ACTION DK8 PLANETES. II

Or on voit que F^ se compose de deux parties, Tune dépendant seulement des coordonnées du Soleil et l'autre de celles de la planète, et que F^ n'est autre chose que la fonction m\ <^{ du n^'SlS (Chap. XXIV). D'où cette conséquence que, si l'on se borne aux équations (i bis) et (2 bis)^ le mouvement du Soleil B par rapport au point D et celui de la planète P par rapport au point G sont des mouvements képlériens.

D'autre part, le mouvement de la Lune par rapport à la Terre est celui qui a été étudié dans les Chapitres XXV à XXIX. Nous supposerons donc qu'on a complètement déterminé.ce mouvement en appliquant les procédés exposés dans ces Chapitres.

Les quantités

^h fi (t = 4,5,6, 10, II, 12)

s'exprimeront donc en fonctions du temps et des douze éléments (canoniques ou elliptiques, cf. n" 08) de l'orbite de B autour de D et de celle de P autour de G, ou bien, si Ton préfère, en fonctions des deux longitudes moyennes de B dans son mouvement képlérien autour de D et de P dans son mouvement képlérien autour de G, et des dix autres éléments (canoniques ou elliptiques) des deux orbites.

Les quantités

pourront s'exprimer en fonctions du temps, des six éléments de l'orbite elliptique de B autour de D et de six autres constantes d'intégration, ou bien encore en fonctions : i" de la longitude moyenne du Soleil, c'est-à-dire de l'argument Tj ; a** des cinq autres éléments de l'orbite elliptique du Soleil; 3** des trois arguments T, Ti, Ta; 4° des trois constantes Ei, Ej, m (ou de trois fonctions quelconques de ces trois constantes et des cinq éléments de l'orbite solaire).

37o. .Vinsi nos 18 variables x\^y'i se trouvent ex primées en fonctions de 5 arguments variant proportionnellement au temps, qui sont les deux longitudes moyennes de B et de P, et les trois arguments t, T|, T2, et de i3 constantes d'intégration.

Quand on a intégré les équations (i bis) et (3 6w), on connaît

If 8 CBAPITRB XXX.

les relations qui relient les i8 variables, ces 5 arguments et ces i3 constantes.

Supposons maintenant que nous poussions plus loin l'approximation et que nous revenions aux équations (i) et (2). Nous pourrons alors définir 18 variables nouvelles qui seraient liées aux 18 variables anciennes xl eXy* par les mêmes relations que Tétaient nos 5 arguments et nos i3 constantes quand nous nous contentions des équations (i bis) et (2 bis). Ces 18 variables pourront être regardées comme les éléments oscillateurs des irois orbites de B autour de D, de P autour de G, de A autour de C. Seulement ces éléments osculateurs ne seront plus, les uns des fonctions linéaires du temps, les autres des constantes; tout ce que nous pouvons dire, c'est qu'à cause de la petitesse des termes complémentaires U5 et Uc, les uns varieront à peu près proportionnellement au temps, et les autres très lentement.

Opérant tout à fait comme au n'*79(t. I, Chap. IV), nous allons faire un changement de variables en prenant pour variables nouvelles ces 18 éléments osculateurs; mais, pour l'application de la méthode de Lagrange, il convient de choisir ces variables (que nous n'avons pas encore complètement définies) de telle façon que la forme canonique des équations ne soit pas altérée.

1° Pour les 6 éléments du Soleil, nous choisirons les éléments canoniques

définis au n° 58. La longitude moyenne X n'est autre chose que

notre argument Tj; d'ailleurs y/Sî + ^î sera de l'ordre de E,, et pourrait jouer le même rôle que E3 dans l'analyse des Chapitres précédents. Dans ces conditions,

(3) x'.dxl-hx'.dy^-^x'.dy^-ldL^^rid^

est une différentielle exacte, ce qui est la condition pour que les équations conservent la forme canonique.

2° Pour les 6 éléments de la planète, nous choisirons également les éléments canoniques

L, 5l, ^tt X, TJi, TJi

du n? 58. Mais d'ailleurs ces éléments ne joueront aucun rôle dans