Reprenons les équations canoniques (a3) du n

Supposons qu'on ait trouvé une solution exacte jusqu'aux termes du A'*"* ordre inclusivement (par rapport aux E et à a). Soit

X = arx, y = yk, « = ^A-, X = Xx-,

cette solution. 11 convient, comme je l'expliquais au début de ce Chapitré, de tenir compte des constantes c et g. Je suppose que nous possédions des valeurs approchées de ces constantes.

C = CXr-|, g=:gfg^^

exactes jusqu'aux termes du {k — i)'""* ordre inclusivement. Je dis d'abord que l'erreur commise sur les deux membres des équations (8) est du {k 4- i)'''™* ordre. Cela est évident pour les seconds membre^ puisque nous y substituons à la place des inconnues des valeure exactes jusqu'au A:'®"'*' ordre exclusivement. Pour les premiers membres, où figurent les constantes c et ^, cela exige un peu plus d'attention.

En effet x, par exemple, est une fonction périodique des quatre arguments iV/= îiit H-tsj/. On aura donc

dx v^ dx ru

cix ^^ di ~'2à

du'i '

mais, comme

/i,= (c— I — m)(/i,--n,), nv= (^— 1 — m) (/i, — n,), -rr dépend de c et de g. Quelle est l'erreur commise si nous sub-

82 CHAPITRK XXVffl.

stituons Xkt Ck.\ et gk-\ à la place de x, c et g^ Si nous remplaçons X par Xki nous commettons une erreur du {k -j- i)'«™* ordre; si nous remplaçons ensuite c par ca«i, nous commettons une nouvelle erreur

dxk

{nx—ni)(c — Ck-\)

dwi

Or C — ca i est du k'^""^ ordre; je dis que -r-^ est du premier

ordre, car Xf( — Xq est du premier ordre, et -—• est nul puisque 2:»

ne dépend que de fV| — 1^2 • L'erreur est 'donc du (k 4- i)^«"« ordre; et il en est de même quand on remplace g par gk-^'

Soit donc (9) A, A% B, B% G, C*

ce que deviennent les différences

dx dF'

dF'

dy dF'

dt ' d\'

dt ^ d\'

quand on y fait cette substitution.

Les expressions (9) seront des fonctions connues qui seront du (A-f- ly^™" ordre.

Posons alors

leme

et proposons-nous de pousser l'approximation jusqu'au {k-\- i) ordre pour x, jusqu'au /r**'"*'' ordre pour c. Nous pourrons négliger les carrés de 8:r, 3c, . . . , et nos équations prendront la forme

^'"> ^dF'-'dX=^^ 'dt-^'d^=^

Les seconds membres sont des fonctions connues ; quant aux premiers membres, ce sont des expressions linéaires par rap[>ort aux inconnues et à leurs dérivées. On a par exemple

dx dx* ' dx d\ ^ ' ' * '

où, dans les dérivées secondes de P, les inconnues doivent être

TERHKS d'ordre StFÊRlEUR. 83

remplacées par leurs valeurs approchées ^ = Xo, X = Xo, ... (en même temps que les £ et a par zéro), ainsi qu^on Ta expliqué au n" 34i. D'autre part,

^dx v^ dix v^. dx

Dans le premier terme^n/^ — > nous pouvons remplacer n^ et /i| par leurs valeurs approchées

(co— I — /n)(/i,--n,), (^0— ! — '»)( «i—«î),

déduites de l'analyse des Chapitres XXVII et XXVI. L'erreur commise ainsi sur /i/est du premier ordre (et même du second),

et, comme Sx est du (A* 4-1)'""'' ordre, l'erreur sur rii-^ — sera

du (A* -h 2)'^'"" ordre au moins.

Dans le second terme ^^ 6/1 1- — , où figurent

S/ij = (/i| — /11) Se, 8nv = («i — ^\)^Sy

nous pouvons remplacer x par Xx \ l'erreur ainsi commise sera du second ordre, et, comme S/i/ est du A"'*'"" ordre, l'erreur sur le produit sera du (Jk 4- 2)'^™* ordre.

