SECONDE MÉTHODE

présentent simplement

361. Cela posé, supposons qu'on ait déterminé les termes d'ordre k et d'ordre inférieur de x et de^, de X et Y, de S et B, les termes d'ordre k — i de z et Z, et qu'on ait par conséquent

(2) x = xk, y = yk, z==zk^u S = Sjt, ....

Je pose

(3) a? = rr* -4- 6j?, y = yk-^^y-, ...,

et je me propose de calculer 8a:, 8/, 8S jusqu'aux termes du (A: + i)'^'"® ordre inclusivement, %z jusqu'aux termes du A-'*"*' ordre.

Substituons d'abord dans (i) à la place de toutes nos variables leurs valeurs approchées (2), la diflférence des deux membres sera du (A* -4- i)'*"® ordre; nous pourrons la mettre sous la forme

Il et V étant des fonctions connues.

Substituons maintenant à la place de ces variables leurs valeurs approchées (3) en négligeant les puissances supérieures de 8^7, . . , , ce qui est permis puisque nous négligeons les termes d'ordre A* -j- 2; il viendra

rf as == Y ôar €/X -+- y (ar — :ro ) €/ 8X -- V SX éiaro H- 8« rfZ

-h (5— s,) û?az — 8Z </«, — VôB rfT -+- Es a*^Tj-H Va é/(^.

Le second membre est susceptible des simplifications suivantes : considérons-en d'abord la première ligne ; comme 8ar et SX sont d'ordre A* -f- 1, nous pouvons remplacer x et X par Xq et Xo. De même dans la deuxième ligne, comme 85 et 8Z sont d'ordre A*, nous pouvons négliger dans leur coefficient z^ qui est de deuxième ordre et remplacer z et Z par z^ et Zj.

Enfin 8<^ est d'ordre A' -|- i , car

g8 CHAPITRE XXIX.

Or 8a: et SX sont d'ordre A--I-I, §5 et 5Z sont d'ordre A-,

niais 5^ et ^ sont divisibles par Ej et par conséquent du premier

ordre. Comme d'ailleurs E, est du premier ordre, nous pourrons négliger E3 8<^ et il restera

-H a^ rfZi — sz rfsi - V 8B rfx -h 2 " ^^'