SECONDE MÉTHODE

360. La seconde méthode que nous allons exposer présente surtout des avantages quand on veut obtenir non seulement la valeur numérique des coefficients, mais leur développement analytique en fontion de m, comme le faisait Delaunay.

Nous aurons avantage à employer, au lieu des arguments (V/, les suivants :

De cette façon, dans le coefficient d'un terme dépendant du sinus ou du cosinus de

lexposant de E^ sera au moins égal à |/?/|.

Nous partirons de la formule (?'5) du n" 320 :

2^ ^/x - rfu- = 2 a; '/«'. - ^^ •

Cette formule peut recevoir utilement diverses modifications : d'abord nous pouvons passer des variables iv aux variables t; nous pouvons ensuite remarquer que ^\ se réduit à une constante (intégrale de Jacobi) lorsque Ej = o. Cela nous permet d'écrire

i. = K -h lia n

i = K-hEa*,

K étant une constante et E^^t étant divisible par E3. On a en efl'et

•i et 6 étant des fonctions de x, y, z, X, Y, Z, de 73=^^3 et

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des constantes Es et a. D'ailleurs ^ est indépendant de E3 et 73. Soit ensuite x* ce que devient le développement de x quand on y fait Es = o.

Soit <j^* ce que devient ^!/ quand on y remplace a:, . . . par x*, ... ; alors i* sera une constante, A — ^* sera divisible par E3, et nous pourrons poser

On a donc

^id /tf

\x dX — ^û' = 2b rfx - Ë3* //t,.

Les B sont des constantes, de même que les A^ et K ; je veux dire par là qu'ils dépendent seulement de

E|, Et, E3, a, m

et sont indépendants des t.

Posons

•^0 et jKo étant les termes de degré zéro calculés au Chapitre XXV; ^1 représente l'ensemble des termes déterminés au Chapitre XXVI (comme z ne contient pas de terme de degré zéro, on aura ^0 = ^^ '1 il Aiendra

dS = \ (x — Xo) d\ — y X dx^

H- (5 — z, ) f/Z — Z ^5, — y B é/t H- E,* rfT3.

Dans cette formule (1), on doit regarder E,, E^, m et les i comme des variables; au contraire, E3 et a sont des constantes données, de sorte qu'on aura

dEi = û^a = o.

J'ajoute que dans cette formule 2(-^ — Xq) rfX et T X c/xo re-