P,AG«= ^^*— ^'V

Mais nous avons trouvé plus haut au n® 320

r — /ijP = h j h /iji A V — I ar).

Rappelons d'autre part que

d'où

m', ~" AC • a'' "'**'

d'où enfin

i?/ , X«-t- Y« /rt,-hm7 , 2a7* — y* ... .. .

F=/i,i;'H ^ ^^ n\ ^-=^ -+./i,(X^ — Yt).

Comme F' ne dépend pas de //, la variable auxiliaire v' se réduit à une constante et ne joue aucun rôle, et les équations canoniques (23) du Chapitre précédent deviennent

dx ^ dy ^

(I) ;=^__x + 2nîx + n,Y,

dY m\ -*~ m? , -,

Mais les deux premières équalions nous montrent que

d\ d^ dy d\ d^y dx

dt ^ dt^^'^^'di' 'di'" dO '^"'^ dt'

d\ ^ ii^r dy

d\ „ d^Y dx .

de sorte que les dernières équations (i) deviennent

Ces équations peuvent être mises sous une autre forme; si nous posons

cela revient à changer l'unité de temps de telle sorte que l'argument de Delaunay joue le rôle de temps. On a alors, d'après len«321,

d-z • fit

-7- = /Il — w* = — dt m

Si alors nous posons

{/Il - /ij;*

les équations deviendront

I d^x dY . . XX

r/* Y dx X Y

Telle est la forme particulièrement simple que prennent les équations du mouvement de la Lune quand on néglige :

I" La parallaxe;

2** L'excentricité solaire;

3** L'inclinaison.

Le problème que nous proposons maintenant est de trouver une

a8 CHAPITRE XXV.

solution particulière de cette équation; à savoir celle qui correspond au cas où la constante E| est nulle. Comme nous venons de voir que x ety sont développables suivant les cosinus et les sinus des multiples de 2D, ou de 2t, nous voyons que cette solution particulière est une solution périodique. Le problème a été entièrement résolu par Hill dans un Mémoire de tout premier ordre dont nous allons exposer les principaux résultats (American Journal of Mathema tics, t. 1).

324. Équations homogènes. — Ainsi que nous l'avons vu au Chapitre précédent ces équations admettent l'intégrale de Jacobi, qui s'écrit

C'est d'ailleurs une combinaison immédiate des équations (3).

Ici /' = y/ÏM-\r^ désigne la distance AC.

Nous avons donc trois équations que je puis écrire en mettant

dx d^ X

x' et x/' pour -r- et -ty, ce qui n'a plus d'inconvénient; nous obtenons ainsi

x" — imy' — 3m*j:-h -j- = o,

(4) 1 y-{-2mx' -H ^ =0,

.r'î Hv'2 3 m» X

Entre ces trois équations nous allons éliminer x; nous trouverons

( yx" — xy' — 1 m ( j >'' -f- xx ) — 3 m* xy = o.

La première s'obtient en multipliant les trois équations (4) pi*r X, j^ et 1, et la seconde en les multipliant par j^, — j: et o et ajoutant.

On voit tout de suite que les premiers membres des équations

(5) sont des polynômes homogènes du second degré par rapport à :r, y et leurs dérivées.

lA VAEIATION. 99

325. Aquations imaginaires. — Hill met encore ces équations sous une autre forme en introduisant les notations

M = a? -4- iy^ s ^x — iy, Ellles deviennent alors

1 Mx^-H u's — 2/n*(ia' — *ii')-h u's'— ^-7— (a -4-5)'= aC,

(«> si.

/ lo* — u's — ^mi{us'-^ su*) (m«— *ï)=o;

ces deux équations peuvent être remplacées par une seule

(7) u^— imius'-A — (i5a*-Hi8j«-l- 35»)= C,

à laquelle il convient d^adjoindre son imaginaire conjuguée

(8) u's-\-imisu' -\ ^(i5**-l-i8M5-h 3m*)= G.

Il est aisé de vérifier en effet que les deux équations (fi) ne sont autre chose que la somme et la différence des équations (7) et (8).

326. Les équations (3) forment un système du quatrième ordre, elles conviennent pour l'étude des termes de degré zéro et pour les termes qui dépendent seulement de l'excentricité lunaire £«, mais sont indépendants de Tinclinaison E2, delà parallaxe a, et de Texcenlricité solaire E9. L'excentricité lunaire E^ est l'une de nos constantes d'intégration; si nous la supposons nulle, il ne subsistera que les termes de degré zérOy que nous nous proposons actuellement d'étudier. L'ensemble de ces termes de degré zéro représente donc une solution particulière de nos équations (3); comme ces termes dépendent d'un seul argument D = t, ils sont périodiques.

Le problème revient donc à chercher une solution périodique des équations (3).

Si l'on construit la trajectoire T du point x^ y po>^ rapport aux axes tournants, cette trajectoire sera une courbe fermée, puisque X etjK sont des fonctions périodiques du temps. Comme x ne contient que des cosinus, et jk seulement des sinus; comme d'autre part les développements de j? et de ^ ne contiennent que des

termes dépendant des multiples impairs de t, les deux axes des x et desjK seront des axes de symétrie pour cette courbe fermée T.

En éliminant x entre les équations (4) et en regardant C comme une constante arbitraire, nous formons un système (5) ou (6), ou (7) et (8) qui peut être regardé comme plus général, puisque ce système ne change pas quand on change x^y elO en \x^ \y^ À'C, en désignant par X une constante quelconque. Si une courbe fermée T satisfait aux équations (3), elle satisfera également aux équations (7) et (8); mais ces équations (7) et (8) admettront en outre pour solution toute courbe homothétique à T par rapport à l'origine.

Le problème a été entièrement résolu par Hill, ainsi que je l'ai rappelé dans mes Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste (t. I, p. 97). Pour les petites valeurs de m, Hill trouve une courbe ayant la forme générale d'une ellipse, pour m = 1,78, il trouve une courbe avec deux points de rebroussement situés sur Taxe des X.

S'il avait poussé plus loin, il aurait sans doute trouvé une courbe avec deux points doubles symétriquement situés sur l'axe des:r; puis ces deux points doubles se seraient confondus en un seul situé à l'origine, puis ils auraient disparu et la courbe T serait redevenue une courbe fermée sans point double mais parcourue dans le sens rétrograde. Mais les premières courbes déterminées par Hill ont seules de l'intérêt pour l'étude du mouvement de notre satellite.

327. Calcul des coefflûiente. — Voici à quoi revient la méthode de M. Hill, pour les petites valeurs de m. Au lieu des équations (3) envisageons les équations plus générales

En les traitant comme plus haut on en déduirait, au lieu de (7) et (8), les équations

il bis) us' — ipius' -\ 5 nto^ = --(i5i4t-| 35*)-+-C,

{H bis) su' -i- %pisu' -{ 2/>ti«=— ( 3u«-hi5**)-+- G.

LA VARIATION. 3l

Nous allons développer la solution suivant les puissances croissantes de m^ ; une fois la solution obtenue, nous y ferons/? = m pour retomber sur les équations (3).

Supposons le problème résolu et posons

— j = 5o -h m'*i -h /n**i 4-, . .-h m^9sq -+-..., G = Co -h w« Cl H- m* C j -h . . . -h m*? C^ h- . . . .

11 s^agit de déterminer par approximations successives, d'abord Uoj 5o, Co, puis £/,, 5|, C|, puis eis, 5], C2; ..., et ainsi de suite.

On prendra d'abord

Quand on aura remplacé dans (7 éw) et (8 bis) w, 5 et C par leurs développements (9), on trouvera dans le premier membre des termes de la forme

et d'autres d'une forme analogue où Uaou s^^ ou tous deux, ont été remplacés par l'une de leurs deux premières dérivées. Dans le second membre on trouvera des termes de la forme

ou de la forme

ou encore de la forme

m»«Ca.

Je suppose qu'on ait déterminé dans les approximations précédentes

Uot Ml, ...f jusqu'à M^-i,

Go, G|, • . ., » G^i,

et qu'on veuille déterminer ei^, 5^, C^. Égalons les coefficients de m'^^.

