Passons maintenant au second cas

2^ a est divisible par E2, mais pas par E|.

Alors nos fonctions dépendront de «'4 (c'est-à-dire de Ta), mais pas de «'3 (c'est-à-dire de T|), et l'équation (8) s'écrira

^ ' at dw^

Comme le second membre ne doit pas avoir de terme constant, et que -T-^ n'en a pas, 8H ne sera autre chose que le terme constant de G; 2H étant ainsi connu, les équations (12) donnent

-dÊ:^^''dE;"^Z^^dÊ;^Z^dÊ:'

Or V ne dépend que de m, v, n'intervient pas et v., est constant; on a donc

d'où

Nous prendrons SB, arbitrairement (en le prenant toutefois nul si

les exposants q de la caractéristique ne sont pas tous pairs). Tout

sera connu, sauf -rr—; nous en tirerons donc cette quantité et par conséquent

puisque Sva est homogène d'ordre q^ — 2 en E^.

Connaissant 8v2=6/i4, nous connaîtrons le second membre de l'équation (8 bis) et par conséquent 8S à une constante près qui est nulle, puisque oS est une fonction impaire.

Cela posé, venons aux équations (5); elles nous donnent

\ aTs a*] aT] Ji^ aTj

i/, p, Z|, Z| sont des fonctions connues, 8B2 a été choisi arbitrairement, on vient de déterminer 8S; nous pourrons donc déterminer sans intégration les deux inconnues restantes 82 et 8Z à l'aide des équations du premier degré (16). Le déterminant de ces équations,

<rL\ dzx 'dz\ <rL\

d^x dzi c/Es d'Zi

ne peut s'annuler, car il se réduit à une constante; on n'aura donc pas, pour résoudre les équations (16), à effectuer de division. Les équations (5) nous donnent ensuite

dès ^n %rr dv

dç

ce qui montre que 883 est égal au terme constant de \] ";/:"• ^^^ équations (12) donnent

dm __ dl^x ^^ û?v 5^^ rfv, dnx * dm

dm * dm, ' jià dm *

Tout étant connu excepté 8B, cela détermine SB.

Venons enfin aux équations (i5). Dans ces équations, T| n'intervenant pas, tout se pusse comme si 8c était nul; 80^=—^ est connu;

SECONDE MÉTHODE. toy

on vient donc de déterminer SS et SB; tout est donc connu, sauf

Sx, 87, 8X, fiY.

Ces quantités se détermineront donc facilement par l'intégration des équations (i5); on démontrerait comme au numéro précédent qu'il ne peut pas s'introduire de termes séculaires.