TERMES D*ORDRE SUPÉRIEUR

349. La détermination des termes d'ordre supérieur se fera en appliquant les principes du n®341. Je suppose qu'on ait déterminé nos coordonnées jusqu'aux termes du A:**"* ordre inclusivement, et soit par exemple x = 2?a la valeur approchée ainsi obtenue ; posons x = Xk-{'^^ et cherchons à déterminer ùx jusqu'aux termes du (Ar-j-i)**"* ordre inclusivement; nous serons amenés à former des équations analogues aux équations (2) du n® 341 ; ce sont des équations linéaires à second membre. Les premiers membres sont toujours les mêmes, quel que soit k. Nous avons appris à intégrer les équations sans second membre aux Chapitres XXVI et XXVII, en formant les termes du premier ordre. L'intégration des équations à second membre, et par conséquent la détermination des termes d'ordre supérieur, peut donc s'opérer par de simples quadratures.

Toutefois une complication se présente : nous n'avons pas seulement trois fonctions inconnues qui sont nos coordonnées x, y^ 3; nous avons encore deux constantes inconnues ^ et c d'où dépendent les mouvements du nœud et du périgée.

Ces deux constantes sont développables suivant les puissances

de

E}, E|, Eî, a«.

Nous n'avons déterminé jusqu'ici aux Chapitres XXVI et XXVII, ainsi que nous l'avons remarqué au n^ 34(1, que les premiers termes de ces développements, ceux qui sont indépendants des Ef et de a».

Supposons alors qu'on ait déterminé g et c jusqu'aux termes du (k — i)'*"* ordre inclusivement, et soient ^a, et ca i ces valeurs

approchées; soient ensuite gf^^i + Bg^ ca i -h 8c des valeurs plus approchées jusqu'aux termes du Ar**"* ordre inclusivement; en même temps que 8jr, Sj/-, Zz, il nous faut déterminer S^ et 5c. Nous ferons cette détermination, comme on le verra dans la suite, de façon à faire disparaître les termes séculaires.

3oO. Rappelons en quoi consiste la méthode de Lagrange pour l'intégration des équations à second membre. Considérons pour fixer les idées un système du troisième ordre, formé de trois équations du premier ordre. Soient donc X, Y, Z trois combinaisons linéaires de x, y, z\ soient A, B, C trois fonctions connues, x', y'^ z' les dérivées de x^y^ z] nos trois équations pourront s'écrire

(i) a?'-+-X = A, /-hY=:B, y-+-Z=G.

Supposons qu'on ait intégré les équations sans second membre

(a) ^ a?'-hX=y-hY = V-hZ = o,

et soient

a? = ^/, y=Xtf z = zi (« = i,î, 3)

trois solutions indépendantes du système (2). On posera

a? = X|iri -h Xjirj-H \%Xiy

et l'on cherchera à déterminer les nouvelles fonctions inconnues )./. Le système (i) deviendra

(3) 2^i^'=^' ^Kyi=B, 2^'^'=^'

et Ton en déduira les X^- sous la forme

Xi= a/A -+. p/B -H Y/G (t = i, 2. 3),

les a/, les ^î et les yt étant des fonctions connues de /, de sorte que la détermination des X/ et par conséquent celle de Xj y^ z sont ramenées à des quadratures. Les fonctions a/, P/, yi peuvent s'obtenir par l'intégration des équations du premier degré (3).

Tel est le procédé classique, mais il y a des cas où quelques

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simplifications sont possibles. Supposons d'abord un système du second ordre au lieu du troisième, de sorte que les équations (3) s'écrivent

Supposons qu'on ait entre les solutions du système sans second membre une relation bilinéaire

^iyt—yi^t= H,

H étant une fonction connue de t. On aura

d'où

et de même

« - Zl a - ^»

Supposons par exemple qu'on ait une équation de la forme

x'-\-ex= B,

ce qu'on peut remplacer par le système

x' — ^ = o, ^'-l-Ox = B; on aura alors

d'où