Passons au troisième cas

3" a est divisible par E| et par Ej. On peut alors éviter une intégration.

Les équations (5) nous donnent

dE,

car oTo, Xq, 2|, Z| ne dépendent pas de E| ; si alors SS et v sont homogènes de degrés q^ et A* en Ei, on en lire

ce qui détermine SS.

On a ensuite

rffiS ^ cfZj ^rj dzi ^ dv

■5Ë7 = ^'sr, ~®^5k; "^2é"^'

aT] axs aTs ^éU az^

ce qui détermine S5 et 5Z, la constante 862 pouvant être choisie arbitrairement. Puis

ce qui montre que SB3 et SB| sont égaux aux termes constants de

dv %r\ dv

V^ cfv %r\ av

Il reste à déterminer SB et S^, d'où dépend 8/2 ; pour cela nous nous servirons des équations (12), qui nous donnent

dpi di

£,. ' dEi j;^ dEi ^.^^dEt

I08 CIIAPITRK XXIX.

Dans le coefficient de SB, nous pouvons remplacer les v par leurs valeurs approchées, v = /i| — /i^, V|=:CoV, ...; dans ces conditions, les V ne dépendent pas de E| et il reste

et Ton aurait de même

et l'on en déduit

g, m = B,(y,- 2) evi-h^Ar'Qy,

q étant supposé homogène de degrés k ei k^ tant en E, qu'en Ej. De ces deux équations on tirerait 5H et 8v2 (d'où 5g).

Le procédé deviendrait illusoire pour q^ = o, mais dans ce cas l'argument T2 et par conséquent 8v2 n'interviennent pas.

On trouve ensuite

dm dm dm Aià dm ^M dm

d'où l'on tire SB.

On déterminera enfin Sj7, S^, SX, 8 Y par le moyen des équations (i5); dans les seconds membres tout est connu, à l'exception de la constante Se. On disposera de celte constante de façon à faire disparaître les termes séculaires, qui celte fois ne sont pas nuls d'eux-mêmes. La détermination de toutes nos inconnues est donc achevée.

H68. Cette méthode a été exposée, mais sous une forme et avec des notations différentes, dans le Tome XVII du Bulletin astronomique, p. 87 et 167. Quand on veut l'expression analytique des coefficients, elle présente l'avantage de rendre plus rapide le travail de substitution (puisqu'on n'a qu'à faire les substitutions dans 0',, au lieu de les faire dans les trois dérivées de cette fonction) et d'amener à l'intégration d'un système du deuxième ordre au lieu du quatrième. Elle est susceptible de plusieurs variantes *

sccondf: méthode. 109

1" Nous pouvons employer un artifice analogue à celui des jj.M 327 et 347, en envisageant un problème plus général que le problème proposé. Nous avons

le dernier terme — n\% représentant l'ensemble des termes contenant en facteur a ou E3. Prenons la formule plus générale

, SX' mi-\- nii ^

— «î "^7 3A* s^; /*îe,

qui se réduit à la première pour li— n^. Au n" 347, nous avons posé

nous poserons cette fois, ce qui revient au même,

Nous appliquerons ensuite la méthode en développant, non plus seulement suivant les puissances de a et des E, mais suivant celles de p, de a et des E, de telle façon que x^^ par exemple, représente Tensemble des termes indépendants de a, des E cl de p. Le nombre des termes à calculer se trouve un peu augmenté; en revanche, a:©, j'©» ^o» ^oî ^m ^i se réduisent à un seul terme en cosT, sinT, COST2 ou sinTj.

2" On pourrait, au contraire, achever d*abord le développement par rapport à a en regardant les E comme nuls, puis développer ensuite par rapport aux E, en regardant x^ par exemple comme l'ensemble des termes de degré zéro par rapport aux E seulement, mais de degré quelconque par rapport à a. Ou bien développer d'abord par rapport à E{ et E2, et ensuite par rapport à a et E3. Cela entraîne dans la méthode quelques petites modifications sur lesquelles nous n'insisterons pas.

3" Au lieu de prendre les coordonnées rectangulaires x^ y^ z et leurs variables conjuguées X, Y, Z, on peut prendre les coordonnées polaires et leurs variables conjuguées. La méthode fondée uniquement sur les propriétés des équations canoniques restera applicable, sauf quelques modifications de détail.

Théorèmes d^Adams.