APPLICATION DES FONCTIONS DE BESSEL

ce qui montre que u (et en général toute fonction de ii) cesse d'être une l'onction uniforme de e et de / pour

En combinant l'écjuation (3o) avec celle de Kepler, on trouve

(3i) w — tang w = /.

Les équations (3o) et (3i) définissent e et sa valeur absolue ] e \ en fonction de / et la plus petite des déterminations de cette valeur absolue est <s(l).

Remarquons que f (^) est le même en général pour toute fonc-

dF tion F(w); il n'j aurait d'exception que si la dérivée y- s'annulait

précisément pour la valeur de u qui satisfait à l'équation (3i). Cela nous permettra de raisonner sur une fonction F(m) quelconque, il nous suffira que la condition d'exception ne soit pas remplie.

236. Il s'agit maintenant de déterminer la valeur de / pour laquelle cp(/) atteint son minimum M. A cet effet je reprends la formule (28) et j'obtiens en la ditlerentiant par rapport à /

^ i — ecosu ^ '^l m — p -h pi \ % /

Cette fonction ne se trouve pas dans le cas d'exception signalé à la fin du numéro précédent, car, quand on a

\ — e ces u = o,

sa dérivée ne s'annule pas et devient au contraire infinie.

Les équations (3o) et (3i) ne changent pas quand on y change ^i, / et <? en M H- Ti, / + tc, — e; il suit de là que les valeurs critiques de e qui correspondent à / et à / + tt ont même valeur absolue o(/) =cs(/-h'7r), mais sont égales et de signe contraire.

Supposons donc que pour une valeur réelle /, de / et pour une valeur quelconque de e que j'appelle <?, la série (32) diverge, il en sera de même quand nous changerons l^ en /i + tc, et il en sera encore de même de la somme

3o CHAPITRE XV.

Considérons, en effet, $(/) comme une fonction de e el de /et faisons-y 1^=. l^\ cette fonction présentera un point singulier pour

e = e', |e' I = cp(/i)< ei

et n'en aura pas pour e = — e' ; car, si l'on change e en — e dans les équations (3o) et (3i), / se change en -n ziz / qui est différent de l

sauf pour / =i - •

La fonction <ï>(/, + ?:) présentera de même un point singulier pour e = — e' et n'en aura pas pour e = e' et la somme

présentera deux points singuliers e = e', e = — e', et, ces points singuliers étant distincts, les singularités correspondantes ne pourront se détruire. Donc cette somme divergera pour e 3= e,. Je puis donc écrire

OÙ l'on ne donne à m que des valeurs paires.

Tl résulte de ce qui précède que la série ^(/i, 6) ) diverge. Passons de cette série à la suivante :

ly , +i>i| =* +<i)

où l'on remplace l'anomalie moyenne par - et l'excentricité par i

multiplié par la valeur absolue de e, qui est essentiellement réelle et positive.

Si dans le dernier membre de l'équation (33) nous faisons cette substitution, la valeur absolue de chaque terme demeurera la même; mais tous les termes vont devenir positifs ou tout au moins avoir même argument (en supposant que le nombre/? soit pair^ ce que nous pouvons faire). En effet, le dénominateur est essentiellement positif, l'argument de ( — i)P est ■^~\ celui de

est nul si m et p sont pairs comme nous le supposons; celui de

APPLICATION DKS FONCTIONS [)1<: HESSEL. 3l

sera

celui de E'"''^ sera

L'argument résultant sera donc