Considérons maintenant une fonction périodique quel
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DE LA FONCTION PERTURBATRICE. Sg
conque
F(ji, II')
des deux anomalies excentriques u et a'] elle peut se développer en série de Fourier sous la forme
(8) VB/,//E'>"+/''«'',
les p et les p' étant des entiers positifs ou négatifs, mais on peut aussi la développer en série de Fourier procédant suivant les anomalies moyennes l et /' sous la forme
Il s'agit de savoir quelles relations il y a entre les coefficients des deux séries (8) et (9). Ces coefficients nous sont donnés l'un et l'autre par des intégrales définies
(10) ir.^Bpp'— I l ¥ .E-i'^P'<-+i>'''"' diidu' et
(11) 4 7r2 k,n,n' ^ f f ¥. E-'( '«/+'«'/') dl dl.
Les intégrales doivent être prises entre les limites o et au, tant pour u et u que pour / et /'.
Nous transformerons la formule (i i) par une double intégration par parties.
Nous pouvons poser :
dl dl' avec
mm'
Nous trouvons alors, en intégrant par parties par rapport à u et à /,
/ / F , ■ ,,, dl dl' = — / / -r- -mdudl', .1 J dl dl J J du dl
et, en intégrant encore par parties par rapport à m' et à /',
r -n— 777 dl dl — I / - — -7—7 <t> du du ; dl dl J J du du
4o CHAPITRE XVI.
il vient donc
Tz^- k, II,,,' mm' =^ I / , " , , E-''-'"/^'"'^'^ du du'. J J du du
Or, du céveloppement de F sous la forme (8), nous pourrons
déduire
du du'- Zd^'P^""^
d'où, en tenant compte de l'équation de Kepler,
^iz^-mnï Ki„m'=2,PP'^i>i'' I I E-'^E-^ rfw c//<',
OÙ
il ^ i{nie ?<\\\u -\- m' e' sinu )^
et où e et e' désignent bien entendu les deux excentricités.
Le coefficient de pp'^pp est une intégrale double qui peut se décomposer en le produit de deux intégrales simples
Je,v.„„ ,,».....» rf„/E«,.-»-n.;-.. aa;
c'est-à-dire
4 TT^ J „^i, ( me ) J /„'-// ( m' e').
Nous avons donc la formule
(12) A „,,„' = 2, ~~7 ^p/yhn-pi me) J „,-/,(m' e' ),
tout à fait analogue à la formule (17) du Chapitre précédent. Cette formule est due à M. Baillant.
241. Cette formule se trouve en défaut quand m ou m' sont nuls. Mais elle peut dans ce cas être modifiée et transformée en une autre analogue à la formule (i8) du Chapitre précédent.
Nous avons
d'autre part nous avons
K'/'" = V ^ J ,„,; (me) E''«^
PROPKIÉTÉS GÉNÉRALES DK LA FONCTION PERTURBATRICE. ^I
formule dans laquelle on doit, pour m = o, remplacer le coeifi-
cient — Jm-p par i pour /> = o, par — - pour p = ± ] ^ par o dans tous les autres cas. De même on a
avec la même convention pour le cas de m'= o.
(3n en déduit, en remplaçant E'^" et E'^'"' par ces valeurs dans le développement de F(m, «'),
F(u, u') =y -EP^B,,,,'i„,^/,(me}J,n'-,y{m'e')Ei^""+"''''>. ^^ mm ' ' '
Nous retrouvons ainsi la formule (12) pour le cas où /?? et m' sont différents de zéro. Cette formule peut s'écrire sous forme de produit symbolique
■^ /H fn '
2] j-hn^pime)BfA I ^^,J„r-p'{m'e')BpA,
en convenant de remplacer le produit symbolique B^B'. par B^^'. On trouve de même sous forme de produits symboliques
1 Ao.„- = Bo - ^ ( B, + B, )1 ( 2 ^ "^ '"'-f ^p) ' (i3) < A„,o =(^y^^^h„-„B„j^B,-'-iB\-^B'^,)^,
\ A„o =rBo-|(B,^B,)l rB;-l(B;+Bli)l
formules analogues à la formule (18) du Chapitre précédent.