Dans le premier membre nous devrons retenir les termes qui

3^-2 CHAPITRK XXV.

contiennent m^^ en facteurs, c'est-à-dire ceux où

Ces termes ne contiendront que des quantités connues sauf ceux où a = y, p = o, ou bien encore ceux où a = o, P = ^. Dans le second membre nous devrons retenir ceux où

ils ne contiendront que des quantités connues; nous devons encore retenir le terme m^^G^ qui est inconnu.

Les termes encore inconnus du premier membre de (7 bis) s'obtiendront donc de la façon suivante ; prenons par exemple le terme

je puis l'écrire

W5'=u[5i; ;-»]'= ui;-i[(5i;)'-2t(*0'+(*Ç)].

Or, on a, par les développements (9),

Nous devons, d'après ce qui précède, retenir les termes tels que a -h P = 91 nous distinguons parmi eux ceux qui contiennent une des inconnues 5^ ou w^; c'est-à-dire les termes tels quea = o, P n= ^, ou bien a= y, ^ = o. Les termes à conserver sont donc les suivants (en rappelant que Mj, = i ? "^o = i j ^'0 ^^ ^j -^o = ^)*

S'q "^ 2 t Sq — Sq — ttq*

Nous opérerions de la même façon sur les autres termes du premier membre et il nous resterait comme termes, contenant l'une des inconnues,

,Uq / 90* 1 \

Conservons ces termes (10) dans le premier membre, et faisons

passer au contraire dans le deuxième membre tous les termes qui ne contiennent que des quantités connues; nous obtiendrons une équation de la forme

(il) A (5^, Ug) = *^-hC„,.

Dans cette équation, A (5^, Uq) n^est autre chose que l'expression (io); c'est donc une combinaison linéaire à coefficients constants de Sqj Uq et de leurs dérivées. La fonction ^q est l'ensemble des termes connus qui se trouvaient dans le deuxième membre ou qu'on y a fait passer. C'est une fonction périodique de t.

En opérant de la même façon sur (8 bis) on aurait obtenu

A'(5^, Uq) est l'expression

imaginaire conjuguée de A(^^, Uq) et déduite par conséquent de A (5^, Uq) en permutant Sq et Uq et changeant i en — i,

4>^ est l'imaginaire conjugée de ^q\ c'est donc une fonction connue et périodique de t, développable suivant les puissances positives et négatives de î^^. Pour passer de ^q à 4>^, il suffit de changer!^ en J^"' et de remplacer les coefficients numériques par leurs imaginaires conjuguées; nous verrons plus loin que ces coefficients numériques sont toujours réels et par suite que cette dernière opération est inutile.

Quoi qu'il en soit, nos fonctions inconnues se trouvent déterminées par les équations (11) et (12) qui forment un système d'équations linéaires à coefficients constants et à second membre.

Soient, par exemple, a, a', $ et 7\ les coefficients de Ç* dans 4>^, <t^, Uq et Sq] il s'agit de déterminer les coefficients inconnus \ et 'r\ à l'aide des coefficients connus a et b.

Pour cela, les équations (i i) et (12) nous donnent

p. - II (3). 3

Ces deux équations du premier degré nous donneront Ç et t).

Le cas de A: = o mérite une mention spéciale ; d'abord les premiers membres des deux équations (i3) deviennent identiques; ensuite il faut tenir compte dans les seconds membres du terme C^ ; les équations s'écrivent alors

( ~(S^-irj)(^-^+a/.-4-i) = a'

Elles ne peuvent être satisfaites que si a = a'; or a et a' sont imaginaires conjuguées par définition; les équations ne peuvent donc être satisfaites que si a est réel ; nous verrons plus loin qu'il en est toujours ainsi.

Les équations (i4) nous donneront donc pour $ 4- '/| une valeur

réelle A; on prendra 5 = 7^= -, de telle façon que Ç et tj soient

imaginaires conjuguées, et en même temps réelles.

La présence de C^ introduit une indétermination dans le problème. On peut supposer que la constante C est une donnée de la question; alors G ne dépend pas de m et l'on doit faire dans (i4) C^ = o.

On peut également s'imposer la condition que le coefficient de ^ dans u et celui de Ç"* dans s soient égaux à i. Ce coefficient ne dépendant pas de w, on doit avoir Ç r= yj ^ o, de sorte que la première équation (i4) se réduit à

o = a -h C^, , ce qui détermine C^.

328. Je dis d'abord que les coefficients de tous les termes du développement de u et de s seront réels. En efl'et, supposons que cela soit vrai pour

Moi "il • • -, M^-i, *0» *lî • • • ï *7— 1 J

je dis que cela sera vrai pour Uq et Sq.

En effet, si cela est vrai pour

<i5; Ma, *a (^<q\

LA VAEIATION. 33

cela sera vrai également pour

(i6) iu'^, ij^, w';, 5; {^<q)^

elpar conséquent pour les termes connus de (7 bis) qui sont tous le produit de deux expressions de la forme (i5) ou (16) affectés d'un coefficient réel.

Donc, dans le développement de ^q suivant les puissances de J^^, tous les coefficients sont réels. Donc, dans les équations (i3) et(i4), les quantités a et a! sont réelles; or les coefficients de ces équations du premier degré (i3) et (i4) sont également réels; donc nous en déduirons pour Ç et 7^, c'est-à-dire pour les coefficients de Uq et Sq^ des valeurs réelles. c. q. f. d.

Je dis maintenant que nous aurons seulement dans e/o ^t s^ des termes en ^^ ; dans u^ et S| des termes en

dans lu et 5^ des termes en

dans 1/3 et 53 des termes en

es ç», ç-*, C-«;

et ainsi de suite. En d'autres termes, je dis que wl^"* et 5^ sont développables suivant les puissances de m^J^^ etm^Ç"^.

Je dis en effet que, si cela est vrai pour les premières approximations, cela sera vrai aussi pour l'approximation suivante. Je suppose donc que

sont des polynômes homogènes de degré a en Ç^ et ÎJ"-, et je me propose de démontrer que Uq^ Sq seront aussi des polynômes homogènes de degré y en J^^, Ç~^. D'abord les dérivées w^, etc., seront comme //a» etc., homogènes de degré a. Considérons maintenant les différents termes de ^q, nous avons d'abord :

1** Ceux des termes du premier membre de (7 bis) qu'on a fait passer dans le deuxième membre parce qu'ils ne contenaient pas de quantité inconnue. Ils sont égaux à un facteur numérique près à

3° Les termes provenant de — 5 — ; ils sont de la forme

36 CHAPITRE x\v.

liai ou 5p pouvant être remplacés par une de leurs dérivées ; ce sont donc des polynômes homogènes de degré q en Ç^ et Ç~^ ;

2** Les termes provenant de g — ; ils sont de la forme

et par conséquent homogènes de degré gr en Ç^, Ç"^ ;

ils sont donc aussi homogènes de degré q.

Donc ^g est un polynôme homogène de degré q en Ç*, Ç"*» Mais Uq et Sq se déduisent de ^^ par les équations (i3); les termes de Uq et Sq correspondent à ceux de ^q et contiennent les mêmes puissances de 2^; donc Uq et Sq sont les polynômes homogènes de degré q en Ç^, Ç""*. c. q. f. d.

Il résulte de là que, si l'on développe le coefficient de J^** ou !^~'* suivant les puissances de /n, le développement contiendra seulement des termes où l'exposant de m prendra les valeurs

Ce développement procédera donc non pas suivant les puissances de /n, mais suivant celles de /n*. C'est ce qui explique la convergence extrêmement rapide du procédé de M, Hill, chaque approximation donnant 4 ou 5 décimales exactes nouvelles.

329. Je dis maintenant que les coefficients Ç et y) calculés d'après les procédés précédents sont des fonctions rationnelles de p. Supposons en eOfet que cela soit vrai aux approximations antérieures; je dis que cela est encore vrai à l'approximation suivante. En eflet, cela sera vrai des coefficients de ^^ formés par multiplication en partant de ceux de Ma» ^a («<?)> cela sera donc vrai des coefficients a et a' qui figurent dans les équations (i3); les coefficients de ces équations (i3) étant rationnels en/?, lien sera de même des inconnues Ç et tti, c'est-à-dire des coefficients

de Uq et Sq. c. Q. F. D.

