Nous trouvons donc finalement
ar' = /(m|, niT, m^; n,, E,, E,; w\, iv\, iv, ; a\ Ej, iv\, w'^).
Nos coordonnées dépendent en efiet des trois masses, des quatre arguments w\^ (v*, iv\, iv.^; des deux constantes d'intégration E| et E2 introduites plus haut; d'une troisième constante pour laquelle nous pouvons choisir le moyen mouvement n^ ; des éléments de l'orbite solaire a', Ej et w'^.
Nous pouvons remplacer m^ par a'^n] et introduire une nouvelle constante a définie par
Alors mi et m^ sont des fonctions de — - et de n^.a^, de sorte
miH- /n7= n\a^,
les fonctions de ' que nous pouvons écrire
^'==/(^> «, 11, K,, Ej, %v\, w\, w\, w',, a', n,, Ej, w'\
11 faut faire intervenir maintenant des considérations d'homogénéité :
a et a' sont des longueurs, de même que les x';
^- et — sont des temps:
les E sont des nombres, ou du moins on peut profiter de l'indétermination de leur définition pour le supposer;
— et les w sont des nombres.
Dans ces conditions, pour que la formule soit indépendante
des unités de longueur et de temps, on doit avoir
Je n'écris pas explicitement celles des variables qui sont des nombres. Nous poserons
— = m , — = «7 /Il a
et comme nos expressions sont développables suivant les puissances de «2 et de -?> nous voyons qu'elles le seront suivant les
puissances de m! et de a; la constante m est le rapport des moyens mouvements ; a est ce qu^on appelle la parallaxe.
On aura d'abord, en difTérentiant par rapport au temps,
n m\ d.r'i I dx'i
//Il dt mt dt
IH
et, par conséquent, par raison d'homogénéité,
fi— '^\<^f\^y ^) = nta/(m\ a), et, d'autre part,
317. Il convient encore de faire quelques remarques au sujet de la symétrie. Nos développements procèdent suivant les puissances de
„ cos , cos , , cos , m, a, E, . tv'j, Et . w',, E, . w\, sin * sin ' sm
et l'argument du terme général est
On a ^ Xr — ^ /? = o pour x'^ et = 1 pour x\ et x'.^ . D'ailleurs /?j est pair pour x\ et x'., et impair pour x'.^ ; d'où il suit que
GENERALITES SUR LA TriÉORlB DE LA LUNE. l3
est toujours impair. D'autre part, p^ est toujours de même parité que l'exposant de E3 ; donc k^-^ k^ — p\ — 1 est toujours de parité opposée à cet exposant.
Soit maintenant q^ l'exposant de la parallaxe a; nous voyons que la position du Soleil ne change pas quand on change
en
a', W\ H- 7:, IV 3 -h 77,
Dans ce cas, les coordonnées du Soleil ne changeant pas, rien ne doit changer puisque, dans nos équations, a\ w\^ w'^ ne s'introduisent que par les coordonnées du Soleil.
Or, dans ces conditions, un terme quelconque se trouve multiplié par
on doit donc avoir
^0 -+- ^*s -^- /'a = o (mod. 2).
D'autre part nous avons trouvé
pour les trois coordonnées x\^ x'.,^ x'^^ et par conséquent Pour les distances mutuelles nous aurions trouvé
ki-^kt — px — pz^o, d'où
Un peu plus loin (n" 320) nous poserons
X = x\ cos Wj-f- x'^ sin tv,, y = — x\ sin tvj -h x\ cos w^.
On voit que si k^ est pair dans le développement de x\ etarj^, il sera impair dans celui de ;r et ^ et inversement. On aura donc, pour X et y^
et pour les termes indépendants de a et de Ej, c'est-à-dire si
l4 CHApfrRE \xiv.
qQZ=p^= o, on aura
318. Nous allons donner une formule importante pour ce qui va suivre, et, pour l'établir, nous reproduirons à peu près le raisonnement du n** 120, en nous appuyant sur le théorème du n" 16. D'après ce théorème, si l'on a un système d'équations canoniques
dt dy dt dx
et si les x et les y sont supposés exprimés en fonctions des constantes d'intégration a et du temps /, on a l'identité
Va: dy = d£k -h V A rfa — F dt^
où Û est défini par l'équation
— =^F-hy ar^ = F-yx — , dt J^ dt JiU dx*
et où les A sont indépendants du temps et dépendent seulement des a.
