Prenons ms^intenant la formule (26) du n

d^ ., v^ û?X di

où ^\ = F'— /lai'' et où H est une constante choisie de telle façon que û" soit périodique. Nous déduirons

dt

dt v^ ^ cteo r, dzx

dt

leme

Substituons dans (6) les valeurs approchées (2) à la place des variables et soit G la différence des deux membres; G sera une fonction connue du (A* -h 1)'^"* ordre. Substituons mainlenant les valeurs approchées (3) et négligeons tout ce qui est du (/: + 2) ordre ; il viendra

D'autre part,

54»; = 7 —j-^ ôar -H > -j-rr oX H- —— 0-3 H T=i- oZ.

^ ^ c^ iW t/X e/^ <iZ

Mais, en vertu des équations du mouvement, on a

dx^d^ d^ dt "■ d\ " d\' *"' d'où

**' V ^^ î . V ^^ «^v dZ ^ dz ^„

8BC0N0B MÉTUODK. 99

et par conséquent

. ^dZ [ dz dzi \ ^^

Dans la première ligne on peut remplacer x par Xq et, dans la seconde, z par Zt, pour les mêmes raisons qu'au numéro précédent, ce qui nous permet d'écrire

Qu'est-ce maintenant que 8 ■^? On a

dS ^ dS

m - ^d'^'d^i' d'où

dt j^ dwi Jmà dwi

Dans le premier terme du second membre nous pouvons remplacer Tii par /i®, de sorte qu'il se réduira (en reprenant les notations du Chapitre précédent) à

û^oS doS

Jk^ ' dwi ôt

Dans le second terme figurent deux constantes indéterminées,

8/i3= oc(nt — /11), o/i4= o^(ni— /11);

la première est d'ordre X', car nous supposerons que c a été déterminé jusqu'aux termes d'ordre k — i inclusivement; la seconde sera d'ordre k — i, car nous supposerons que g a été déterminé Jusqu'aux termes d'ordre k — 2. Posons

S = So-+- Sj-t- 5j-f-...,

So, Si, S2, . . . représentant respectivement les termes d'ordre o, I, 2, .... Nous pourrons alors, dans le coefficient de 0/13, remplacer S par So-I- Si ou par Si, puisque S© ne dépend pas de ^^3, at, dans le coefficient de 8/I4, remplacer S par So-f-Si-f-Sa ou

lOO • CHAPITRE \\l\.

par S2, puisque S© et S| ne dépendent pas de iV^. Il vient donc (8) -^-- = G — oH — 0/1,-3 o'»*-? — •

363. Reportons-nous aux noUtions du n" 318; nous avons trouvé dans ce numéro les formules suivantes :

4>t = H — ]^ VV/i, W/=A/-Ai (t = i,3,4),

niWi-+-*i= /»iAt-H K = /Il Ai,

dH=^\\ dn, rf*, = — 2 ^ ^^^'

la lettre K ayant le même sens qu'au n** 318, et nous en tirerons (en nous rappelant que rf/i2 = 0)

H =y /ii Ai, ^^H = Va; rf/i/, Y /i/ dx} = o.

Mais il vaudra mieux revenir aux arguments t que nous avons introduits au début de ce Chapitre ; soit donc

û^T = V dt^ dit = v/ rft, de telle sorte que

V = /li— /If, Vi = /l|-h /l, = VC, V, = /Ij-h /Iv = V^, V5=/li.

Nous aurons

Kv,-+-2Bv=2a'/i, Krfva-hVBrfv^yA'é//»,

la lettre K ayant le même sens qu'au numéro précédent, et par conséquent

(9) H=2^^-t^^»» €/H=2Brfv, ^ve/B-f-v,rfK = o.

Toutes ces quantités H, B, v ... dépendent des constantes /«, E et a, et ne dépendent pas des arguments t. Supposons que dans les équations (9) on substitue d'abord les premières valeurs approchées (2) de nos inconnues, et soient

(10) P. 2Q^î7, d?-^Çldq

SECONDE MÉTHODE. lOf

les différences des deux membres; P, Q, q seront des fonctions connues et les expressions (lo) seront d'ailleurs du (Ar-t-iy*"° ordre.

Cela posé, substituons dans les équations (9) les valeurs plus approchées (3) et négligeons les termes d'ordre A* -f- 2; il viendra

Remarquons que 8H, rfSH et SB sont d'ordre A* 4-1; que Sv = 6v3=o; que 8vi est d'ordre k et 8v2 d'ordre k — i; que rfovi est du même ordre que 8v/; que B| est divisible par E^ et B2 par Ej et sont par conséquent du second ordre, ce qui permet de négliger, par exemple, Bi 8vï ; alors nous écrirons

fl2>

l 8H = B,ov, -H^^ SB 4- P -+- V3 oK, d oH = B, /i ov, H-V 8B rfv -+.y Q dq.

364. Tous les termes de nos développements contiennent en facteur un certain monôme

que Brown appelle leur caractéristique ; la somme des exposants

est le degré du terme. Dans les calculs précédents, nous pouvons supposer que SS, par exemple, ou 8:f, au lieu de représenter tous les termes de degré A* + 1 , par exemple, représente seulement l'ensemble de tous les termes ayant une caractéristique donnée jjl. Mais, comme le degré d'approximation n'est pas le même, par exemple, pour 8.5 et 8^-, il est nécessaire que je précise. Je conviendrai donc que

Sa7, 0^, 8X, 8Y, oS, oB, oK, oH

représentent l'ensemble des termes de caractéristique [jl; que 8^, 3Z représentent l'ensemble des termes de caractéristique-^; que

fOa CHAPITRE XXIX.

8c comprend les termes de caractéristique -^ et*8^ ceux de caractéristique p7 •

En ce qui concerne les valeurs approchées (2), je supposerai que

*^ki yk% ^ki • • •

comprennent tous les termes dont la caractéristique est un diviseur de [X (|JL lui-même étant exclu) et que de même

-5*-!, Ck-U gk-\

comprennent les termes ayant respectivement pour caractéristique un diviseur de

Ji Ji Ji

E,' E/ Ef