Quels seront les facteurs des dénominateurs de ces fonctions rationnelles? Il est aisé de les déterminer. En effet, la résolution des équations (i3) introduit au dénominateur un facteur qui est le déterminant de ces équations, lequel est égal à

Les facteurs du dénominateur seront donc les poljnomes

où l'on devra donner à k les valeurs paires successives

ce qui donne les poljnomes

Si donc on développe le coefficient de Ç^*+* suivant les puissances de m, le coefficient de chaque puissance est une fonction rationnelle de/? dont le dénominateur est un produit de facteurs de la forme (17), chacun de ces facteurs pouvant être élevé à une puissance supérieure à i . Il ne faudrait pas en conclure pourtant que le coefficient de Çî»*+« , considéré comme fonction de p et de m, est une fonction méromorphe de ces quantités, ou encore qu'il se réduit à une fonction méromorphe de m quand on fait ^ = m.

3â9 bis. Quoi qu'il en soit, l'approximation par ces méthodes est extrêmement rapide. M. Hill a calculé les coefficients ou plutôt leurs rapports avec i5 décimales; la première approximation lui donnait généralement 6 décimales exactes, la seconde 11 et la troisième i5. D'autre part, la décroissance des coefficients est aussi très rapide; dans le développement de w, par exemple, les coefficients de Ç, Ç', Ç', ... diminuent très vite, chacun d'eux étant environ la trois-centième partie du précédent. Le coefficient de Ç qui est naturellement le plus grand nous donne le terme principal de l'orbite non troublée; viennent ensuite ceux de Ç' et de Ç"* qui

correspondent à l'inégalité considérable connue depuis la fin du mojen âge sous le nom de variation.

Les valeurs numériques sont donc très exactement connues; mais nous ne possédons encore que les rapports de nos coefficients; les équations (7 bis) et (8 bis) contiennent en eff'et une indéterminée C, et nous avons profité de cette indétermination pour supposer que le coefficient de Ç dans e/, de même que celui de 2^'* dans s^ est égal à 1 . Cela revenait à satisfaire aux équations (i4 ) en faisant

C'est ainsi que nous avons opéré à la fin du n** 327. Nous avons ainsi trouvé une solution particulière des équations (7 bis)

et (8 bis)^

caractérisée par ce fait que, ^ et ij^i étant imaginaires conjuguées, le coefficient de !^ dans if (!^) est égal à i. Alors nous aurons une * autre solution en faisant

à la condition de changer l'indéterminée C en a^C. 11 reste à déterminer a^.

Pour cela, il faut (après avoir fait pz= m) revenir aux équations primitives, qui peuvent s'écrire

» • r 3 •/ , xa a -h 1 mi u /n»(a-h5)H r- = o,

et voir quelle valeur de ao correspond à la valeur donnée de x. Pour cela soit

il viendra pour t= o, Ç = 1 :

r= u = j = aoVaA.= a© 4/(1), u'= l'ap^ (2 A:-hi) «jt, u = — ao^Cik -^ i)^ ajk* Les coefficients a^ étant connus, on connaît donc facile-

ment à (i), ^'(i), ^''(i), et il vient

(i8) aJ^«(i)[^'(i)-+-2mtf(i)-3/n«^(i)] = x,

d'où Ton tirera sans peine ^o*

330. On voit facilement que la résolution de l'équation (i8) entraîne l'extraction d'une racine cubique. Nous devons donc nous attendre à trouver que, dans le voisinage de certaines valeurs singulières nioy l'expression de ûq et par conséquent celle des autres coefficients de u qui sont ao^i, Uq a^^ ..., contiennent en fac-

teur {m — /Wq) ^ ou (m — 'Wo)^? par exemple.

C'est en effet ce qui arrive pour m© = i .

Supposons donc qu'on veuille développer a^ suivant les puissances de m; alors la convergence sera comparable à celle d'une progression géométrique de raison

/Tto étant le point singulier le plus rapproché; si ce point est i, paisque /w = --, cette raison sera

m __ I /no 12

Si l'on avait développé suivant les puissances de

comme l'a fait Delaunay, la raison aurait été

/n' 2 /ni ~" i3

donc notablement plus grande.

On arrive au même résultat en ce qui concerne le développement

de Oi ; le point singulier le plus rapproché provient avant tout de

la présence du facteur p^ — 4/> -H 6 dans nos dénominateurs

{cf. n° 328 in Jine) ; dans ce facteur on fait yo = m, de sorte que

Ton a à peu près

ml — 4'Wo-+- 6 = o,

CHAPITRK XXV.

I /no I = /6

et, pour la raison de la progression,

avec m', on aurait eu

/ito

et, pour la raison,

m /nî,

On voit combien il est plus avantageux de choisir m comme paramètre au lieu de m'. Naturellement la même différence se retrouve dans le calcul des termes suivants, puisque les nouveaux développements que Ton obtient pour ces termes se déduisent de ceux que nous venons d'obtenir pour les termes d'ordre zéro.

330 bis. Une solution particulière remarquable s'obtient en faisant X == o; on trouve alors

a, ^ et k étant liés par les relations

-am'= O,

d'où

^A«-^?^ty-4^i/.i.9m*=o,

ou, en faisant/? = m.

Pour que cette solution nous convienne, il faut que k soit entier impair, et par conséquent que l'on ait

LA VARIATION. 4l

La courbe décrite par le point a:, y se réduit alors à une ellipse. Mais cela correspond à x = o, c'est-à-dire, en se reportant à l'équation (i8)y à

♦'(O W{^) -+" 2mtY(i) — 3/n»^(i)] = o.

Si alors on donne à x une valeur donnée finie, il faut faire a^ = oo.

Donc, quand m se rapproche de la valeur i , la trajectoire T du point x^ y tend à être de plus en plus semblable à une ellipse, mais les dimensions absolues augmentent au delà de toute limite; c'est de cette façon que s'introduisent dans a^ des facteurs tels que

ainsi que nous l'avons expliqué plus haut.

L'ellipse à laquelle on parvient en faisant m = 3, m = 5, etc., ne fait pas partie de la série de solutions que nous envisageons ici,

puisque la période n'est plus 2 7t, mais -^> -^» • • ••

331. Nous allons maintenant déterminer les termes du premier degré par rapport à Tinclinaison E2 ; nous négligerons donc comme dans le Chapitre précédent la parallaxe et l'excentricité solaire Es ; seulement nous ne supposerons plus z = 0.

Dans ces conditions, nous avons encore

mais on a d'où

D'ailleurs

p,= ! , AG.co8Y = j?;

AC = r* = 57* -f- j^« -h ^',

Ut m\ ■+- m^

d'où

X«-^ Y«-4-Z« ntx -f- n%^

Cela posé, nous retrouvons les équations (i) du Chapitre précédent, avec celte différence que AC:= r ne représente plus yjx^ -l-J'*> mais y/^^-h^^-H z^.

Nous trouvons ensuite

dz d¥'

dy% __ ^ dY' __ , mt-h m^

de* ~" rf/ """57 --'»«^ iH *•

Si nous posons, comme au Chapitre précédent, T = (/Il — nt)t^ ni = = — 9 x =

ni— Ht (ni—rii)*

l'équation précédente devient

(i) z'-^Qz = o.

avec

Si nous cherchons les termes de l'ordre de l'inclinaison, nous négligeons le carré de l'inclinaison et par conséquent z^; nous pouvons alors prendre

de sorte que nous retombons sur les équations (i) du Chapitre précédent, sans changement. Et comme nous devons faire E| = o, puisque les termes que nous voulons calculer sont indépendants de l'excentricité lunaire E|, nous devons prendre pour x et j^ la solution particulière étudiée dans le Chapitre précédent. Donc x et y sont des fonctions connues du temps, développables suivant les puissances impaires positives el négatives de Ç = e".

