ACTION DES PLANÈTES. II
l^analjse qui va suivre; et en ce qui les concerne, les équations (i) nous donneraient simplement les perturbations du mouvement de la planète par le système Terre-Lune supposé réduit à un point mathématique; ces perturbations ont été déterminées dans le Tome I.
3** Pour les 6 éléments de la Lune, nous prendrons les 3 arguments T, T|, Ta et les 3 constantes B, B|, B2 du Chapitre précédent. Si nous rapprochons les formules
Va? d\ — dQ' = V B rfx— E,* rfx,,
des n°« 318, 320 (Chap. XXIV) et 360 (Chap. XXIX), nous pourrons écrire
Toutes ces formules supposent que les éléments du Soleil, et en particulier Es, sont regardés comme des constantes. Si nous supposons de plus rfT3= o, nous verrons que l'expression
( 4 ) x\ dy^ -+- x; ûfy, 4- x', d>^ ; - m '1 ( B é/ X + B , rfx , -t- B , £f X, )
e.st une différentielle exacte, en supposant que les six éléments solaires (en y comprenant E3 et T3) soient regardés comme des constantes.
Il vaudra mieux d'ailleurs écrire la relation précédente sous la forme suivante (en divisant par m'J,
dQ' =y.x' dy^\ B rfx -h E, * é/x,— (X^— \x) dzt,
ou, mieux encore, nous remarquerons que T3 ne joue pas le même rôle que les autres arguments t et nous mettrons en évidence le
l'IO CHAPITUI-: x\x.
terme en d'z^ en posant
et en écrivant par conséquent dans les formules précédentes
au Heu de^BrfT, ce qui donne
é/û' = Va?'dry- V B dz — rfT,(B3- E,* - X^-+- Yx).
Nous rappellerons ensuite la formule
du n" 360, et nous poserons
Nous aurons alors
(5) dQ'=:^x'dy^^Bd-z-^(G-^i)^;
cette formule suppose que tous les éléments solaires, sauf T3, sont des constantes. Si nous regardons de plus T3 comme une constante, nous aurons l'expression
(ibis) ^x'^y-^Bû^T,
qui sera une différentielle exacte.
376. Nous n'avons pas à revenir sur ce qui concerne les équations (1). On intègre d'abord les équations approchées (i bis)^ qui définissent le mouvement képlérien de la planète par rapport au point G, et du Soleil par rapport au point D; on en déduira l'intégrale des équations exactes (i) parla méthode de la variation des constantes. Ce n'est pas autre chose que l'étude des perturbations mutuelles de la planète et du système Terre-Lune (supposé concentré en son centre de gravité D), étude qui a été faite complètement dans le Tome 1. Passons donc aux équations (2), que nous
ACTION DBS PLANETES. 121
écrirons
/fis fffi rn\ dy'i m^
^^ dt " dy) ' rf/ "" dr'i '
Nous allons prendre pour variables nouvelles les éléments canoniques solaires elles six variables t, T|, T2, B, B|, B^. Les coordonnées x\ les j^ etû" vont être des fonctions de ces six variables T et B, de T3, et des cinq autres éléments solaires que j'appellerai les Y*.
La formule (5) suppose que ces y< sont constants; si on les regarde comme variables, cette formule doit être complétée et l'on doit écrire
(Jhis) dQ'=^x'dy^^Bd^-(G-^r)'^-h^Tidy,
en posant
d^a Zd d-^i
Pour savoir ce que vont devenir les équations (6) par ce changement de variables, il faut se reporter au théorème du n" 12. Dans ce numéro on envisage un système d'équations canoniques où F dépend explicitement du temps; on fait un changement de variables, les variables nouvelles x' et )-' étant fonctions des variables anciennes x ely et du temps t. On suppose que
^x'dy—^xdy
soit une différentielle exacte, en supposant dt = o, et que
y^x'dy^\xdy^\Vdt
soit une dillerenticlle exacte pourrf^ ^o; dans ce cas les équations conservent la forme canonique, mais la fonction F doit être remplacée par F — W.
Nous pouvons appliquer ici ce théorème, car, les équations (i) étant intégrées, les éléments y, et t, peuvent être regardés comme des fonctions connues du tjinps. Nous pouvons donc écrire
(5 ter) dQ' ^^x dy —Sb d-z -h W dt,
laa CHAPITRE XXX.
en posant
et les équations (6) deviendront
en posant
dB
dt
d4>i dt'
dz dt ""
dB
II est bon de remarquer que cette analyse ne suppose nullement qu'on ait choisi pour les y/ les éléments canoniques du Soleil, qu'on peut tout aussi bien choisir des fonctions quelconques de CCS six éléments canoniques et en particulier les éléments elliptiques.