^^i;f^ dans le second membre, les équations (10) deviennent

^ dix ^ dF' . v* 5, dxi

JL'*'^ -'dK = ^-2é^'''d:^r

(II) {y? dix ^dF' ^^ v?^ dXi

dwi dx ~" ^à ' dwi

Les premiers membres restent les mêmes à toutes les approximations.

Dans le calcul des termes du premier degré, et en supposant a = E3 =: o (et aussi 3c = 8^= o et par conséquent 5/1/ = 0, puisque à cette approximation c et «^ se réduisent à Co et «^0)» les seconds membres sont nuls; les équations (11) doivent alors se réduire à celles que nous avons intégrées aux Chapitres XXVI et XXVII, Chapitres dans lesquels nous avons précisément déter-

Si CHAPITRB XXVIII.

miné ces termes du premier degré; c'est dire que les premiers membres des équations (i i) se réduisent à

— 8X — /ijo^,

h(mi-^ //Î7) 0— — an|8a? — «iSY,

ot r'

— ô Y -4- /Il Sa: ;

à oY . V ■% y • «^ •»«■

--T-- ■4-(/ni-+- m?) ô ^ -+- n|o^-4-ntôX,

[c/.équ. (i),Chap. XXV,n»323; équ. (i),Chap. XXVI, n" 331; équ. (6), Chap. XXVII, n' 312].

Observons d'ailleurs qu'on aurait

x8^ ==Boa:-f-C8y,

Â, B, C ayant même signification que dans les équations (6) du Chapitre XXVII; nous écrivons aussi pour abréger

d nt

dt '^2à"'dwi

les rii étant remplacés par leurs valeurs approchées

/ii, n,, (co — I — /n)(n,— ni), {^0— i — m)(ni-' nt).

353. Si nous supposons pour un instant que les constantes oc et 8^ (et par conséquent les S/i/) sont données, les seconds membres sont connus; les premiers membres sont les expressions (12) et nous savons intégrer les équations sans second membre; le problème peut donc être considéré comme résolu par l'application du procédé classique du n° 330. Nous devons toutefois faire les remarques suivantes :

1® Les seconds membres se présentent sous la forme de foncrions

TEBIIB8 d'ordre SUPERIEUR. 85

périodiques connues des quatre arguments (^/; mais dans les premiers membres figurent non pas les dérivées

di=Z'''diirr

mais les dérivées

d ^ ^ d Jt -^ZàP^i d^/

où les n^ sont les valeurs approchées

nî = (co— I — m)(/i, — n,), nj = (^o— i — /n)(/ii - 'lî).

Cela ne change rien d'ailleurs au principe du calcul; seulement il faut, avant l'intégration, remplacer dans les seconds membres les iVi non pas par riiù -f- m/, mais bien par /i" t + t5|.

Supposons donc qu'on ait formé les fonctions que nous avons appelées X^ au n** 3oO,

Xi = a/ A -t- ... ;

ce sont des fonctions périodiques données des w\ on doit écrire alors non pas

rfX/ ^ri dXf .

mais bien

àXi ^ ft dit .

Si donc (i3) a/A-f....=2^««'^^-^''^'*'",

les ka étant entiers, on en déduira non pas mais bien

Cette anal jse suppose que le second membre de (i3) ne contient pas

de terme constant. Ou verra plus loin, au n" 3o6, comment on peut s'arranger pour qu'il en soit ainsi.

334. On remarquera que les quatre premières équations (i i) forment un système qui ne dépend que de Sjt, 8^, SX, 8Y, tandis que les deux dernières forment un système qui ne dépend que de 8s, 8Z, Ces deux systèmes peuvent donc élre traités séparément.

Nous remarquerons ensuite que nous nous trouvons dans le cas où le procédé dun" 351 est applicable, puisque nos équations sans second membre sont les équations aux variations d'équations canoniques.