!2i!2. Supposons par exemple qu'il s'agisse de développer la partie principale de la fonction perturbatrice, c'est-à-dire la fonction
du n° 238.
Nous observons que
se présente sous la forme d'un polynôme du deuxième degré par rapport aux exponentielles
Il étant l'anomalie excentrique relative à la première planète et u' l'anomalie excentrique relative à la deuxième planète. Et, en effet, x\^ x'.2i x'.^ sont des polynômes du premier degré en E'", E~'" et x\^ x'^^ x'^ sont des polynômes du premier degré en E'"', E~'"'. En examinant de plus près, nous voyons que ce polynôme contiendra seulement un terme tout connu et des termes en
gi:2/« E-'". E-2'"' E±'«' ^iK±U±U')
en tout treize termes. Nous étudierons plus loin ce polynôme ])lus en détail; mais, pour le moment, observons que si l'on fait
l'expression x'^y-S?- deviendra un polynôme entier du sixième degré en x ely que l'on peut appeler Fv(x, y), d'où
La formule (lo), si l'on y fait F= - , devient alors
ce qui montre cjue B^^- est exprimé par une intégrale double définie dépendant de la racine carrée du polynôme entier R. Seulement les valeurs que l'on doit donner k x el k y sont imaginaires ; on doit faire varier l'une et l'autre de ces deux variables le long d'un cercle de rayon i ayant pour centre l'origine.
On peut aussi exprimer le coefficient Amm' par une intégrale définie, mais cette intégrale est plus compliquée. JNous avons trouvé en effet
— 47ï2/n/n'A,„,„'= / / -T. — -—,E-i'^"'>^"^'i'^ du du' , J J du du
et l'intégrale double peut s'écrire
If
eq
dx dy x"^y'-
PROPRIETES GÉNERALKS DK LA FONCTION PERTURBATIUCE. 48
OÙ 0 a le même sens qu'au n" 240 et s'écrit
La dérivée seconde de - serait encore éeaie à une fonction ration-
nelle de x et de 7' divisée par y/R(a?, y), mais il vaut mieux partir directement de la formule (1 i) en remarquant que
IX y i\ x] \ ly L -^x y
On trouve ainsi
.' ./ T^/ZJ iz-z/i' i/R / 'y 1^ \
Seulement ici l'intégrale (i5) est beaucoup plus complic[uée que
l'intégrale (i4) parce que la fonction sous le signe / n'est plus
algébrique, mais contient l'exponentielle E^'^. On voit pour quelle raison le développement suivant les anomalies moyennes est plus compliqué que le développement suivant les anomalies excenlricjues.
24-3. 11 y a deux cas particuliers sur lesquels nous reviendrons plus loin en détail, mais dont je voudrais dès maintenant dire quelques mots.
C'est d'abord celui où les excentricités sont nulles. Dans ce cas il n'y a plus à faire de distinctions entre les anomalies moyennes et les anomalies excentriques, et l'on a 0 = o; de plus l'origine de ces anomalies devient arbitraire et nous pouvons les compter à partir de la ligne des nœuds. Nous trouvons alors
SP- = a- -+- (X- — 1 aa ces a, où a- désigne l'angle des deux rayons vecteurs, ou bien
A2 = a^-\- a 2 — xaa cos'^ - cos(u — a ) — -^aa sin'^ - cos(a -t- a ),
OU bien enfin
1 R{T, y) — xy\{a^-h a'-) xy— aa'cos-- (x -{- y) [ — aa' sin- - (x-y'^ -h i)\
244. Le second cas est celui où l'inclinaison mutuelle des deux orbites est nulle; on peut alors choisir les axes de coordonnées de telle sorte que
d'où
On voit ainsi que R(^-, r) est le produit de deux polynômes entiers du troisième degré
K{x, y) = Kr{x, y)K.{oc, y).
Le premier de ces deux polynômes V^^i^i y) contient seulement des termes en
x-y^ xy^, xy, x et y.
Les deux courbes du troisième degré
Ri = o, R, = o
passent par l'origine et ont des points à l'infini communs ; elles se coupent en outre en 4 points dont il est aisé d'interpréter la signification.