- nous est ensuite donné par l'intégrale de Jacobi

ri 2

d'où l'on déduit aisément -r et 6.

Donc 6 est une fonction connue du temps développable suivant les puissances paires, positives et négatives de !^.

Nous avons vu que, quand on introduisait les deux paramètres/) et m qui figurent aux équations ( 3 6w), (7 bis) et (8 bis) du Chapitre précédent,

sont développables suivant les puissances de/?, m^Ç^, m*Ç~^; il

en est donc de même de S, de sorte qu'après qu'on aura fait/>:=in, 6 sera développable suivant les puissances de

De plus, quand on change t en — t, ou Ç en Ç~*, u se change en 5, de sorte que r et 6 ne changent pas.

Si donc nous posons

on aura

el l'on pourra écrire

8 = 6o-f- aôicosit ■+- a6sCos4'c -f-, . ..

S étant développable suivant les puissances de m, m^Ç*, m* s"', le coefficient S^ contient en facteur m^*, de sorte que les coefficients 6 décroissent très rapidement.

33S. 11 s'agit donc d'intégrer l'équation (i).

Cette équation est de même forme que celle que nous avons examinée au Chapitre XVII des Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste. Nous savons donc :

I® Que cette équation admet deux solutions particulières de la forme

<]^(t) étant une fonction périodique de la forme

oij k prend toutes les valeurs entières positives et négatives.

Nous devons remarquer en effet que l'équation (i) ne change pas quand on change t en — t; l'existence de la première des solutions (2) entraîne donc celle de la seconde.

2^ Nous aurons ensuite les deux solutions

MOUVEMENT DU NGBUD. 45

dont la première est une fonction paire et la deuxième une fonction impaire de t.

Nous pouvons achever de déterminer *^('z) (qui n'est encore déterminé qu'à un facteur constant près) et la constante X, de telle

sorte que

/(o) = o, /(o)=i, c'est-à-dire

3*" En vertu d'un théorème démontré dans mon Mémoire Sur les groupes des équations linéaires {Acla mathematica, t. IV, p. 212) et rappelé dans Les méthodes nouvelles de la Mécanique céleste (t. II, Chap. XVII, p. aSo), la fonction F(t) considérée comme fonction des 6^ est une fonction entière.

Nous trouverons alors

F(t)=26>tcos(^-i-a^)'c,

k variant de — oo à H- oo.

La fonction ']*(t) est périodique de période 7t, de sorte que Ton a

333. L'équation F(iî) =: cos^it a une grande importance; c'est elle en effet qui va nous permettre de déterminer g^ c'est-à-dire le mouvement du nœud.

£n effet, la solution générale de l'équation (i) peut s'écrire

Ë] et 04 étant deux constantes d'intégration, la première représentant ]a constante d'inclinaison, et la deuxième la constante 174 qui figure dans la formule du Chapitre XXIV,

iVv = Wj = /I4 f -t- BT^.

Si nous faisons en effet g := — -^ — » on voit que la formule pré-

46 CHAPITHB XXVI.

cédente peut s'écrire

où nous reconnaissons la forme des formules du Chapitre XXIV. (Il

suffirait de changer la constante arbitraire 1^4 en 04 H — > pour a>oir

un sinus au lieu d^un cosinus .)

Cela posé, les passages au nœud s'obtiendront en faisant 3 = 0; le terme principal du développement étant

E160COSIV4, les passages au nœud ascendant auront lieu sensiblement pour

CVl -4- W4 = ^T -i- BT; = - •

Dans l'intervalle de deux passages au nœud consécutifs, la différence des longitudes moyennes de la Lune et du Soleil aura augmenté sensiblement de — ; si l'on considère n H- 1 passages consésécutifs au nœud ascendant, cette différence aura augmenté

sensiblement de > et cela d'autant plus exactement que n sera

plus grand. Donc g mesure le moyen mouvement du nœud.

334. Pour calculer F(t), voici comment nous allons procéder. Posons

et écrivons l'équation (i) sous la forme

(4) 4;'4-y«^ = (eo— e)^,

puis cherchons à développer F(t) suivant les puissances de On 62» etc.; le développement sera très convergent, puisque nous avons vu que ces coefficients sont très petits, et d'autre part que F(t) est une fonction entière de ces coefficients.

Représentons alors par ^a» ^m . . . , -^a les termes de F(':) qui sont de degré 0,1, . . . , A: par rapport aux coefficients 64 , 621 • > • < nous aurons, pour déterminer successivement

UOUVEMENT OU NOEUD. 4?

le système d'équations

Ce sont des équations linéaires à coefficients constants et à second membre, immédiatement intégrables; il faut, pour achever de définir Zq, Zt^ . . ., za, se donner les conditions initiales qui seront

^0=1, Zo=o, ^, = «', = 0, ..., ZA = zi=o.

Nous trouvons d'abord

et pour z/i une expression où figurent des termes en

(6) cos(ay-+- y)x, 'c*H'-^->sin(2y-H 9r)T, •c«l*cos(.2y -h ^)t,

j et [JL étant entiers et 2 (jl -f- 1 étant au plus égal à k.

En efiet, il est aisé de vérifier que, si cela est vrai pour ^a. 19 cela sera vrai également pour ^a.

Ainsi le terme général du développement de F(t) sera de la forme (6); il est aisé d'en apercevoir la raison : nous avons trouvé

F(x) =^bjcos(^ -+- iàj)t.

D'autre part, g est développable suivant les puissances de 8| , 02> ... et se réduit à q pour 0, = 62 = . . . = o« Je puis donc écrire

et développer suivant les puissances de g^ — q] soit alors

cost = V aji-c»!*, sin T = V P|it*li-^»,

les coefficients a|^ et ^^ ayant les valeurs numériques bien connues;

il viendra

( F(t) = "^bjOL^ié^ - 7)î|Ax«l*cos(gr + 'ij)z

On peut ensuite développer les bj et les puissances àe g-^q suivant les puissances de 6» , ©2 ... ? et l'on devra retrouver le même développement que par le moyen des équations (5). On voit que le terme général est bien de la forme (6).

335. Voyons comment on peut se servir de ces développements pour déterminer g et les coefficients bj.

Supposons que Ton ait déterminé

on a donc, à des quantités près de l'ordre de m^*+*,

F(t) = ZQ-h Zi-î-. , ,-h Ziii

et F(t) se présente sous la forme d'un développement (7) dont tous les termes sont de la forme (6).

Dans ce développement, conservons seulement les termes périodiques purs en cos{q -h 2y)T, ceux où t ne sort pas des termes lr\gonométriques; les coefficients de ces termes seront précisémenV les coefficients 6y cherchés, au même degré d'approximatioa, c'eslà-dire à des quantités près de l'ordre de m^*"*"*; et en effet »o ^^^ égal à I .

Pour déterminer g nous calculerons F(ii) en faisant t = 'ï^ dans le développement (7) et nous aurons ensuite g par l'équatioi^

F(7:) = cos^r.

En faisant cette substitution on trouve

F(7:) = Hcos^i: H- H'sin^'rc,

H et H' étant des fonctions entières de 6<, 62? . . . •

D'autre part, les coefficients de ces fonctions entières sero**^ fonctions rationnelles de q; car, si les coefficients de zj^^t dép^^^^^^^ rationnellement de y, il en sera de même, en vertu des équatio**^ ''^-'• des coefficients de z^.

Les premiers termes sont

COSffTZ = COSqTZ\ l r— 77 ■ j-r

r — Tce? (i5y^~3jy'-+-8)re} I

Quand on change t em: H — > ^i ? ©s» ^5 j • • • changent de signe ;

la valeur de cos^it ne doit pas changer. Donc, dans le développement de F(ir), 0|, ©s, 65, . . . entreront avec un exposant pair. Supposons un instant

o = ©1 ^ 0j = n$ = . . . j alors admettra la période - ; alors, quand on changera t en t -f- - >

changeront de signe; donc 629 ©09 ©10» ••• ^^ pourront figurer qu^à un degré pair, à moins d'être multipliés par

De même

ne pourront figurer qu'à un degré pair, à moins d'être multipliés par

®l» ®S» •••» ®l®»ï •••> ®ll ®6i •••> ®f®«» ••••

336. Méthode de Hill. — Hill ramène le problème à la résolution d'une infinité d'équations du premier degré à une infinité d'iaconnues. On pourrait se demander si cette méthode est suffisamment rigoureuse; elle peut être complètement justifiée, mais je renverrai pour cette justification aux Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste (t. II, Chap. XVII, p. 260 et suiv.).