Considérons donc les quatre solutions particulières (7), (12) et (12 bis) du Chapitre XXVIl; soient

les deux solutions (7), ou ces deux mêmes solutions multipliées par un coefficient que nous pouvons choisir arbitrairement ;

8a:=Ç„ 8^ = 7),; $ar = Jv, 8j^=tQ4

les deux solutions (12) et (12 bis)^ ou ces mêmes solutions multipliées par un coefficient que nous pouvons choisir arbitrairement. Soient

les valeurs de SX et 8 Y qui correspondent à 82? = Ç,-, 5k= Tj/; on aura la relation bilinéaire

(ÇiÎa — Ç*?A)-f-(r,//;î.— t);t,x) = consl.,

qui n'est autre chose que la relation (i4) du Chapitre précédent. Nous savons que la constante du second membre est nulle, sauf dans le cas où /=i. A" = 2 et dans celui où i = 3, A' = 4- Nous pourrons choisir les coefficients arbitraires dont nous venons de parler [et par lesquels les solutions (7), (12) et (12 bis) sont multipliées] de telle façon que dans ces deux cas la constante du second membre soit égale à 1 . C'est ce qui est le plus commode pour l'exposition ; mais dans le calcul on pourra faire un autre choix; par exemple on pourra avoir avantage pour i = 3, A* = 4 à

supposer la constante égale à >J — i .

TERMES d'ordre SUPÉRIEUR. 87

Soient alors

les seconds membres des six ëqualions (i i), de telle façon que

Appliquons le procédé du n" 331 ; il viendra avec les conditions

3oo. Le même procédé s'applique au second système formé des deux dernières équations (m). Soient

les deux solutions (?.) de Téquation (i) du Chapitre XXVI, multipliées au besoin par un facteur constant arbitrairement choisi. Nos équations sans second membre [formées avec ùz comme cette équation (i) avec w] admettront les deux solutions

8z = C,, ÔZ = r.,

entre lesquelles nous aurons la relation bilinéaire

Ï.ÎJ — ÎÎÎ6= const.

11 ne faut naturellement pas confondre les Ç/ avec ÎJ =^ ^' '^. Nous pouvons supposer que la constante du second membre est

égale à i . Nous aurons alors

avec

356. Il faut, comme nous Tavons vu à la (in du n^ 3o3, que les seconds membres des équations (i4) et (i5), qui sont des fonctions périodiques des (v, ne contiennent pas de terme constant.

Ei[aminons-les successivement et considérons d'abord -rr* Je dis

que cette expression est une fonction impaire des tv et ne contient pas de terme constant. Il est aisé, en effet, de constater que

5î> ^iiT L*, M

sont des fonctions paires, tandis que

sont des fonctions impaires, ce qui démontre la proposition énoncée; il ne peut donc pas s'introduire dans X2 de terme séculaire.

Passons à X| ; nous savons que Ç| est égal, à un facteur constant

près, à -T-^* et que Ça est égal, à un facteur constant près, à

T dXn dx,

m di dm '

nous pouvons donc choisir les facteurs constants de telle sorte que l'on ait

Tl,= />!,-+- (73,), >lî=<îïî-l-(îïî).

Si, -^k, l\, -h], (ia)ï (>i2), (ÇJ), iK) ^^^^ des fonctions périodiques

de T. Posons alors

Xi = — /Xj-hfii;

il viendra

d'où

^=^« + (îî)L-«.)L*-t-(i;)M-(Ti.)M'.

TERMES D*ORDnE SUPERIEUR. 89

Le second membre est encore une fonction périodique des (v, paire cette fois; mais dans ce second membre figure Xj qui n'a élé déterminé que par une intégration, c'est-à-dire à une constante près. Nous pouvons disposer de cette constante de telle façon que le terme constant du second membre disparaisse. Dans ces conditions [X, ne contiendra pas de terme séculaire.