A chaque point M de la première orbite com-espond une valeur de u et par conséquent une valeur de x; k chaque point M' de la deuxième orbite correspond une valeur de u' et par conséquent une valeur de y. L'équation R, = o exprime que la droite MM' a pour coefficient angulaire i; l'équation Ro^o signifie que MM' a pour coefficient angulaire — i.
Les quatre intersections des deux courbes du troisième degré R, = R2^o correspondent aux quatre intersections (généralement imaginaires) des deux orbites elliptiques.
Si l'on suppose que y et par conséquent M' soient données, l'équation R, :^o est une équation du deuxième degré en ce; cela s'explique parce que la droite de coefficient angulaire / qui passe
par M' coupe la première orbite elliptique en deux points Met M(. Les deux points M et M| se confondent, de sorte que l'équation R, ^ o a deux racines égales et que l'on a
toutes les fois que la droite MM' est tangente à la première orbite elliptique; cette tangente à l'ellipse ayant pour coefficient angulaire + t passe alors par l'un des deux foyers de la deuxième orbite elliptique.
De même, si la droite MM' passe par l'un des deux foyers de la deuxième orbite elliptique, on a
Mais les deux ellipses ont un foyer commun qui est l'origine. Pour la droite MM' correspondante, on a
ce qui (en regardant x el y comme les coordonnées rectangulaires d'un point dans un plan) montre que la courbe du troisième degré R, ^ o (de même que la courbe Ro = o) a un point double. Pour R, ^ o, ce point double est
et pour Ro = o
1243. Nous avons vu au n" 238 ([ue le calcul de la partie complémentaire de la fonction perturbatrice se déduisait aisément de celui de la partie principale. Mais il y a mieux à faire, car le premier de ces calculs est beaucoup plus aisé que le second, de sorte qu il est préférable de le faire directement.
Nous avons vu au n" 239 que, si l'on pose
les trois formes de la partie complémentaire, auxquelles on est conduit si l'on adopte les variables des n"' 26 et 44, sont respectivement proportionnelles aux trois dérivées secondes de W.
Cherchons donc à développer W et pour commencer étudions le développement de W suivant les exponentielles £'/'"+"'/''"'; il sera aisé d'en déduire ensuite par le moyen de la formule (12) le développement procédant suivant les exponentielles E'""^+"'*''^'.
Or x\, a?'.,, x'.^ sont des polynômes du premier degré en E-'", x',^, x'^, x'^ sont des polynômes du premier degré en E-'"'. Donc W est un polynôme de premier degré en E-'" d'une part, en E-'"' d'autre part, de sorte cjue le développement de W suivant les exponentielles E'^"+'^'"' se composera de neuf termes seulement.
Il résulte de là que, si l'on applique la formule (12) au développement de W suivant les exponentielles E'"^'^"*'""''^', chacjue coefficient A,nrn' dépendra seulement d'un nombre fini de fonctions de Bessel. On peut donc, en se servant des relations de récurrence entre ces fonctions de Bessel, ramener ce coefficient à ne plus dépendre que des transcendantes
J/„(/??e), y,„{me), i„i'(m'e'), J,'n.(>i'e').
246. Hansen prend pour variable indépendante l'anomalie excentrique a de l'une des planètes; supposons alors qu'il ait développé la fonction perturbatrice, ou l'une de ses dérivées, ou l'une des composantes de la force perturbatrice sous la forme
F ='Vb^,/,' £'(/'"+/''"'),
nous avons
/ = M — e sin M,
r = II' -T- e' sin II' .
D'autre part, dans la fonction perturbatrice dont tous les termes contiennent en facteur la masse perturbatrice, nous pouvons, en négligeant le carré de cette masse, appliquer les formules du mouvement képlérien. Alors / et /' sont des fonctions linéaires du temps et sont par conséquent liées par une relation linéaire. J'écris
k étant le rapport des moyens mouvements et s une constante.
J'ai alors
r = ku -t- e — ke sin a,
OU en posant
Mj = ku H- £,
/' = «1 — ke sin a,
et enfin
Mj = u' — e' sin u -+- ke sin m.
Proposons-nous de développer F sous la forme
Il viendra
— 4Tt2Â,„;„'= / / FE-'('"'^+'«'"i' «fit t/Ml,
ou en intégrant par parties par rapport à m, et à m', c'est-à-dire comme si u était une constante,
-H 4t2A,„,„'^ / ; -^ ^-7 li-'' '«"+'"' »i' c/wû^m'.