377. Nous devons parmi les éléments solaires faire une distinction; les coordonnées ^, y^ 5, telles qu'elles ont été calculées dans les Chapitres précédents, dépendent de Tj, anomalie moyenne du Soleil, ainsi que de l'excentricité solaire Ej, et du grand axe de l'orbile solaire inversement proportionnel à la parallaxe a. Elles ne dépendent pas des trois autres éléments qui sont la longitude du périhélie terrestre et les angles qui définissent l'orientation de l'écliptique mobile par rapport aux axes fixes. Il en est de même de X, Y, Z et û"; ces fonctions sont également indépendantes de ces trois derniers éléments, que j'appellerai les éléments d'orientation.
Nous avons écrit plus haut
"^x'dy=:"^xd\-^(Xy^Yx)d'Z,,
mais en supposant d^i= o. En regardant les y/ comme des variables il convient d'écrire
^x'dy = "^xd\-^(Xy^Yx)dxt-^"^X(d^i.
d'où
.^d d-^i Atà d-(i
ACTION DES PLANBTBS. 123
Si Yi' est un élément d'orientation, on aura
et par conséquent
d^i Aa d^t '
Qu'est-ce maintenant que A/? Si les trois éléments d'orientation yi, Ya, Y3 subissent trois accroissements û^Yu ^^Ta» ^Y^' ^^"^ se passera comme si les axes mobiles des .r, y^ z subissaient trois rotations infiniment petites, par rapport aux axes fixes des x\^ x'^, x'^. Si l'on s'arrange pour que les axes mobiles coïncident à l'origine des temps avec les axes fixes, ces trois rotations s'opéreront autour des trois axes et l'on aura
378. Si nous supposons que la masse mio soit nulle, les Yi se réduisent à des constantes ainsi que -7^9 et l'on a
dt=''^ dr = "'^ w = *i-G.
On a d'autre part
d'où finalement
G est fonction simplement des B et des Yi ; les équations canoniques se réduisent à
dB dG ^ ^ ^G
dt " di "^^ dt ""'"" d^i
Nous pourrons donc écrire
— é/G = V rfB -4- V| rfBj -h V, rfB,.
1*24 CHAPXTRK XXX.
en regardant les y comme des constantes. Si nous rapprochons de la formule du n^ 363
û?H = B û?v -4- Bi rfv, -H B| d^u
nous en tirerons
H — G = Bv-+-BiVi-h B,v,,
plus une fonction arbitraire des y/ que nous pouvons supposer nulle. Nous aurions pu déduire celte môme formule de la formule (g) d.u n" 363 qui peut s'écrire
H = Bv -h BiV|-f- Bjv,-!- BaVa-H Kvj
et de la défînition de G au n® 373 qui peut s'écrire
G = B,v,-+-Kvj.
dft 379. Supposons maintenant que /?i,o ne soit pas nul; alors -^-
ne sera plus nul, mais très petit; -^ ne sera plus égal à une constante, mais nous pourrons poser
I d-zji fit dt
e étant très petit. Nous aurons d'autre part
F'=m;<ï>i-hUe, d'où enfin
Nous pouvons poser encore
G = GoH-ôG,
Go étant ce que devient G quand on y remplace les y/ par leurs valeurs initiales et étant, en conséquence, fonction seulement de B, B| et B2, et 5G étant très petit, puis écrire
d'où
ce qui nous donne finalement les équations
dR dK
dr: dO dK
dt '^ d'.'
dl ~" c^B d^'
ACTION DK8 PIANBTES. 1^5
R étant très petit; nous pouvons dans les dérivées de R remplacer les variables par leurs valeurs approchées ; R et ses dérivées pourront alors être regardées comme des fonctions connues du temps. Ce seront des fonctions périodiques par rapport aux cinq arguments
•C, ti, Tj, T|, T4,
74 étant l'anomalie moyenne de la planète, lesquels arguments, réduits à leurs valeurs approchées, sont des fonctions linéaires du temps. Les dérivées de R se présenteront donc sous la forme
2Acos(a£-f.p),
les A, les a et les ^ étant des constantes.
On aura alors les B par de simples quadratures; les B étant déterminés et les Y l'ayant été préalablement à l'aide des équations (i),
il en sera de même des dérivées . qui ne dépendent que des B et
des y; on pourra avoir les t par quadrature. C'est absolument ce que nous avons fait dans les Chapitres IV et V.
380. Il y a une autre manière de comprendre l'application de la méthode de la variation des constantes. Si mio était nul, nous aurions certaines relations entre nos variables x'^^ y] (/ = i , 2, 3), les éléments lunaires B et t et les éléments solaires Tj et y*; soient
ces relations. Si mio n'est pas nul, de sorte que les éléments de l'orbite solaire soient variables, nous pouvons conserver les relations (9) comme définitions des éléments osculateurs B et t; c'est ce que nous avons fait jusqu'ici, mais on peut aussi opérer autrement.
Soient y" les valeurs initiales des y|-; soit
n^ et Cq étant les valeurs initiales de n^ et de T3 ; remplaçons alors les équations (9) par les suivantes :
(9^") 5=/(B,mY?,xS).
