Considérons l'expression

011 j'ai représenté par E la limite de ( i H j pour /w = oo, afin

d'éviter toute confusion avec e qui représente l'excentricité.

Cette fonction F" est une fonction périodique de m, développable d'après la méthode de Fourier en série procédant suivant les exponentielles

où m est un entier positif ou négatif. Les coefficients sont des fonctions de J7, de sorte que je puis écrire

(J) E'»'«»n" = y J,„(aT)E'"»«.

Les fonctions J/w(x) s'appellent les fonctions rie BesseL Le premier membre de (3) est le produit des deux exponentielles

d'où, par multiplication,

Pour avoir J,„, il faut chercher dans le second membre les termes en E'"*", c'est-à-dire faire a = ^ -f- /??. Nous trouvons ainsi

Si m est positif ou nul, il faut donner à ^ les valeurs et appliquer la formule en supposant

f6 CHAPITRE XV.

On voit alors que J/«(^) est une fonction entière de jr, divisible par x^] la série (4) converge en effet très rapidement pour toutes les valeurs de x.

Si m est négatif, il faut donner à ^ les valeurs

de façon que a soit positif ou nul. Alors ]m{x) est encore une fonction entière de x divisible cette fois par j:"*".

Observons d'ailleurs que le développement (4) ne contient que des termes de degré pair si m est pair, de degré impair si m est impair. On a donc

(3; J/«(— ar) =(—!)'« J„aar).

Si d'autre part, dans la formule (3), nous changeons a: en — x et ;/ en — «/, elle devient

(3 bis) £'•»'•'«>" = Vj,„(— a?) £-'•'«'*.

En identifiant les deux développements (3) et (3 bis) de E"**"", on trouve

d'où

formule qui permet de ne considérer que des fonctions de Bessel d'indice positif.