GENERALITES SUR LA THEORIE DE LA LUXE
Le changement de variables est donc canonique et les équations (i i) (p. i5) deviennent
; dx dF' \ dt ^ dX'
d\ dF' dt ~^ dx'
i du dF' \ dt ~ dv''
dv' dF' dt "" du '
avec les équations qu^on déduit des premières par permutations circulaires de x^ y^ z et de X, Y, Z.
On a d'ailleurs
Ft Tj -t- Ui -h Us , ^ V \
nt
dX dt
d^ ~" dx ~~
d'P'^ dx
-h/ijr
et les équations (sS) nous auraient donné
dx ^ dy ^ dz -
du
en posant
Remarquons que nous avons
«1 ( X^ — Y ar) = /i, (y; a?; — 75 ar'i ).
La dernière des formules (24) nous fait connaître le sens du terme complémentaire /ia(XjK — Yx); il représente, au facteur constant près ^21 la constante des aires dans le mouvement absolu.
Dans le cas où £3= o, F' ne dépend plus de x^y, z, X, Y, Z, et pas de u. On retrouve donc l'intégrale de Jacobi qui peut s'écrire
r — n^v' = i y X» -f- ^'^y* -^ ^iiXy - \x)= const.,
22 CHAPITRB XXIV.
OU bien
Nous trouvons ensuite
d'où
\x' dy=\x dX-h{\y — Yx) du,
et, en rapprochant de la formule (22) et remarquant que u = iVj,
(25) 2'rfX-rfû' = 2AÎ'/"'/-^^'
en posant
*; = <l>| -+- /i,(Xj — Yar)= F'— /i,i^'.
D'autre part û" est encore défini par (»6) =4.',^.2x^-H.
H étant une constante choisie de telle façon que la valeur moyenne du second membre soit nulle. Il suffit en effet de se reporter à la formule (i5) et de remarquer que
321 . Choix des constantes. — Il importe de comparer aux notations précédentes, celles qui ont été employées par Hansen, par Delaunaj et par Brown. Delaunay emploie les arguments suivants :
D = tvî — ivj = (Vi — cvj = distance moyenne Lune-Soleil, F = tv, -h wj = wi -h (V4 = distance moyenne Lune-nœud, / = tvj H- iv'i = Wi -h »V3 = anomalie moyenne Lune, /' = ivj -h tv'j = anomalie moyenne Soleil;
ou si (Vj = o, comme nous l'avons supposé, /'= çv^ = iV2= m. Hansen prend pour arguments :
^= iV,H- W,,
0) = tV4 -h Wj,
GKNBBALITBS SUR LA TH^OBIE DE LA LUNB. 23
Brown adopte les ar^ments de Delaunay, mais dans ses formules 6gureat plus habituellement les exponentielles imaginaires
11 faut aussi comparer comment sont notées les constantes qui correspondent à celles que nous avons désignées plus haut par a, m , E, Ea, E3.
La constante Es, excentricité du Soleil, est partout désignée par e'; le rapport des deux moyens mouvements que nous avons appelé m' est désigné par Delaunay par m. Au contraire, ce que Brown désigne par /w, c'est le rapport
/tj m' mouvement sidéral du Soleil
/Il — ns 1 — m' mouvement synodique de la Lune Nous poserons comme lui
il est aisé de voir que m! peut se développer suivant les puissances de m et que, par conséquent, toutes nos séries qui procèdent suivant les puissances de m' peuvent être développées suivant les puissances de m ; la convergence s'en trouve même augmentée, on verra plus loin pourquoi.
Les constantes qui correspondent à a, E| sont désignées par Delaunay et Brown par a, e ; mais elles sont définies d^une manière différente. Pour Brown a est le coefficient de l^ = e*^ dans le développement de X -h «y, et par conséquent celui de cosD dans celui de x, ou plutôt a est défini de façon qu'il en soit ainsi, si Ton néglige E|, Es et E.i; pour Delaunay, a est défini par Tégalité
ce qui vaut mieux.
Delaunay définit e de telle façon que le terme principal de Téquation du centre ait même expression que dans le mouvement képlérien; pour Brown, au contraire, e est le coefficient de asinl dans le développement de x\ sintv, — x'^cosiv^. Ici la différence est importante puisque le e de Brown est à peu près le double de celui de Delaunay.
La constante d'inclinaison qui correspond à E3 est désignée
