GÉNÉRALITÉS SUR L\ THBORIB DE L.4 LUNE. I
par riit -h m/. Alors noire relation (17) peut s'écrire
Vw(/ic/f-h/€/n-+-rfTij)-+-Ycrfp— H<f^~ tdVi = \^ A </w -h \^ B û^^ — *! rf/ -4- p dxst^ d'où, en identifiant les coefficients des diverses différentielles,
Discutons les équations (18) et appliquons-leur les lemmes des n*** 108 et suivants. Si nous prenons d'abord l'équation W|= A/, nous voyons que le premier membre doit être une fonction des ^ et des tv, périodique par rapport aux (v, et que le second doit être une fonction des ^ et des m. D'ailleurs cette équation doit devenir une identité quand on y remplace iv par nt -\-m. Cela n'est possible que si W, et A/ sont fonctions des ^ seulement (pour i= i , 3 ou 4)« Si nous prenons maintenant la dernière équation (18), nous verrons que le premier membre se compose d'une fonction C périodique des i\\ et d'une autre fonction périodique des w multipliée par t] et le second membre d'une fonction B des p et des m et d'une autre fonction des ^ multipliée par t. L'identité n'est possible que si l'on a séparément
C = B = fonction des ^.
On aura donc
(19) 2wrf/i = rfH,
et, en rapprochant de la première équation (18),
(20) rf4», = — Y/irfVV.
Nous remarquerons que dans la somme y^Wc//?, le terme W^rf/i.
l8 CHAPITRi*: XXIV.
ne figure pas, puisque n^ est une constante donnée et que par conséquent dn^-=^ o.
Nous avons dit que W,, Wa, W4 dépendent seulement des 3, voyons ce que nous pouvons dire de W^, nous avons Féquation
VVj= Aj-+-t',
où W2 est une fonction des j3 et des sv périodique par rapport aux (Y', où
K étant notre huitième constante, tandis que 4>| est une fonction des ^ et des (v, périodique par rapport aux w ; quant à A2, c'est une fonction des huit constantes ^, m et K. Nous avons donc Tidentité
(21) /isWi-h*! = wjA,-i- K,
dont le premier membre est fonction des ,3 et des «', périodique en (V, et le second membre fonction des p, de K et des m. L'identité n'est possible que si les membres sont fonctions des ^ seulement. J'écrirai alors la première équation (18) sous la forme
où chaque terme du premier membre et le second membre sont fonctions des ^ seulement.
Nous avons vu plus haut que quelques-unes de nos coordonnées sont des fonctions paires et d'autres des fonctions impaires des
arguments
Wj, «%, C*i, (Vj, IVj.
Le dernier de ces arguments w\ est une constante que l'on peut regarder comme donnée une fois pour toutes; nous pouvons la supposer nulle, ce qui revient à prendre pour l'axe des X\ le grand axe de l'orbite terrestre. Dans ces conditions nos coordonnées seront des fonctions paires ou impaires des quatre arguments
Les fonctions suivantes seront paires :
, dx\ dv\ dy\ ^ do:
H, W, A, V, n, :r-jj-, r -5— > -j —
GilfBRALITéS SUR LA TuAORIB DE LÀ LUNB. I9
Les suivantes seront impaires :
^t, yu ^s, -37-' -sr* -5^'
Ce que je voulais faire remarquer, c'est que C devant être indépendant des w et en même temps fonction impaire des (v, devra être nulle, de sorte que nous aurons simplement
et à cause des équations (i8) et (21)
(«) 2«^rfy-rfû'=2AU«.,-îi^s
où Ton a posé
de telle façon que les A' dépendent seulement des ^.
3i9. De la formule (22) on peut déduire une série de formules importantes, que nous écrirons sous la forme
2a.'ièl fËl=A'-îl, et, en particulier, pour la constante m',
jià^ dm' dm'
Mais, dans Papplication de cette dernière formule, il faut faire attention à une chose; nous avons écrit plus haut (p. 12)
a?'=a/(/n', a), y= yi,a/(m',«), P. — II (a). a.
ao CHAPITRB XXIV.
OÙ a = -y. Il faut alors faire attention que x^ et y" dépendent de m\ non seulement directement, mais par l'intermédiaire de a qui est fonction de m', et par l'intermédiaire de a qui est égal à -7*
320. Axes tournants. — On peut avoir un grand avantage à rapporter le système à des axes tournants autour de l'origine avec une vitesse angulaire n^ ; ces avantages ressortent déjà de ce que nous avons dit plus haut au n** 313; nous avons vu en effet que lorsque E3 = o, les équations du mouvement se présentent sous une forme particulièrement simple en employant ce système d'axes.
Il serait facile d'établir les équations du mouvement par des procédés élémentaires, mais il sera préférable de rattacher la transformation aux principes du Chapitre I. Je reprends les équations (11) du n® 318; d'autre part, pour me rapprocher des notations de MM. Hill et Brown, je désigne par x^ y^ z les coordonnées de la Lune par rapport aux axes tournants, de telle sorte que l'on ait
X = a7| cos u + â/, sin u, ^ = — ar'i sin a -+- a/, cos u,
L'angle u est l'angle des axes mobiles avec les axes fixes; c'est donc (Va = iv* = /I2 ^ + ^2 ; 1& lettre u a donc la même signification qu'au n° 318; je poserai ensuite
/î = X cos u — Y sin u, ^î = X sin a -f- Y cos a,
et enfin
Dans ces conditions on a
dx = daf^ cos u + da/^ sin u -f- j^ </i#, dy ^s=> — rfa?! sin u -h dy, cos a — a? duy
et, par conséquent,
Z^y ^'-+- 9du,^y^dx '>r\ dy -^-Zdz-^ v'du.
