APPLICATION DES FONCTIONS DE BESSKL
et de la mettre ainsi sous la forme
Les principes des deux numéros précédents nous donneront
(17) A„i=^~^pJm-p{me), pour m^o et
(18) Ao=Bo-^(B,+ B,),
pour m = o.
Inutile d'ajouter qu'en partant de l'identité
en y remplaçant les trois exponentielles par leurs développements et en identifiant les deux développements, on arrive à un grand nombre de relations où le premier membre est une fonction de Bessel et le second membre une série dont tous les termes sont des produits de fonctioas de Bessel.
229. Grâce aux formules (l'j) et (18) du numéro précédent, le développement d'une fonction quelconque de u suivant les puissances de E"^ se déduit aisément du développement suivant les puissances de E'"; or la plupart des fonctions intéressantes relatives au mouvement elliptique s'expriment très simplement à l'aide de E'".
Supposons d'abord que nous prenions pour plan des x^^r-y le plan de l'orbite et pour axe des r, le grand axe, nous aurons
Xi = a( ces u — e)= — aen E'« -\ E-'",
x=i=^ a\J \ — e^ siii « = — ,\J \ — e- ( E'" — E^'"), Xz = o, /' = \/ x\ ^ x\ = a( i — ecosu).
L'application des formules (1^) et (iS) nous donne
— Va. e>"''- ^— "Va' Rmii
avec
Les formules de récurrence (7) 61(9) nous permettent d'écrire
A/„= — y,„{me),
Kn=^J^hn{me).
Nous trouverions de même
v^ y,„( me) ,, ., ^ m
aer ^= a -\ — ae
Sous le signe ^, l'indice J7i prend toutes les valeurs entières
positives et négatives, à l'exception de la valeur o. Cette formule se déduit immédiatement de la relation
r = a(i — e-) — exi.
Nous pourrions écrire également
d'où l'on déduirait par les formules (17) et (18) les développements de .a:, rb ix-2.
1230. Reportons-nous maintenant au n" 63 et aux quantités que nous y avons appelées X et Y; nous voyons que l'on aura
X -H i'Y = (a;, -h ix.)E-'^, et par conséquent, par application des formules (17) et (ï8),
l x + .-Y=-^E-'V H«(,-^v/7iri^)yli^i^ili!i^E'-(-i)'
] 2 9. ■ ^ lin
^"^ i ^(,/rr^)yJ i^L±iiz!!îiE'-i--)'.
1 2 .M ini
APPLICATION DKS PONCTIONS DE BESSEL. iS
On en déduirait le développement de X — iY en changeant i en — i, et par conséquent les développements de X et de Y.
Supposons maintenant que nous rapportions notre système à des axes c|uelconques : les quantités auxiliaires X et Y seront toujours définies comme au n" 63 et leur développement en fonction des variables a, e el l ne changera pas. Quant aux coordonnées rectangulaires rapportées aux nouveaux axes, elles seront liées à X et Y par les équations (12) du n° 63, t. 1, p. 79.
Ces formules peuvent aussi s'écrire
( xi -H ia^2 = cossi (X + i Y) E'^-H- sin2 ^-{X — t Y) E -'(X-26)^ / ccs = partie imag. de ^^ (X -h i Y)E'(>^-9'.
J'ai remplacé la lettre ; des formules du n° 63, qui représentait l'inclinaison, par la lettre J, afin d'éviter toute confusion avec i = y/ — i ; on obtiendrait l'expression de ^i — ixo en changeant i en — i.
En rapprochant les formules (2i) et (22) on trouve
4 in
a sm- E"
; ( îl J m- 1 — ^2 J /«+! )
J'ai écrit pour abréger s, et s^ au lieu de i + ^i — e- et de I — y/i — e^. L'argument des fonctions de Bessei ^,n^ et Jw.^i est égal à me.