D'ailleurs les. deux premiers termes de Zx

se réduisent à

[Aiîi-+-X,(Çt).

de sorte qu'on a

8ar = |x,Çi-4- X,(?,) -h X,{,-4- X^Çv.

3«o7. Examinons maintenant -r^ et -r^ • Je dis que nous pouvons

choisir Se de façon à faire disparaître à la fois le terme constant dans ces deux expressions. Nous avons

Comme ùn^ eiSn^ sontnuls et que -i— ^ = o, puisque â?i ne dépend

que de T = (V| — w^ et de iVa, le dernier terme du second membre se réduit à

D'ailleurs on a

Nous voyons donc que

^•=?:L-{*L*^r,:M-TivM*

peut se diviser en deux parties et qu'on peut écrire

= ?i— 4'j8c(/ii — n,),

OÙ 03 est ce que devient l'expression de -r^ quand on y remplace

par

et tlj ce que devient cette expression quand on y remplace ces

quantités par

dxi dXi dy\ dY^ tiwi dwi dwi dwi

On aura de uiéme

= ?v— l^vôcCm — /i,).

©4 et i/x étant formés avec -^ comme o., et 'i» avec -^« Je vais disposer de 8c de façon à annuler le terme constant de -r^; je disque la \aleur de 8c qui annule ce terme est réelle et qu'elle annule en même temps le terme constant de — ^•

*■ ut

Nous avons supposé

r-»-îA-»-l

-c-tk -\

les coefficients 6a et ca sont réels, et h est un coefficient constant dont nous avons disposé de façon à réduire une certaine constante à I.

En effet, quand je change les w en — (v, x qui est une fonction

paire des «v ne change pas; au contraire, -t-» ^— > X, y^ ...

changent de signe.

changent de signe;

ne changent pas.

4 dxx dYt

dw3 dwi

A* ^, B ^ ' dwi ' dwi

TERMES I) ORDRE 8UPËRIKUR. 9I

^ et ^ se changent en j- et y, tandis que -^ et ' se changent

en — X ^^ — T* ^^'^^ T ^® change en — ^, -^- en — x' A en — 2^1 ^ en — -^« Donc le terme constant de ^> par exemple, est égal à celui de — y •

Si maintenant nous changeons i en — ^ x' x' /' X ^^ P^^"

mutent avec j, -^, ^, ^; les quantités A, A*, -y-^» • • •* qwi sont réelles, ne changent pas.

Donc X' / ' ^' A ^^ changent encore en — ^S — y * — y > — -^- Donc le terme constant de y est imaginaire conjugué de celui de — ^•

Si le terme constant de -^ est d'une part égal à celui de — -j-»

d'autre part imaginaire conjugué de celui de — -^> c'est que ces

deux termes sont égaux et réels. Et il en est de même en ce qui concerne ^^ et t|^4 .

Soient donc

les termes constants de

ils seront réels, et il suffira de prendre

ôc =

fi{n, - n,)

pour annuler à la fois le terme constant de -^ et celui de -r^' Nous

n'aurons donc de terme séculaire ni dans X3 ni dans X4.

On démontrerait de la même manière qu'on peut choisir Zg de façon qu'il n'y ait de terme séculaire ni dans Â5 ni dans Xe. En

effet, le second membre de la cinquième équation (i i) s'écrit

dzx dwt on a ici

Le reste du raisonnement s'achève comme pour X| et A4, 8^ jouant le rôle de 5c, N et N* celui de L et L*, Cs et "C^ celui de Ça et Çt, etc.