Ces six équations (9 bis) définiront les six éléments osculateurs B, B<, B^, t, T|, Tj. Les B et les t définis par les équations (9 bis) ne sont pas les mêmes que les B et les t définis par les équations (9), mais ils en diffèrent fort peu.
Remarquons que, les y?» ^l^ ^0 étant des constantes, les éléments solaires variables n'interviennent pas dans la nouvelle définition.
Que devient Téquation (5 bis)
On doit y remplacer les y/, n^ et Tj par y", /ij et tJ ; on a alors
puisque les yj^ et Eq sont des constantes, et il reste
rfû'= y ar'if^- y B rfx - (Go- *î) rf/.
De plus, comme $1 dépend des constantes solaires, il faut remplacer ^1 (qui est une fonction des x\ des y y de Tj et des y,) par ce que devient cette fonction quand on y remplace y; et t» par y* et tJ ; je désigne par ^J le résultat de cette substitution, d*où
W = *? — Go.
Nous aurons alors les équations
(7 bis)
dB rf*, dz Mt
dt "'dz' di "SB '
en posant
*, = Go-H R, R = — • 4- (*i — *î ).
Remarquons que G© ne dépend que des B. Nous retombons donc sur des équations de la forme (8) qui se traitent de la même façon.
M. Newcomb (Investigation of inequalities in the motion of t/ie Moon produced by the action of the plane ts, Washington, Carnegie Institution, juin 1907) emploie un procédé mixte; il
ACTION DES PLANÈTES. l^J
emploie, en effet, le procédé du n® 379 pour les éléments d'orientation et celui du n" 380 pour les autres éléments.
381. En général, les termes provenant de Faction des planètes sonl fort petits et ne deviennent sensibles que par l'effet des petits diviseurs si la période est très longue. Ils ne seront le plus souvent appréciables que dans le cas d'une double intégration, qui introduit au dénominateur le carré du petit diviseur. Nous aurons donc la partie la plus importante d'un terme à longue période en nous bornant à l'intégration des équations suivantes :
dB dH dz dG
dt '^ dz' di "5b'
Nous négligeons ainsi dans le second membre de la seconde équa-
tion le terme — ^ qui ne subirait qu'une simple intégration. Si
nous appelons SB, Sy, ût les inégalités dues à un terme donné SR de la fonction perturbatrice, et si g est ce que devient G quand on j remplace les B et les y par leurs valeurs initiales, nous pourrons encore écrire
382. Nous devons distinguer V action directe et V action indirecte d'une planète. Si l'action directe existait seule, tout se passerait comme si, le Soleil B et la planète P assujettis à décrire des orbites képlériennes, l'un autour de D, l'autre autour de G, la Terre et la Lune étaient soumises à l'attraction de ces deux astres mobiles; si l'action indirecte existait seule, tout se passerait comme si, la planète n'existant pas, le Soleil B était assujetti à décrire, par rapport à D, l'orbite troublée due à l'action de la planète.
Dans le cas des équations du n" 380, l'action directe provient du terme — f et l'action indirecte du terme ^i — ^? dans ce cas, dans les équations (lo), on doit remplacer G par G© et les dérivées .^ , sont nulles, car Go ne dépend que des B .
Dans le cas du n" 379, on obtiendra l'action directe à l'aide des équations (8), en regardant les y/ et ~^ comme des constantes
128 CHAPITRB XXX.
et en réduisant R au terme —4 • On obtiendra l'action indirecte, en
mj
définissant les variations des y/ et de -^ par le moyen des équations (i) et en réduisant R aux termes
Lorsque la planète troublante est très voisine du Soleil, l'action directe et l'action indirecte sont sensiblement égales et de signes contraires.
En effet, soit G| le centre de gravité de P et B. Dans le cas qui nous occupe, le point G| décrira une orbite sensiblement képlérienne autour de D, analogue à celle que décrirait le point B si la planète n'existait pas, mais dont le grand axe, pour un même moyen mouvement^ se trouve multiplié par
Si à la limite nous négligeons la distance PB, tout se passe pour l'action directe comme si la ma^se du Soleil était augmentée de m 10 et, en ce qui concerne l'action indirecte, comme si la distance BD était multipliée par
il y a donc compensation en ce qui concerne les inégalités correspondantes (c'est-à-dire celles qui ne dépendent pas de l'angle PG,D).
Il y a compensation aussi pour les inégalités proportionnelles à la distance PB (et qui contiennent cet angle PG| D comme argument), car l'écart BG, multiplié par nit est égal à l'écart PG, multiplié par mio. La compensation n'existe plus pour les inégalités proportionnelles aux puissances supérieures de PB, mais ces inégalités sont beaucoup plus faibles.
383. Nous devons distinguer deux sortes d'inégalités planétaires périodiques. Celles de la première sorte sont celles dont l'argument ne dépend que de t, et de T4. Dans ce cas on a, en se reporUnt