On trouve de même
^,. asinJr 3 e . 'V' sin( m/ -t- .?) "1
(23 6i5) .2-3= Sin^- -h > ^— (îlJ/«-l ■-ïiin+\)\-
231. Les développements obtenus par la méthode du n° 228 ne sont pas les seuls c[ue l'on puisse imaginer. Supposons par
M CHAPITRK XV.
exemple que l'on veuille développer
du r
dl I — e cos u
Oh pourrail évidemment développer en série de Fourier
^ ^' I — e cos H
et appliquer ensuite la méthode du n° 228; mais il y a quelque
chose de beaucoup plus simple.
INous avons
u ^ l -\- e sin a,
ou, en se reportant au développement de x.2 au n*^ 229 et à la formule (20),
u= l^ -^ V J,„ ( me ) E"»/,
OU, en différentiant,
(24) -^ =i^^i,„(me)E"'i'.
Ce développement nous donne en même temps celui de
/• ai i — e cos m)
Plus généralement, cela nous donne le moyen de développer les expressions de la forme
I — e cos a
Si, en eftet,
l'on a
F{u)=^C,Eip-,
on aura
F(u) d y C„ — e cos u dl jLà il'
On développera alors \ -vj E'''" en série procédant suivant les
exponentielles E'""^ et l'on dilFérentiera par rapport à /.
Cette méthode peut être plus avantageuse que celle du n" 228 si le développement de F(t^) suivant les exponentielles E'/'" est
plus simple que celui de -y si par exemple il se réduit
' ' ^ 1 — e cos a ^ '
APPLICATION DES FONCTIONS DE BESSEL. l5
à un nombre iini de termes. En particulier nous trou\erons les développements de — —, — —i expressions qui sont liées a cos(^ et à sinr par des relations linéaires (c est l'anomalie vraie).
232. Nous pourrions aussi différentier par rapport à e; il vient
du
(I — e ces u ) —r- = sin u.
de
Du développement d'une fonction périodique quelconque *ï^(w) nous déduirons donc immédiatement celui de
sinu -^— du
I — e ces u
ce qui pourra être utile si le développement de -y- est plus simple
que celui de ûxvu-j—- En particulier on peut calculer de cette façon
qui ne diffère de sint» que par un facteur constant.
Mais nous pouvons également différentier deux ou plusieurs fois par rapport à /, ou au contraire intégrer par rapport à /.
Par exemple les équations du mouvement képlérien nous donnent
d'^xi a^'Xi
^-^ -dF=-—-
Or nous connaissons les développements des coordonnées .r/, où le coefficient de chaque terme ne dépend cjue d'un nombre fini de fonctions de Bessel; l'écpiation (20) nous donnera donc celui
de ^j chacjue terme ne dépendant que d'un nombre fini de fonctions de Bessel. En particulier, si nous prenons les axes du n"l2!29, nous connaîtrons les développements de
x^ cost^ x-i sin V
V étant l'anomalie vraie.
26 CHAPITUE XV.
Si nous multiplions chacune des équations (20) par Xi et que nous ajoutions, nous trouverons
Gomme le second terme du premier membre de (26) est une fonction linéaire de - en vertu de l'équation des forces vives,
l'équation (26) nous apprend qu'il j a une relation linéaire
1 f/2 ,.2 entre - et —rnr-
r ai- Or l'équation (24) nous donne le développement de -; nous
d- rpossédons donc celui de ..., > d'où, par une double intégration,
celui de /•-. Nous avons donc les développements de r, - et r^.
L'équation de l'ellipse en coordonnées polaires nous donne
a(\ — e-) e cosf = I,
er^ cosf = a{i — e-) r — r^.
Des développements de -> r et r- nous déduirons donc cevix
de cosi^' et r-cost». Nous avions d'ailleurs expliqué plus haut la façon de développer cost'.
Tous les développements dont il vient d'être question sont tels que chaque terme ne dépend que d'un nombre fini des fonctions de Bessel. Inutile d'ajouter que, par l'emploi des relations (7), (9) et (12), on peut s'arranger pour que chaque terme ne contienne
plus que
J,„(me) et J',„(/ne).