Faisons dans l'équation (i)

il viendra

p. - II (1) 4

5o CHAPITRE XXVI.

OU, en égalant les coefficients de s^-^"*"^»

(8) lQo-{^J-^/r)'\bj-^^ej-kbk=o.

On obtient ainsi une infinité d'équations linéaices entre les inconnues bj] pour les déterminer, considérons les expressions linéaires

Ces expressions doivent s'annuler pour l^z=z g. Formons leur déterminant et appelons-le D (S).

Je suppose pour cela que Ton donne à y et à Ar toutes les valeurs entières positives et négatives depuis — jjl jusqu'à -+- ji. inclusivement. Nous aurons alors un déterminant fini de 2{jl4- i lignes et de 2[iL4- I colonnes. Alors D (l) sera par définition la limite dece déterminant quand jjl croit indéfiniment.

Ce déterminant converge; nous pouvons remarquer en efi*et que les éléments de la diagonale principale sont égaux h i .

Dans ces conditions, on a

en désignant par a les divers éléments du déterminant autres que ceux de la diagonale principale. Le déterminant convergera donc

avec 51l^l> c'^st ce que démontreraient les considérations exposées au Tome II des Méthodes nouvelles {loc. cic). Or ici

Or cette série converge absolument et uniformément, sauf si

ou, puisque 60= Ç^i si

Donc D (i) = lim A existe ; c'est une fonction de Ç qui ne change pas quand on change Ç en Ç 4- 2 ou en — $ ; cela revient en effet à changer l'ordre des lignes et des colonnes de notre déterminant d'ordre infini, soit en faisant avancer toutes les lignes et toutes les

IIOUVKMB.NT DU NOEUD. 5l

colonnes d'un rang (si Ton change Ç en Ç+ 2), soit en retournant le déterminant (si l'on change Ç en — S); on aura donc

D(Ç) est donc une fonction incromorphe de Ç, qui a pour pôles

simples

Je dis pour pd/es simples; en effet, les éléments de lay*^"® ligne seuls deviennent infinis pour Ç = — 2j ±q et infinis du premier ordre. ^

Or un ternie quelconque de notre déterminant ne peut contenir en facteur qu'un seul élément de la y**"*' ligne.

Quand la partie imaginaire de i tend vers l'infini, tous les élé* inents en dehors de la diagonale principale tendent vers o; donc

Soit

'" COSITÇ — COSIT^

Cette fonction est méromorphe; elle ne pourrait devenir infinie

que pour

qui rend n(Ç) infini, mais qui annule également cosTtÇ — cos7î<y, ou pour

qui annule le dénominateur costîÇ — costt^, mais qui annule également D(i) puisque nous avons vu que

D(^) = o el par conséquent

La fonction F(Ç) est donc entière, mais elle tend vers 1 quand la partie imaginaire de ^ tend vers l'infini ; elle se réduit donc k Tunité, de sorte qu'on a

□ ( e ) = 'ï;5^.:zi!i!i^ .

On peut en déduire plusieurs manières de calculer g] par exemple, à l'aide de l'équation

(9) cos-ïc^ = I — 2 sin*— ^n(o).

337. Il est aisé de voir quelle est la forme de notre déterminant. Supposons qu'un terme du développement contienne comme facteur l'élément de la a^*"* ligne et de la 6'^'"" colonne et, par conséquent, Sa-b\ il devra contenir un élément de la 6**"'* ligne, soit celui de la c'^'"^ colonne et, par conséquent, B^^c; il devra contenir ensuite l'élément de la <f^'"® ligne et delà rf'*"* colonne, c'est-à-dire ^c-df et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on retombe sur la a*^"*® colonne, ce qui arrivera, par exemple, si l'on trouve un élément de la 0^'^'"^ ligne et de la a**'"^ colonne dépendant de B^/^a.

Donc le terme envisagé contiendra en facteur le produit

Ba—b ^b—c ^c—d ^d—a »

OU un produit analogue, ou plusieurs produits analogues.

Dans tous les cas la somme algébrique des indices doit être nulle.

Si l'on observe que

et que par suite on ne fasse pas attention au signe des indices, nous dirons que les indices, tous regardés comme positifs, doivent pouvoir se diviser en deux classes de telle façon que la somme des Indices de la première classe soit égale à la somme des indices de la deuxième classe. On pourra avoir par exemple des termes en

0j. 0J, 6|Bf, 0j ©5, 616163. 6^6*6364, ....

Le coefficient de chaque terme se présente sous la forme d'une série infinie, mais toutes ces séries peuvent être sommées à l'aide de la formule

= ircota?-!:.

Considérons, en effet, un terme du développement; ce sera le produit de certains éléments du déterminant; parmi ces éléments, les uns appartiendront à la diagonale principale et nous n'avons pas

à nous en occuper, puisqu'ils sont égaux à i ; les autres n'appartiendront pas à cette diagonale, et ils seront en nombre fini (sans quoi notre terme contenant en facteur m à une puissance infinie serait infiniment petit).

Appelons [/, k] l'élément de la e^^"® ligne et de la A"*^™* colonne, et supposons par exemple que le terme envisagé soit le produit des éléments

11 contiendra alors en facteur, comme nous venons de le voir, le produit

et le coefficient de ce produit (i i) sera une fonction rationnelle de ç que j'appelle R(5).

Considérons maintenant le terme

[a-4- /i, 6 ^- n]. . .[rf-f- n, a -H n] [a'-+- /i, 6'h- n]. ..[^-f- n, a'-h n]:

il contiendra également en facteur Iç produit (ii), mais avec le coefficient R(Ç -h a/i).

Le coefficient définitif sera donc

Pour évaluer cette somme, décomposons la fonction rationnelle R(i) en éléments simples :

d'où

La sommation par rapport à n peut se faire par le moyen de l'équation (lo). Si dans la décomposition de R(i) figurait un terme

on obliendrait la sommation par rapport h n de

en difTérentiant l'équation (lo).

En fait notre fonction R(i) n'admettra pour pôles, comme nous l'avons vu plus haut, que Ç = — 2j ± q el ces pôles seront simples ; l'application de la formule (lo) introduira donc seulement

Cela s'applique au cas où nous n'aurions en facteurs qu'un seul produit de la forme

Dans le cas où l'on aurait en facteur deux (ou plusieurs) produits de cette forme, comme il arrive, par exemple, dans le cas du produit (il), les choses seraient un peu plus compliquées.

Supposons que nous ayons à envisager le produit des éléments

[n, n -\- a\[n -k- a , /i-f-ô][/n-A, /i][/i', /l'-ha'] [/i'-4- a', /i'],

et que nous fassions varier n et /i', en supposant que a, />, a! ne varient pas.

Nous aurons alors partout en facteur le produit

qui ne dépendra ni de /ï, ni de n'] ce produit sera multiplié paruu coefficient qui dépendra de Ç, de n et de n et qui sera de la forme

R(t-^n)R'(?-Hn'), R et R' étant rationnels. Nous aurons donc à calculer

en donnant à /i et à n! toutes les combinaisons de valeurs possibles, en excluant seulement celles pour lesquelles la différence n — //' prend certaines valeurs particulières; car une des quantités n. /i -f- a, /i -h i, ne doit pas être égale à une des quantités /i', /l'-h a .

IIOUVEMRNT DU NOEUD. 55

Supposons que ai, a2, . . ,<, ctp soient les difTërentcs valeurs que ne doit pas prendre /i' — n ; l'expression à évaluer,

2 R({-f-/i)R'(î -+-/»'), pourra s'écrire

où

Chacune des sommes qui figurent dans cette expression est de

la forme \^R(Ç-h/i) et peut s'évaluer comme nous venons de

l'expliquer.

