules précédentes nous permettent d'en déduire A,/,„i , D„,m'i Gmm' et par conséquent le développement de ^ - suivant les anomalies moyennes.
TERMES D'OKDKE ÉLEVÉ,
307. On peut être amené à rechercher une valeur approchée du coefficient A^/m' quand m et m' sont des entiers très grands en valeur absolue et cela pour deux raisons :
i" On peut se rendre compte ainsi de la rapidité de la convergence des séries;
2** Un terme d'ordre élevé r\.,nm' peut donner lieu à une perturbation notable si, le rapport des moyens mouvements n et n! étant sensiblement commensurable, le diviseur nin,-{- m' n! devient très petit. Le coefficient de la perturbation de la longitude est alors de l'ordre de
(mn -h n:' n')^
et il convient alors de calculer le coefficient A,;,,,,' sans avoir besoin des coefficients précédents. Le plus souvent, une fois ce calcul terminé, on reconnaîtra qu'il était inutile, parce que la valeur trouvée pour A„im' est trop petite. Il y a donc intérêt à se faire d'avance une idée de Tordre de grandeur de ces coefficients, et même à pouvoir en trouver rapidement une valeur approchée. C'est ce but qu'on peut espérer atteindre par l'emploi de la méthode de M. Darboux pour le calcul des fonctions de très grands nombres. Cette méthode repose sur les principes suivants :
i** Si une série
est convergente dans un cercle de rayon p', et que sur la circonférence de ce cercle elle possède un point singulier Zq, tel que dans le voisinage de ce point la fonction ^{z) soit développable suivant
l58 CHAPITRE XXIII.
les puissances entières, réelles croissantes et d ^ailleurs fractionnaires ou même incommensurables, positives ou négatives, de
1 > de telle façon que le premier terme du développement
dont l'exposant ne soit pas entier soit
on aura approximativement pour n très grand
2** Si le point singulier est logarithmique, c'est-à-dire si ^{z) est de la forme
«P(Z)= 9,(3)-hlog(l— ~j<p,(^),
Çi {z) et ^2(2) étant dé veloppables suivant les puissances réelles et
croissantes de i > il faudra opérer de la façon suivante. Soient
Si et 5a les exposants du premier terme du développement de %% et de ^3 dont l'exposant n'est pas entier. Soit s^ l'exposant du premier terme de cp^, les exposants entiers n'étant pas exclus. Si 5| <;5q, on pourra appliquer la formule précédente en changeante en 5|. Si Si^s^^ il faudra envisager le premier terme de 02
i'-rr
Si Sq n'est pas entier négatif, on a approximativement
Ao n*«-* logn
" zi r(so)
et, si Sq est entier négatif ou nul,
an= ^(— i}*o^»r(i — so)n*o-»;
3" Si la fonction ©(2) présente plusieurs points singuliers. sur la circonférence du cercle de convergence, la valeur approximative de a„ sera la somme des valeurs approximatives partielles que Ton obtiendrait en considérant isolément les divers points singuliers;
TBAMC8 d'ORDRB ÉLEVÉ. iSg
4" Supposons que ^(z) soit de la forme
et que cette série double converge dans une couronne comprise entre les deux cercles |3|=:p<, |5| = poî Pi>po- Alors la série
^a/j^" convergera pour [zj^pi et ne présentera aucun point
singulier sur le cercle |z|=:po ni à l'intérieur. Au contraire la
série ^6„3~" convergera pour |^|>po et ne présentera aucun
point singulier sur le cercle |^|=p< ni à l'extérieur. La valeur asymptotique de a» s'obtiendra d'après les règles précédentes en envisageant les points singuliers de ^{z) sur le cercle [3|=pi; celle de b„ s'obtiendra d'après les mêmes règles en envisageant les
points singuliers de ©(-s), ou plutôt de ç ( - ) sur le cercle 1 2 1 =: po-
308. Comment ces principes peuvent-ils s'appliquer au problème qui nous occupe? Il semble d'abord qu'ils sont faits uniquement pour les fonctions d'une seule variable. iVussi M. Flamme a-t-il commencé par décomposer le terme à évaluer en une somme dont chaque élément était le produit de deux facteurs dépendant chacun d'une seule variable, qui était l'anomalie moyenne de la première planète pour le premier facteur et celle de la seconde pour le second facteur.
Mais on peut opérer d'une autre manière. Soit
(i) m = an -h 6, m' = en -h dj
a, bj c, d sont des entiers finis et donnés une fois pour toutes; n est un entier très grand ; a et c sont premiers entre eux. Jl faut calculer
Nous avons
— iir'A
mm'
avec
__ me I I \ m' e / i \
l6o CHAPITRE XXIII.
Soit
ae l \\ . ce' f i \
Notre intégrale deviendra
Considérons la fonction auxiliaire
Sous le signe \] nous ne donnons pas à m et m' toutes les
valeurs, mais seulement celles qui sont de la forme (i); mais nous pouvons encore opérer de deux manières :
I" Nous pouvons donner à n toutes les valeurs entières positives y outre la valeur zéro; nous obtenons ainsi V intégrale de Féraud
2" Nous pouvons donner à n toutes les valeurs entières positives, négatives ou nulles; la fonction ^(5) peut alors se mettre sous la forme d'une intégrale simple. Nous pouvons trouver deux entiers a et Y tels que
aa -H CY = I,
puisque a et c sont premiers entre eux. Posons alors Nous avons le développement
TERMES d'ordre ÉLEVÉ. ^ i6t
Considérons alors l'intëgrale simple
(4 ) r i tbc-ad-l js-M+rd) dt
prise le long de la circonférence | / 1 = i . Cette intégrale peut s'écrire
où
jx = a(m' — d) — c(m — 6) — i.
L'intégrale / t^ dt est nulle à moins que [jl = — i et alors elle
est égale à liizx pour que [x = — i, il faut que m et m' soient de la forme (i); mais alors on a X = /i; de sorte que l'intégrale (4) se réduit à
^^ IITZ
Ainsi, pour résoudre le problème qui nous occupe, nous n'avons qu'à rechercher la position et la nature des points singuliers de la fonction ^(s), et pour éviter toute confusion nous distinguerons la fonction ^i{z) de M. Féraud définie par l'intégrale double (3) et la fonction ^2(2) définie par l'intégrale simple (4).
309. Appliquons ces principes au calcul des coefficients de Laplace qui sont donnés par la formule
avec
fitèi^>=: fp-^z^-^dz,
Considérons d'abord s comme fixe et faisons croître A", il s'agit de trouver le coefficient de z^ dans le développement de F
Cette fonction présente deux points singuliers, l'un sur le cercle
extérieur à la couronne de convergence, 5=-, l'autre sur le