233. Nous pourrions nous proposer de développer les coordonnées en fonction des éléments canoniques
Si nous nous reportons aux formules (28) et (28 bis) nous verrons qu'il suffit pour cela de développer les exponentielles E'"'^, les expressions
( 27 ) a cos2 - , e"' E±''«(-?+e), VAns- - E-^/ô^ tang - e-'^
APPLICATION DES FONCTIONS DE BlïSSEL. 27
et enfin la fonction
T,- ^l'^iii—i -aJ/zî+i
Les exponentielles E'"'^ sont directement exprimées par les éléments canoniques, les expressions (27) se réduisent respectivement à
^ — Pi ^ •-'- L — '2 Pi — p2 y/.,, L — ap, — 02
Ju "
en faisant abstraction de facteurs constants.
Quant à K„i il est développable suivant les puissances croissantes de
Pi /Pi
et le développement se déduit aisément de celui des fonctions de Bessel. Je n'insisterai pas davantage sur ces points, me bornant à renvoyer aux n°^ 65 à 69 du Tome 1"'.
234. Nous observerons maintenant que si e est très petit le premier terme de chaque fonction de Bessel sera plus considérable que tous les autres. Nous pourrons nous borner alors à ce terme si nous nous plaçons au point de vue du n° 216. En partant des formules (16) et remplaçant chaque fonction de Bessel par son développement, nous trouvons
^ m <^\ m — p ^ <^l \ 7. / et en réduisant chaque fonction de Bessel à son premier terme
p / me\"^-i' Ei"^' '^ p I ine\P-"^ (— i)i'
(,9) yp rneyn-'^J^^yp •'^ ^ m\ 2 J ni — p\ ^ ni
Sous le premier signe / on doit donner à m toutes les valeurs
entières telles que m — p soit positif ou nul, et sous le second
signe 2 toutes les valeurs telles que m — p soit négatif.
Mais nous devons observer c[ue l'approximation relative avec lacjuelle chaque fonction de Bessel est ainsi représentée est d'au-
tant plus faible que l'ordre de cette fonction est plus élevé. Et en efiet le rapport du second terme au premier s'écrit (m — p étant positif, par exemple)
Il est très petit si e est très petit et m fini ; mais, quel que soit e, il croît indéfiniment avec m. Pour les termes d'ordre un peu élevé, on obtiendrait une bien meilleure approximation en remplaçant les fonctions de Bessel par leur valeur approchée du n" 225.
23o. Le développement (28) et les développements analogues procèdent suivant les puissances de e et les exponentielles E""^. Si nous les ordonnons d'abord suivant les exponentielles E'""^, le coefficient de chaque terme, étant une fonction de Bessel, pourra être développé suivant les puissances de e en une série toujours convergente; de plus, dès qu'on aura calculé les coefficients des difïerents termes de la série de Fourier, cette série elle-même sera toujours convergente.
Avec cette façon d'ordonner les termes, la convergence est donc assurée, mais il n'en est plus de même si l'on ordonne d'abord suivant les puissances de e, le coefficient de chaque terme étant lui-même une fonction de /. JNous sommes donc amenés à nous poser la question suivante :
Nous avons une fonction quelconque de w, dépendant par conséquent de e et de /, nous la développons selon les puissances de e ; quel est le rajon de convergence de la série, c'est-à-dire la valeur maximum de \e\ pour laquelle la série converge? Cette valeur dépend évidemment de / et je puis la désigner par o(/). Si alors M est la plus petite valeur de îo(/), quand / prend toutes les valeurs réelles possibles, la convergence de la série sera assurée tant que e ne surpassera pas M.
Pour calculer cp(/) et M, nous allons appliquer le théorème de Cauchy. Pour que la série cesse d'être convergente, il faut et il suffit que la fonction cesse d'être holomorphe. Or nous avons
/ = M — e sin a,
d'où
du{i — e cos a ) = dl -\- sin u de,