On peut voir que D (Ç) est de la forme

n(Ç^ = A^- Bcot-({-i-5r)-f-Ccot^(Ç— 7)

A. B, C, D étant développables suivant les puissances de 6|, ©2? . . . , et les coefficients de ce développement étant des fonctions rationnelles de q.

Nous avons trouvé, d'autre part,

COSrf — COSTT^

et

F(tc) = cosit^ = H cosqiz ■+■ H' sin^^,

H et H' étant comme A, B, C, D des séries procédant suivant les puissances de 8|, 62? ... ; et avec des coefficients rationnels en q.

On a donc

,,>, (i — H ) ensuit — H' sin^it

cosirj — cosTTÇ'

Il suffit pour retomber sur le développement (12) de remplacer

/ » cos

(cositç — cos'ic<7), . giz ^ ^ -* sin ^

par

de façon à tout exprimer en fonction des lignes trigonomé triques des deux angles -(Ç it q).

338. Il reste à déterminer les coefficients b^* Pour cela reprenons le déterminant D ( Ç) et remplaçons-y dans la ligne de rang zéro

par des indéterminées

le déterminant continuera à converger pourvu que les indéterminées soient limitées (cf. Méthodes nouvelles, t. II, Chap. XVII, p. 205). Il sera de la forme

A = . . . -f- B I ar i -\- B© rr© -+- B i T| -H Bj a?j -+-... ,

les B étant des fonctions de Ç, qui admettent les mêmes pôles simples que D (5) sauf Ç = ±: 7 ;.de telle sorte que

By(C0S'i:{ — cosict^)

est une fonction entière.

Je dis que, pour Ç = ^, on a B;t= i;^; il suffit pour cela de démontrer que les B;^ satisfont aux équations (8), c'est-à-dire que A s'annule quand on y remplace Xj par i et Xkij'^k) par

eo-(v-»-^)'

C'est ce qui arrive car, poury^o, on obtient ainsi un déterminant ayant deux lignes identiques; et, pour y = o, on obtient le déterminant D (^) qui est nul. G. Q. F. n.

339. Nous pouvons nous rendre compte de l'ordre de grandeur des coefficients bk- Pour cela reprenons les équations (5) et cherchons à former à l'aide de ces équations non plus la solution F(t), mais la solution

Nous observerons alors que 60 — ^ est développable suivant les

MOUVEMENT DU NOEUD. 5y

puissances de m, m^t^*, m^JJ"^*; et je dis qu'il en sera de même

Si Ton intégrait les équations (5) par approximations successives, on verrait, par une analyse toute pareille à celle du n° 334, que z se présente sous la forme suivante,

de sorte que z^^^ est développable suivant les puissances de /?î, de T, de Ç-* et de tj"* ; je me propose d'établir que z^~^ est développable suivant les puissances de m, t, m-î^*, /w^Ç"^; cela peut se démontrer par récurrence, car les équations (5) montrent que, si cela est vrai pour ^^-n cela le sera également pour z/t.

De cela il résulte que bk contient en facteur m**, ce qui montre que les coefficients b/i doivent décroître rapidement.

340. Nous avons vu que g définit le mouvement moyen du nœud, mais nous n'avons qu'une première approximation.

En effet nous avons négligé Ei, Ej, a et le carré de Ej.

Le véritable mouvement du nœud peut, d'après le Chapitre XXIV, se développer suivant les puissances de

et g(ni — /^a) ne nous donne que les termes de degré zéro de ce développement.

341. Je suppose qu'on ait un système quelconque d'équatîons difTérentielles ; pour simplifier, je supposerai deux équations seulement et deux inconnues x et y^ et j'écrirai ces deux équations sous la forme

OÙ ai et aa représentent deux paramètres très petits.

Je suppose qu'on sache trouver une solution particulière S des équations (i) en supposant ai=:a.j = o; je me propose d'en déduire, pour les petites valeurs de ai et de aj, toutes les solutions peu différentes de la solution S (il y en aura évidemment si ai et a^ sont très petits).

Je me propose de développer ces solutions suivant les puissances des paramètres a et de certaines constantes d'intégration ^i, ^2r ^8, ^4 qui s'annulent pour S.

Nous connaissons déjà les termes de degré zéro de ce développement et nous voulons déterminer successivement les termes de degré i, de degré 2, etc.

Soient X = Xo^ JK = y© la solution S et posons

cette dérivée étant calculée en regardant Xq, yo, x'^^ y'^, x"^^ }\ comme des variables indépendantes,

y dF dF

axa

MOUVKMENT OU PÉRIGÉK. 69

Supposons qu'on ait trouvé le développement exact jusqu'aux termes du A-''"»« ordre inclusivement et soit

ce développement; si nous substituons ce développement à la place de X et de / dans les équations (i), les premiers membres devront s'annuler aux quantités près du {k -|- i )**"»• ordre. Donc

^{^k,yk\ ^x{xkyyk)

seront des fonctions connues dont le développement commencera par des termes d'ordre k -r-\> Soient maintenant

et supposons que nous voulions calculer tx eto}^ jusqu'aux termes du (Âr + 1)**"* ordre inclusivement et en négligeant ceux du (A- -H 2)'*"' ordre.

^^^yy) — ^{xk'^^x,yk-*rly) pourra se développer par la formule de Taylor, sous la forme

Les termes en Zx'^ (de même que ceux en txZy^ oj:5.r', etc.) sont négligeables, car %x^ est d'ordre 'ik -|- 2. Dans le coefficient de 8a?, nous pouvons faire

Cela donne une erreur du premier ordre dans le coefficient -ret, par conséquent, une erreur d'ordre A" -f- 2 dans le produit -r- ojr, puisque Sx est d'ordre A* -+- i . Cela revient à remplacer

dY d? dF dx dy dx' par

Il reste donc (avec ce degré d'approximation)

F{x,y) = F{xA;yk)-h^XBx,

6o CIIAPITRK XXVII.

en posant

y X aa? = X 8ar -4- Y 8^ -4- X' Sa;' -h Y' 8^' -+- X' ^x" -h Y' ùjr', de sorle que les équations (i) deviennent

( ^X ^x =— F (xk.^A),

f ^X^ BX =—Fi{XA; jr/c);

les seconds membres sont connus de même que les X, de sorte que les équations (2) sont des équations linéaires à second membre. Les premiers membres demeurent les mêmes à foutes les approximations.

Supposons en particulier qu'on veuille déterminer les termes de degré 1, en supposant a| = a2=o; les seconds membres deviennent alors (pour la première équation, par exemple)

OU, puisque ai = a^ = o,

F(a:o,ro» ar;,^i, arj, j'J, o, o). Mais cette expression est nulle, puisque

est une solution des équations (1) pour «i = a2= o. Les équations (2) deviennent donc

1 V X oar = o,

[ ^Xi ùx = o.

Ce sont des équations linéaires sans second membre.

Mais on sait que, pour intégrer des équations linéaires avec second membre, il suffit de savoir intégrer les équations sans second membre; on n'a plus à effectuer ensuite que de simples quadratures.

Donc, quand on saura déterminer les termes de degré o et ceux de degré 1, pour a| = a2=o [c'est-à-dire quand on

ItOVVBUENT DU PÉRIGÉE. 6l

saura intégrer les équations (3)], on saura déterminer par quadratures les termes de degré supérieur quels que soient a, et as.

Les équations (3) ont reçu le nom adéquations aux variations (cf. Méthodes nouvel/es, t. I, Chap. IV).

Dans le cas qui nous occupe, ce sont la parallaxe a et l'excentricité solaire E3 qui jouent le rôle des paramètres ai et a^ ; le rôle des constantes ^ est joué par

(4) Eiô'c^i, Eie-'c^i, E,éf'cii, E,«-'cy..

