APPLICATION DKS FONCTIONS DE BESSEL

imaginaires conjuguées, leur produit sera essentiellement positif, de sorte qu'il restera

Cela ne peut avoir lieu que si s- est réel. Si e^ est réel positif, £ est réel. Mais les racines réelles ne sauraient convenir à la question, car l'équation (3o) conduirait à une valeur de e plus grande que I .

Si i- est réel négatif, s est purement imaginaire. 11 s'agit donc de rechercher la plus petite racine purement imaginaire de l'équation (34 bis) ou, ce qui revient au même, en changeant s en « £, la plus petite racine réelle de

on en déduira la valeur de M par la formule

On trouve ainsi

ce qui prouve que nos séries convergent toutes les fois que l'excentricité est inférieure à Ojôôa';^; l'équation (36) n'a d'ailleurs qu'une seule racine positive.

238. Il s'agit maintenant de passer au développement de la fonction perturbatrice elle-même et je voudrais exposer d'abord quelques considérations générales sur la façon dont se pose ce problème.

Au n° 212 nous avons rappelé sous C|uelles formes diverses se présente cette fonction. Nous devons dabord nous occuper du développement de l'expression (5) du n° 212

cest-à-dire de ce qu'on appelle la partie principale de la fonction perturbatrice: c'est le problème le plus difficile, et. une fois qu'il sera résolu, le développement des autres parties de la fonction perturbatrice s'en déduira presque immédiatement. Supposons, en effet, qu'on ait développé cette expression (5) en fonction des éléments elliptiques osculateurs de la première planète

a,, ei. il. /j. ^1— f),. f),. et de ceux de la seconde

et que l'on ait trouvé ainsi

(i) , = = f(au a2, ■■■),

(') Cependant pour économiser les indices je désignerai quelquefois ces élémenls par a, a ,

PKOPRIÉTÉS GÉNÉRALES DE L\ KONCTIOX PERTURBATRICE. 35

OÙ / est une fonction des 12 éléments elliptiques osculateurs. On en déduira

(2) , — f(hai, «2, • ••),

\/'2.ix'j^ — hx\ )2

h étant un coefficient constant quelconque. Si, en effet, on change a, en ha^. les autres éléments e,, i, , Z,, g s et 9, ne changeant pas, non plus que les éléments osculateurs de la seconde planète, les coordonnées de la première planète, x\^ x[^, x'.^, se changeront en hx\, hx.-,, hx'^^ et celles de la seconde planète x',^^ x'^^ x'^, ne changeront pas.

Or, nous avons vu au n° 36 que la fonction perturbatrice, si l'on adopte les variables du n° 30, prend la forme