GÊNBRALITBS SUR LA THÉORIE DE LA LUNE
3" U3 dépend en outre des éléments de l'orbite terrestre, à savoir : de la longitude du périhélie — (v'.,, qui est une constante; de U longitude moyenne du Soleil — (v!^, qui varie proportionnellement au temps; de Texcentricité solaire, que j'ai désignée plus haut par E3, et enfin du demi grand a\e de l'orbite solaire que je désignerai par a'.
Voyons comment chacun des termes de la série (9) dépend de a. La distance AC ne dépend que des coordonnées de la Lune, le facteur P;, dépend d'un angle; il ne dépendra donc pas de a', mais seulement des autres éléments du Soleil. Quant à BD""*"*,
c'est la puissance /i-|-i '*'"*' d'une longueur, il sera donc propor-
tionnel à a"'^*. Le rapport h-^t sera indépendant de a'. Nous pouvons donc écrire
' ^j^ (m, -h m:)" \BD/ a'"-^^
et comme tous les facteurs sauf le dernier sont indépendants de a', ûous aurons le développement de U3 suivant les puissances décroissantes de a'. Le premier terme du développement (10) est
-P'^^'(im)'?î
mi-h m de sorte que nous pouvons écrire
Hi - ^ V O -L m\ " a'3 jU ^^ a'n '
Q„ étant indépendant de niji et de a'.
Le facteur -7^ est petit, c'est lui qui joue le rôle de |jl. D'ailleurs a' est une constante et notre fonction perturbatrice se trouve développée en une série très convergente procédant suivant les
puissances de —7- Cette constante —7 pourrait donc aussi jouer le
rôle de u; de sorte qu'en appliquant les principes précédents, nous trouverions que nos inconnues peuvent se développer suivant les puissances de
-7- et de -7.
lO CHAPITRE XXIV.
D'autre part, la troisième loi de Kepler nous donne
d'où
IH
ni},
Le second facteur est une constante connue; elle est si voisine de l'unité que nous pouvons prendre simplement
Il semble donc que nous devions conclure que nos coordonnées
vont être développables suivant les puissances de n^ et de -7»
Mais avant d'adopter cette conclusion, il convient d'y regarder de plus près. 4>| et U2 dépendent de /i2 de deux manières :
I" Directement, à cause du facteur |jl = — 7^ qui affecte U3;
2" Indirectement, parce que Uj dépend en outre de iv^, qui est égal à 712 1,
Pour pouvoir appliquer les principes du Chapitre X, il faut regarder /ij (en tant qu'il entre par (v'^) et [jl comme deux variables indépendantes. Dans ces conditions, nos développements procéderont suivant les puissances de [jl, mais les coefficients seront des fonctions des différentes constantes et en particulier de «2« Or nous avons vu que les intégrations introduisent des petits diviseurs de la forme Xr« /i« -f- /ra^aî ''"^^ de ces petits diviseurs est précisément /l2.
Considérons donc un terme quelconque du développement dépendant de ce petit diviseur qui est n^j soit a l'exposant de u et ,3 celui du petit diviseur, de telle façon que notre terme contienne en facteur
L'expression a — ^ représente ce que nous avons appelé la
classe du terme, et nous avons démontré au n** 198 que cette classe était toujours positive ou nulle.
L'exposant 2 a — ,3 de /i2 ne peut donc pas être négatif, mais il n'y a pas de raison pour qu'il soit pair.