Nous avons déjà déterminé au Chapitre XXV les termes de

degré o; il nous reste donc à déterminer les termes de degré i par

rapport aux constantes (4), c'est-à-dire par rapport à E| el à E^, en

supposant

a = Es = o ;

on n'aura plus ensuite à eflectuer que de simples quadratures. Au Chapitre XXVI, nous avons calculé les termes de degré i par rapport à E2 ; nous avons maintenant à calculer les termes de degré i par rapport à E|.

Tel est le principe qui va nous servir à calculer les différents termes de nos développements; nous verrons dans les Chapitres suivants quelles modifications de détail il convient d'apporter à ce principe pour qu'il s'adapte parfaitement à notre objet.

3i2. Voulant calculer les ternies de degré 1 par rapport à E<,

nous devons faire

Et = Ej = a = o ;

nous retombons donc sur les équations du Chapitre XXV; nous avons d'abord z = o^ puis les équations (4) du n° 324 :

x' — 2 my — 3 /n*a? H j =0,

Nous avons trouvé plus haut au Chapitre XXV une solution particulière de ces équations (5), soit

6a CIIAIMTHB XXVIl.

il s^agit d'en trouver une solution plus approchée

X =Xo-^ox, X = yo-^ ^^1

en négligeant le carré de E| et par conséquent celui de Sx et iy. Formons donc les équations aux variations des équations (5); il viendra

\ ^y^2mZx' -4- B8j7-f-CS^ = o,

en posant

~~ dx^\ /•/ "^dxdyx rj' "~ ^^* \ '/

et eu remplaçant bien entendu dans A, B, C, après diflerentialion, X ely par Xq et^o»

Les équations (6) sont des équations difTérentielles linéaires en hx et 8/, puisque A, B, C sont des fonctions connues. Le svslème formé de deux équations du deuxième ordre est du quatrième ordre; il admettra donc quatre solutions indépendantes. Deux de ces quatre solutions sont déjà connues. En elTet, les solutions du Chapitre XXV,

dépendent en réalité de deux constantes arbitraires; nous avons trouvé en effet pour Xq une solution de la forme

a*o= ^("c, m) et de même pour y^. Or

x = (/i| — ni)/, m =

La solution continuera à convenir si Ton change / en / + s, de sorte qu'il reste

avec deux constantes arbitraires e et /2|, ou bien

UOUVKIIENT DU PÉUIGÉE. 63

Nos équations aux variations (6) admettront donc comme solutions particulières

dm dm

en prenant pour variables indépendantes t, e et m, ou bien en revenant aux variables indépendantes t et m,

; j W, dXo j W, ^Ko

I oar = — — — — H 9 y = — - - — — -+- — ^ —

» m di dm "^ /7i «^x dm

Inutile d'ajouter que, dans la première ligne de (7), on pourrait supprimer le facteur constant en n^ et m, puisque les équations sont linéaires.

Connaissant deux solutions particulières d'un système du quatrième ordre, on sait qu'on peut ramener ce système au deuxième ordre; mais il vaut mieux opérer autrement, parce que la seconde solution (7) n'est pas périodique.

Partons donc de l'intégrale de Jacobi

et formons-en l'équation aux variations.

Si nous supposons 8C = o, de façon à éliminer la seconde équation (7), il viendra

a-i 8a?' -+- ji 8y - 3 /n«a:o oa? -H îilîl Sot -h ?^î Sj^ = o,

OU, puisque x^ ely^ satisfont aux équations (5), 8) x'^lx''^y'^iy^(x\'-'imy'f^)lx — {y\-\'imx'^)ly=zo.

On vérifiera sans peine que la première solution (7) satisfait bien

Combinons alors la première équation (6) avec (8) ; nous aurons

un système (9) qui sera du troisième ordre, et qui admettra comme

64 CHAPITHB XWII.

solution particulière

Grâce à la connaissance de cette solution particulière nous pouvons ramener le système au deuxième ordre. Posons en effet

avec son imaginaire conjuguée, et prenons pour nouvelles variables Ç et iq. Alors, nos équations admettent comme solution particulière

d'où

Ç-i-iT, = Ç — «r, =1, Ç:^i, Tî=o;

donc \ satisfait à une équation linéaire du troisième ordre, qui admet pour solution particulière i , et 7| à une équation du deuxième ordre de la forme

(lo) r'-ir Hr/-4- Ktj = o;

pour ramener cette équation à la forme canonique, posons

p étant notre nouvelle inconnue, eto une fonction périodique dcT, telle que

îi'+H=o.

Alors p satisfait à une équation du deuxième ordre de la forme

(II) p'-+-ep = o,

où est une fonction connue de t.

313. II nous faut maintenant montrer que cette équation (i i) est de même forme que l'équation (i) du Chapitre précédent, c'est-à-dire que 6 est une fonction paire de t, périodique de période tz et toujours finie.

Dans les équations (6), les coefficients A, B, C sont des fonctions périodiques, de sorte que ces équations ne changent pas quand on change t en t -|- ic. Si donc nous désignons pour un

instant par Si^r, o^y^ Ç|, tii ce que deviennent ox^ 8/, Ç, t) quand on change t en t 4- "Jt, et si 8^, 8^ est une solution, il en sera de même de 8| or, 8|^. Mais nous avons

avec sa conjuguée. Si dans cette équation je change t en t H- 7t,

se changeront en

d'où

8, a? -+- 1 8,j^ = — ( ?i -^ «Tii ) ( ir; -h t>i ),

ce qui montre que, si Ç, y\ est une solution, il en est de même de — il, — Tii et par conséquent de ii, t^i ; ce qui veut dire que les équations en Ç et en t) ne changent pas quand on change t en T -+-1Ç. Donc, dans Téquation (lo), H et K sont périodiques.

Si l'on change t en — t et 8^ en — ty les équations (6) no changent pas, car A, B, C se changent en A, — B et C. D'autre pari, x'^ ct^^ se changent en — x'^ ^^Xo' Donc

^ . 8jr-^*8y se change en

ce qui veut dire que i change de signe et que Tj ne change pas. L'équation (lo) ne doit donc pas changer, ce qui veut dire que K est une fonction paire et H une fonction impaire de t. Si nous reprenons l'équalion

— î- -+- H = o, nous verrons que

Or H est une fonction périodique et sa valeur moyenne est nulle puisque c'est une fonction impaire; donc / H ^/t, et par conséquent, o est une fonction périodique et paire. On en conclura

P. — Il (2). .1

que © est une fonction périodique et paire. Nous verrons d'ailleurs bientôt la façon de déterminer complètement o.

Il reste à montrer que © est toujours finie. Pour cela nous remarquerons que 8x et ùy sont finis ; donc

Çh- «73 = -; Hr

ne pourrait devenir infini, t étant réel, que si l'on avait à la fois

ce qui ne peut arriver, les trajectoires fermées de la Lune (rapportées aux axes tournants), étudiées au Chapitre XXV, ne présentant de point de rebroussement que pour — = i , j8.

Il faudrait faire voir maintenant que o et par conséquent © sont finis; pour cela nous allons déterminer (p, mais il est nécessaire de reprendre la chose d'un peu plus haut.

344. Il serait facile de déterminer o en faisant le calcul tout au long, mais il est plus instructif de procéder autrement. Les équations (6) admettent quatre intégrales linéairement indépendantes; nous connaissons déjà deux d'entre elles qui sont les intégrales (7).

Les deux autres, d'après les propriétés générales des équations linéaires à coefficients périodiques, seront de la forme

et, en changeant t en — t et 8j' en — 8y, ce qui ne change pas les équations,

(i9. bis)

\ 007 -h / or = V caÎ"*'-»*- *.

