Différentions Téquation (3) par rapport à e/, il vient

ix cos u E* •»■ ••" " = 51 ^'^^fn E"""

En identifiant les coefficients de E'"'"" dans^les deux membres il vient

(7) ^(J//i-i-f- J/M-Hi) = 2/nJ«„

relation de récurrence entre trois fonctions de Bessel consécutives.

APPLICATION DES PONcmONS DE BE8SEL. I7

DiflTërentions maintenant l'équation (3) par rapport à x^ il viendra

(8) isin a £'■•'••'«" = Vj;„( a?) E''««

ou en identifiant les deux membres

formule qui permet de calculer la dérivée de J,».

224. DiiTérentions maintenant la formule (3) deux fois par rapport à {£, ou bien encore deux fois par rapport à x^ nous obtiendrons ainsi les deux formules

(10) — larsinaE'-»»»""— a?» cos«£iE'-*'»»n" = — V m* J,;i £'■'«'*,

(11) — sin»aE'-*-*'n"=VjJ,(iF)E'"«w.

Ajoutons maintenant les quatre formules (3), (8), (10), (11) après les avoir respectivement multipliées par

ar*, -*-x, I, X*; il viendra

d'où

(12) a?*J^-l-a?j;rt-4-(a?«— /n«)J,„= o,

équation différentielle linéaire du second ordre à laquelle satisfait la fonction de Bessel Jm-

22o. Bien que la série (4) converge très rapidement pour toutes les valeurs de x, il peut j avoir intérêt à rechercher une valeur approchée de la fonction J^ pour x très grand. Nous avons par la formule de Fourier

P. — II. a

l8 CHAPITRE XV.

OU en posant

sinu = Zj

ffz

/ ri

Supposons x réel, positif et très grand. Vu lieu de faire Fintëgration le long de la droite qui joint le point 5 = — i au point 3 = 1, cVst-à-dire en donnant à z des valeurs réelles, nous pouvons la faire le long d'un autre chemin ayant mêmes extrémités.

Nous choisirons un chemin tel que la partie imaginaire de z soit constamment positive, sauf bien entendu aux deux extrémités 5 = dz I . Dans ces conditions ixz a sa partie réelle négative et très grande, et E'-^= est très petit. Les seules parties du chemin d'intégration qui pourront donner des termes sensibles sont donc les parties voisines des deux extrémités, parce qu'aux extrémités, z devient réel et que la partie réelle de ixz dexient nulle.

Mais près de l'extrémité 5 = 1; nous avons sensiblement

Près de l'extrémité z =^ — 1 ; nous avons sensiblement

Mais il importe de voir quel signe il convient de donner aux radicaux. Nous devons supposer que le signe de y 1 — z^ a été choisi de façon que, pour z réel et compris entre — 1 et -h 1 , le radical soit réel et positif. Nous pouvons supposer d'autre part que le chemin d'intégration aboutit à ses deux extrémités dz i par deux petits segments de droite de longueur s, perpendiculaires à Taxe des quantités réelles. Ce sera d'ailleurs les seules parties de ce chemin que nous conserverons.

L'argument de \/i — 3- sera alors ^ le long du segment aboutis-

sant à 5 = — I, et — -^ le long du segment aboutissant à 3 = 1.

Le long du premier segment nous pourrons prendre arg^^s-f-i = - ,

APPLICATION DES PONCTIONS DIS BB8SRL. I9

et le long du second argy/« — i = -; nous aurons donc

/i — z* = — i^T. ^ z — I » /i — z* = ^2 /i H- «, d'où

(14 ) rJ,„= / E'-«^^H: * . —e / E'^'K ' ,

Mais nous pouvons remplacer les limites supérieures db i -f- et des deux intégrales parTinfini; car nous ajoutons ainsi aux che> mins d'intégration des lignes le long desquelles la partie imaginaire de z est positive et notable de sorte que E'^* est négligeable.

Donc

d'où

Jh y/z-h \ "

enfin

/V / mit ic\

22B. Voyons maintenant comment les transcendantes de Bessel peuvent être employées au développement des coordonnées du mouvement elliptique. Considérons l'exponentielle

où p est un entier; c'est une fonction périodique de u et par conséquent aussi une fonction périodique de /. Elle est donc développable en série de Fourier sous la forme

il s'agit de calculer le coefficient A^ ; la formule de Fourier nous donne

E-"*" dl= ^ rfE-«'' ; dEpi** = ip £/"« du.

On trouve donc en intégrant par parties

ou à cause de Téquation de Kepler

Mais l'intégrale c'est évidemment au facteur 211 près le coefficient de E^'»"^^'" dans le développement de E""*"**""; elle est donc égale à

d'où la formule cherchée

(16) A;„= ^}rn-p{me).

227. Cette démonstration ne s'applique plus pour m = o et d'ailleurs la formule devient illusoire. On a alors

2TrAû= / Epi^dl

■ïrAo= /

2irAo= / Ep'»(i — ecosu)du

Tt Ao = f(EPi^— - E^p-^iUu f E^p-\Uu\ du,

et à o pour toutes les autres valeurs de p.

228. Proposons-nous maintenant de développer suivant les exponentielles E'"*' une fonction périodique quelconque de u

F(a)=2BpE'>«,