Ici nous avons les équations (3 bis)
dx'i ^ d^x dyl d^\
W ^lyi' 'dt'~""d7i'
Elles sont bien de la forme canonique, mais 4>| dépend non seulement des inconnues x' et y" ^ mais encore du temps, ce qui nous oblige à appliquer l'artifice du n® 12. Si 4>| dépend explicitement du temps, c'est par l'intermédiaire des coordonnées du Soleil, qui elles-mêmes sont des fonctions périodiques de l'argument \v.y Mous introduirons donc deux variables auxiliaires u et v^
Nous pouvons écrire 4>| sous la forme
et poser
Nous avons alors, si nous voulons que u = w»!j = /I2/ + ©2?
du dF'
GÉNÉRALITÉS SUR LA THÉORIE DE LA LUNE. l5
et Dous pouvons écrire les équations canoniques
Oi)
dx'
dt
df d?' dt dx'
du
dt
d¥' " dv'
dv d?'
dt ~ du
Nous ajoutons arbitrairement la quatrième équation qui peut être regardée comme la définition de v. Nous poserons d'ailleurs, pour unifier les notations,
et, d'autre part,
ce qui ne change pas la définition de /I4, n^y rSi elnT^.
Les équations restent canoniques et F' ne dépend plus explicitement du temps; nous pouvons donc écrire
(12) \x' dy-h a û^t; = é/û -h V A rfx — F' dt.
Mais
F' dt =(*i-H n^v) dt = fpidt-h v(du — dm^),
ce qui nous permet d'écrire
(i3} \x' dy= d(Q— uv)-^\xdoL — ^idt -^ v drOi.
Quelles sont nos constantes d'intégration a? Nous avons d'abord m', E| et E2, que nous appellerons les constantes p: nous avons ensuite les constantes m qui figurent dans les arguments w.
Le système (11) étant du huitième ordre, il y a une huitième constante, mais nous n'avons pas à nous en inquiéter, car elle n'entre que dans la variable parasite v. C'est la constante K qui figure dans le second membre de l'équation
/lï f -h 4>i = K.
Quant aux autres constantes, ce sont celles du Soleil, elles doivent être regardées comme connues et non comme des constantes d'intégration. Parmi les sept constantes que nous conservons, nous distinguerons les jb et les trois autres (m^, E4, E2) que nous
l6 CHAPITRE XXIV.
appellerons les ^. Je puis écrire alors, en distinguant les coefficients de ces deux sortes de constantes,
et en posant
nous arrivons à la formule
( 1 4 ) V 37' dry = rfi2' -h V A ^/ro -h V B é/p — * i rf/ H- P dwf.
La fonction Q' se trouve alors définie à une fonction arbitraire près des constantes {3 et C7, par Téquation
Le second membre est une fonction des constantes ^ et des arguments «', périodique par rapport aux «\
Désignons par H la valeur moyenne de cette fonction périodique, ce sera une fonction des jâ seulement. Nous pourrons alors supposer que
Q" étant une fonction des j3 et des ii', périodique par rapport aux w. La valeur moyenne de cette fonction périodique peut être choisie arbitrairement puisque Û' n'est définie qu'à une fonction arbitraire près des constantes, nous la supposerons nulle. Dans ces conditions ly est fonction seulement des |3 et des «'. Nous poserons alors comme au n" 129
(i6) ^x'dy-dQ'=^V^\dii',-^^C,d^i,
et nous reconnaîtrons que les W et les G sont des fonctions des 3 et des iv, périodiques par rapport aux «\ Nous avons donc l'identité suivante en rapprochant les équations (i4) et (i6)
('/) ^y^dw-h^Cdp-'d(lil)=^AdW'+-Shd^-^^idt'hvdmi. Cette équation doit devenir une identité quand on y remplace wi