En additionnant ces solutions, on trouverait une solution réelle

hx •=^(6A-t-CA)COS[w3-r- iV, -+- ( 2 A: -h I j x],

ôj' = V(6a — Ck) siii[w3-H w'|-h(2A--Hi)':];

les coefficients bk et ca sont réels. Le nombre c nous fait connaître le mouvement du périgée de même que le nombre g nous faisait connaître celui du nœud, la remarque du n** 340 restant applicable. On pose

(Vi-h W|= CT -h e,

E étant une constante arbitraire et w^ représentant la quantité

définie au Chapitre XXIV avec les conditions

n^-h fit n%

c = 1 e = ma, c = i -h m -4-

/ii — /ij /ii — /ij

Entre les quatre solutions (7), (12) et (12 bis) existent certaines relations bilinéaires dont nous allons indiquer Torigine. Considérons un système d'équations canoniques

^^^ dt " dy' dt~~ dx'

d'après le théorème du n** 16, rappelé au n** 318, il existe une fonction Û telle qu'on ait

^^xdy = rfU -h V A rfa — F rf«,

les A dépendant seulement des constantes d'intégration a; on aura donc, par exemple,

Va,^ = — H- V ^ dit dxt *'

Si nous dilTérentions la première par rapport à a2, la seconde par rapf)ort à ai , il viendra

"^ dx dy ^ d*y __ dQ dXi

^â dcut dfXi ^^ doLx dix d%x doLi doL^ '

2dx dy y^ d*y dQ d\f

d%\ doLi Aà dTLi d%t cloLx dit dix '

68 CIIAPITRK XWII.

OU, en retranchant,

•^ / dx dy dx dy\__d\t d\i ^â\doLf dix dix </«]/"' dit doLi

Comme les A ne dépendent que des constantes d'intégration, le second membre se réduit à une constante.

Supposons qu'on forme les équations aux variations des équations (i3); nous obtiendrons deux solutions particulières de ces équations en faisant

et

dcix d%x

Car = -7— > oy = -t — »

d%i '' doLf

et nous obtiendrons ainsi toutes les solutions indépendantes de ces équations aux variations. Si donc

sont deux solutions quelconques de ces équations, on aura entre elles la relation bilinéaire

y^(îr,* — tj5*)= const.

Nous pouvons appliquer ces principes aux équations qui nous occupent, puisque les équations (4) et (6) du Chapitre XXV dérivent directement des équations canoniques (i). Les variables

conjuguées sont alors

et leurs variations sont

dx

dy

Soit alors

ôa: = fi,x, ÔX = SiX, By = Bxy, SY = aiY une solution particulière des équations aux variations, et repré-

MOUVEMENT DU PÉRIGÉE. 6g

sentons de même par des indices 2 une seconde solution particulière ; on aura

(ôiarôjX — 8|X8,a?)-h(8i^8,Y — ô| Y8,>^)= const., ou, en remplaçant SX, SY par leurs valeurs et divisant par /t| — /22,

La constante du second membre est nulle si les deux solutions 8i et S3 sont identiques; elle est nulle encore si l'on combine une des solutions (7) avec une des solutions (12) ou (12 bis). Si l'on combine en effet la seconde solution (7) avec (12), le premier membre de (1 4) ne contiendra que des termes en

xÇc-h/i ou ÎJ*^» (n étant entier).

Aucun de ces termes ne peut étrç constant à moins d'être nul.

D'autre part, si nous considérons une solution S|, la constante du second membre ne peut être nulle, quelle que soit la solution Sa ; sans cela on aurait entre les quatre quantités

^i^f «ir» S,a7', 81/

quatre relations homogènes du premier degré dont le déterminant n'est pas nul, et ces quatre quantités devraient s'annuler à la fois. Nous devrons donc conclure que la constante du second membre n'est pas nulle quand on combine entre elles les deux solutions (7) ou les deux solutions (12), (12 bis),

3i5. Que devient la relation (i4) quand on fait subir à nos équations les transformations du n° 342? Il est clair que nous allons avoir une relation bilinéaire entre deux solutions quelconques des équations transformées

Çi> ''iii îiî ""lii Ut ^ï» 5i» ^/ï-

Cette relation bilinéaire devra être évidemment satisfaite, la constante du second membre étant nulle quand l'une de ces deux solutions correspondra à la première solution (7), c'est-à-dire quand

yo CHAPITRE XXVII.

on fera

it=U Çl = ^l = Vl = Oï

ou bien

Nous en devons conclure que Ç| et Çj ne doivent pas figurer dans notre relation bilinéaire; nous aurons donc une relation bilinéaire entre

Îl> ^1» Vl7 5ï» ^tt Vl-

Si, dans la relation (i4); nous prenons pour la solution S| la première solution (7), nous retomberons sur l'équation (8) déduite plus haut de l'intégrale de Jacobi. Transformons cette équation (8) en faisant

* elle deviendra

Si, en partant de cette équation (i5), nous remplaçons ^\ et ^'^ en fonctions de yj , et r|2, il restera une simple relation bilinéaire entre

TQl> Vi» ""lî» ^'î>

qui devra être de la forme

^{^(t) étant une fonction connue de t; il est d'ailleurs aisé de voir que

cette fonction <f étant celle du n" 342.

346. Reprenons les équations (6) et passons aux variables ; et T\] nous aurons deux équations linéaires entre

î'> ^'» r> Vï Ç» ^,

où i ne figurera pas puisqu'elles doivent être satisfaites pour i = i, T) = o.

MOUVEMENT DU PERIGEE. 7I

Multiplions-les par — j'^ etx'^ et ajoutons de façon à éliminer Ç^'; il restera

V, 5', -r/y tq;

remplaçons ensuite Ç' en fonction de yj à Taide de Téquation (i5); on trouvera ainsi

(16) v(^o'+yo')-H2V(^i^'i-+-j'iy;)-+-MTi = o,

M étant une fonction connue de t; si nous comparons à l'équation (10), nous trouverons

„ -^0 ^0 "^ y^yp

d'où

Nous en conclurons d'abord que (p ne peut devenir ni nul ni infini, par conséquent que p reste fini, et enfin que © (qu'il est d'ailleurs aisé de former) est toujours fini, car, si 6 devenait infini, l'une des deux intégrales de l'équation (i i) devrait devenir infinie.

Donc Téquation (ii) est de même forme que l'équalion (i) du Chapitre XXVI, et tout ce que nous avons dit dans ce Chapitre devient applicable. On peut se servir en particulier du déterminant de Hill pour calculer le mouvement du périgée. La seule différence c'est que 6| est notablement plus grand, et il en résulte deux choses : d'abord la convergence du développement est moins rapide que pour le mouvement du nœud et c'est ce qui explique les circonstances qui avaient tant étonné les mathématiciens du xviii* siècle; ensuite certaines inégalités ont un coefficient notable. C'est ainsi qu'à côté des termes en 6© et Co qui représentent les termes principaux de \ équation du centre j nous avons les termes en 6, et C| qui nous donnent la grande inégalité connue sous le nom d^ élection.

347. On peut obtenir immédiatement un système du second ordre auquel satisfont 8^ et Sj^, je veux dire les solutions (12) et (la bis) qui nous intéressent. Reprenons en effet la relation bilinéaire (i4)> et imaginons que 82^, 82^ (q^e nous désignerons simplement par 8ar, 8^ «n supprimant l'indice 2) représentent

l'une des solutions (12) ou (12 bis) et que 8|:r, 8iy représentent une des solutions (7); la constante du second membre sera nulle, mais les solutions (7) peuvent être regardées comme connues, cela va donc nous donner une relation linéaire entre Sx, 8y, Sx', Sy^ ; comme nous avons deux solutions (7), cela va nous donner un système de deux équations différentielles du premier ordre entre 5x et 8^,

Prenons d'abord la première solution (7),

d'où

nous trouverons

(16) ari S^'-f-ri ^y— ^l ^ —y ^y -+■ a/nr/o ^^ — < ^Y) = «• Prenons ensuite la seconde solution (7),

m ^ dm -^ m*^" dm

d'où

Nous trouverons I en tenant compte delà relation (16), en vertu de laquelle les termes en — se détruisent

\ dm dm "^ dm, dm ''

\ m \dm, dm /

Il s'agit d'intégrer le système (16), (17). On pourrait chercher à le ramener à la forme canonique, ou bien en faciliter l'intégration par l'emploi de l'artifice du n° 327. Reprenons les équations (3 bis) de ce n" 327, que j'écris

[ w » 3 , 3 , xar