X - ipy - - ;,ïrF — - m^x -+- — = o

Nous pourrons remarquer que ces équations peuvent être déduites d'équations de forme canonique ; il suffit de prendre comme variables conjuguées

X, Y, X, y avec

c. X*-f-Y' mi-h/HT .« V X ,^'-+-y* ot. ^* — ^'^ F = ^ L -H n^{\y - Yar)— n\ ^ — 3A« ^,

de former les équations canoniques

dx d¥^ dX dF

dt ~" d\ dt ~" dx

d'éliminer X et Y, et de poser

rfç=(/ii — nf)dtf n^=zp{nx — /ij), A = m(/i|— /ij),

(/l,— /Ij)»

Recommençons sur ces équations (5 6/5) les mêmes raisonnements que sur les équations (5).

Les équations (5 bis) admettront le système de solutions périodiques formées au Chapitre XXV et que nous écrirons

Nous formerons les équations aux variations analogues aux équations (6) en posant

Ces équations admettraient des solutions analogues aux équations (7) qu'on obtiendrait en différentiant, par rapport aux deux constantes d'intégration s et /2|, l'expression

L /Il — /Il wi — /»j J

d'où les deux solutions particulières

j. dxQ dxQ 71, ctef h dxa

ani dx (/Il — /ij)* a/> (/»| — /i,)* am

74 CHAPITRE XXVIl.

ou^ en supprimant des facteurs constants,

" at -^ dp dm

qui remplacent les solutions (7).

Dans ces conditions, (16) et (17) deviennent

(16 bis) ^ar'o fij?' — ^^o ^^ "*- ^'/>(yo ^^ — ^i 5^)= o,

On -va ensuite chercher à développer suivant les puissances de /n^, et il arrivera alors la même circonstance signalée à la fin du n** 328 que le développement du coefficient d'un même terme procédera suivant les puissances non de m^, mais de m*.

Mais, pour /n = o, on a simplement

A étant une fonction de p facile à former; il vient donc

— A sillT, y^=i ^ COST,

dxo

Pdp =

dp

posant pour abréger Soient alors

dK

B —p-n — dp

y a, fn), FiC^'o^j^o, m)

les premiers membres des équations (16 6«) et (17 bis) que j'écris sans mettre en évidence ni /?, ni les inconnues 8x, 8y et leurs dérivées. Nous désignerons de même par

F( A COST, A sinT, o)

ce que devient F(a7o, ^0? f^) quand on y remplace m par zéro, x^ et^o par leurs valeurs approchées Acost, AsinT, et par consé-

MOUVEMENT DU PERIGEE. 73

quent x'^^ y^^ -t-^» -4-^> • • • par les valeurs correspondantes. Alors

F (^Oï ^0, m)— F (A C08T, AsinT, o) = — M, Fi(^o» ^0» m)— Fi(AcosT, A sinx, o) = — Mi

contiendront m^ en facteur. Les équations (i6 bis) et (17 bis) pourront alors s'écrire

1 F (AcosT, AsinT, 0)= M, (18) ^ ,

( Fi( A cosx, A siiiT, 0)= M|,

el elles pourront s'intégrer par approximations successives; on négligera d'abord /w^, de sorte que les seconds membres seront nuls. Ensuite on remplacera dans les seconds membres %x et 8^ par leurs premières valeurs approchées, de sorte que les seconds membres seront connus et que les équations (18) se présenteront sous la forme d'équations linéaires à second membre, et l'on obtiendra à l'aide de ces équations de nouvelles valeurs approchées, et ainsi de suite.

On voit aisément que les premiers membres sont de j.a forme

iA( — sint hx' ->t- co8T8^')-h G( cosTÔar-h sinx hy)^ B( cosT 8a:'-»- sinx S^)-!- D(— sinTÔar-H cosx ^y)\

A et B (déjà définis) de même que C et D sont des coefficients numériques dépendant de p et faciles à former.

Les équations (18) étant des équations linéaires à second membre;, il faudrait savoir intégrer les équations linéaires sans second membre, c'est-à-dire les équations obtenues en égalant à zéro les expressions (19). Or, si nous posons

ïj = î; 8« =; (fia?— i^y), ces équations sans second membre prendront la forme

{' H- «5 -h Ptj = G, T)' -h yÇ -H fiTJ = O,

a, ^, Y, s étant des coefficients constants; les équations (18)

prendront la forme

r + «5 + PTi = P,

y6 CHAPITRE XXVII. — MOUVBMBNT DU PiRICéE.

P et Q étant des fonctions connues, équations qui s'intèg^rent aisément.

348. On peut se servir du système (i6 6w), (17 bis) et du procédé d'approximations successives que nous venons d'exposer pour la détermination de c et des coefficients bk et ca. II suffit d'appliquer les principes du n® 335.

Déterminons, par exemple, par le procédé précédent, la soluUon particulière des équations (16 6w), (l'j'bis)^ qui, pour t = o, donne comme valeurs initiales

^ = 1, By = 0.

On aura alors

8a? -+- 1 ô>^ = V 6aC^*^' -H 2 ^*'»~*"**~'' avec la condition

^bk-^^cu=-

(que nous pouvons supposer remplie, puisque les rapports des coefficients 6a et ca sont seuls déterminés). La valeur de Zx pour t = « sera alors