358. L'intégration, comme nous Tavons vu à la fin du n"" 353, introduit le petit diviseur

où les koi sont des entiers; comme

/iî = co(ni — /ij) et

sont développables suivant les puissances de m^, ce petit diviseur sera lui-même développable suivant les puissances de m^. Les premiers termes du développement sont

n,= n5 = /?i(«i— /11), /i| = /ij = (i-h m)(ni — /if), /ij = (n, — /i,) ( — - /n«-4-. . . V

puisque

d'où

Al — /l* ^iHi h

11 sera donc divisible par m si Xr, = o; il sera divisible par m} si Xti = ^2 = o, c'est-à-dire si le terme correspondant ne dépend que des longitudes du périgée et du nœud; dans ces deux cas il sera ce

TEltUES d'ordre SUPÉRIEUR. 98

que j'appellerai wn petit diviseur analytique. Enfin il sera divisible par m' si Ati = A'2= o, ki= kj^^ c'est-à-dire s'il dépend seulement de la somme des longitudes du périgée et du nœud. Ce sera alors un très petit diviseur analytique.

Mais il arrive ici que les termes en /n' ont de très grands coefficients, de sorte que Cq — i — /w, au lieu d'être à peu près égal en

valeur absolue à t/w*, et par conséquent k go — i — /??, est à peu

près deux fois plus grand. Il en résulte que les très petits diviseurs analytiques, quoique divisibles par m', sont numériquement de l'ordre de m^. Si, au contsaire, on a A'i = Xr2=o, 2A'j = Xr4, le diviseur, quoique non divisible par m', sera numériquement de l'ordre de m^. Ce sera un très petit diviseur numérique (inégalité de Laplace, c/. Tisserand, t. III, p. i58).

Dans le calcul numérique des coefficients, ce sont les très petits diviseurs numériques qui importent. Au contraire, si l'on se propose, comme le faisait Delaunaj, de développer ces coefficients suivant les puissances de /?i, il faut s'inquiéter des très petits diviseurs analytiques.

Les très petits diviseurs analytiques se présentent pour la première fois dans les termes en E, EJEJ ou en EjE^E*, et les très petits diviseurs numériques dans les termes en E^Eja, EiE^E^, E.EjEJa ou EJEJE;.

359. Tel est le principe de la méthode de Brown. Je n'insisterai pas sur les perfectionnements de détail qu'il y a apportés et dont les principaux sont les*suivants :

i** Au lieu de quatre équations linéaires du premier ordre à second membre, il emploie deux équations linéaires du deuxième ordre à second membre (obtenues par l'élimination

de X et Y); il en résulte que les expressions des — ^ sont un peu

modifiées et se présentent sous la forme d'une soiiune de deux termes seulement et non de quatre.

2* Au lieu de Sx et oy^ il prend comme inconnues les quantités imaginaires

3** Au lieu d'employer des lignes Irigonomélriques des multiples

94 CHAPITRE XXVIII. — TERMES d'ORDRE SUPÉRIEUR.

des Wj il simplifie les notalions en introduisant la variable

4** Pour les approximations d'ordre élevé, il a recours à Tartifice par lequel Hill était passé des équations (2) aux équations (5) du Chapitre XXV. Les calculs de substitution s'en trouvent un peu simplifiés.

Je me bornerai à dire que la méthode est applicable aussi bien au calcul des termes du premier ordre en a et Ej qu'à celui des termes d'ordre supérieur.

Pour plus de détails, je renverrai à*son Ouvrage original (Menioirs of tlie Royal Astronomical Society, t. LUI, LIV et LVII).

On pourrait se demander si, à cause des petits diviseurs divisibles par ni' ou m', on n'arrivera pas dans la suite des calculs à des termes contenant en facteur une puissance négative de ni. On peut démontrer que cela ne peut arriver que quand interviendront les très petits diviseurs analytiques, 11 en résulte, d'après le numéro précédent, que cela ne peut arriver que pour des termes d'ordre très élevé; cela ne peut arriver si l'on suppose £2 = 0, ou bien £3=^0, puisque dans ce cas il ne peut y avoir de très petite diviseurs analytiques, mais tout au plus de petits diviseurs analytiques divisibles seulement par m-. Pour la démonstration, je renverrai au Bulletin astronomique, t. XXV, p. Sai.