J J m du
Mais
d'où
Mais le produit des deux exponentielles sous le signe / peut s'écrire
On trouve donc finalement
(i6') A,„„,=^ -^7 Bj,/yi,„-,A — /^m' e) i,„--,j( m' e').
247. Gyldén cherche à développer la fonction perturbatrice non plus en fonction des anomalies moyennes, ni en fonction des anomalies excentriques, mais en fonction des anomalies vraies. Si v et (' sont les deux anomalies vraies et qu'on veuille développer la fonction F sous la forme
F — \^ C - KiCnv+m'i'')
les coefficients de la série seront donnés par la formule
4712 c,„,„. = j I F E-w(/«i'+/«v-j ^ii, f/p'.
Si l'on pose E^^ = x, 'E'^' = y, cette intégrale double se transforme en une autre où la fonction sous le signe / est une fonction rationnelle de .r, de y et de à, et où A lui-même est la racine carrée d'une fonction rationnelle de x et de y. C'est ce qui arrivait déjà dans le développement suivant les anomalies excentriques. Les deux développements présentent donc à peu près le même degré de difficulté.
On pourrait chercher d'ailleurs des formules analogues à la formule (12) et qui permettraient de passer de l'un à l'autre.
Il faut ensuite tout exprimer en fonction de la variable indépendante choisie qui est l'anomalie vraie de l'une des planètes. Pour cela, il faut se livrer à un calcul analogue à celui du numéro précédent, mais pour lequel il n'existe malheureusement pas de formule aussi simple.
Nous avons une relation entre / et p que je puis écrire
l — i; H- cf ( p, e ), cp(t^, e) étant une fonction périodicjue de p, et de même
et enfin
/' = kl + £,
d'où, en posant
Vi = Af -t- e,
(17) 1^1 = t^'+ cp(t;', e') — A-cû((>, e).
Il s'agit ensuite, à l'aide de l'éc|uation (17), de développer l'exponentielle
en série procédant suivant les exponentielles
L'analogie avec le calcul du numéro précédent est évidente.
248. Nous commencerons par le cas où les excentricités sont toutes deux nulles, ainsi que l'inclinaison mutuelle des orbites. L'expression A- prend alors la forme
A2 = «2+ a'2 — laa' cos(/ — V), comme nous l'avons vu au n° 243. Il s'agit de développer
mais nous ne nous bornerons pas là, pour les raisons exposées au n" 215, et nous nous efForcerons de calculer le développement de A~-^, is étant un entier impair cjuelconque.
Nous observerons d'abord cj[ue A- est homogène du deuxième degré par rapport à a et à a', et d'autre part que A- ne dépend des angles l et /' que par l'intermédiaire de
cos( l — l') = cos( u — u') = - ( 1- — )•
Je rappelle que, quand les excentricités sont nulles, les anomalies moyennes ne se distinguent pas des anomalies excentriques. Nous sommes ainsi conduits à poser
ix = — , - = 5 ;
d'où
JNous pouvons toujours supposer a ■< i ; il suffit pour cela de P. - IL 4
5o CHAPITRE XVIt.
supposer que l'on a désigné par a le plus petit des deux grands axes.
Nous sommes donc conduits à développer
suivant les puissances entières positives et négatives de z sous la forme
Les coefficients è'/'' ont reçu le nom de coefficients de Laplace. 249. Si nous posons
nous voyons que F ne change pas, ni par conséquent F ^ quand on change z en -• Or cela revient à changer k en — A"; on a donc
D'autre part changer k en — k cela revient à changer i en — i; l'égalité précédente montre que les coefficients ne changent pas quand on change i en — i', nos coefficients sont donc réels, et nous pouvons écrire
( 2 ) F-^- = 6^" + 2 y 6^/'^) cosk (1—1').
Il y a entre les coefficients de Laplace certaines relations de récurrence qui en facilitent le calcul et qu'il est aisé de déduire de l'identité
(3) F-s = "^b^'^-^zK
Nous avons identiquement
ou
^i -i) ^bf>z/^- + '^kb[/'^z'^-^ïi-^a^-a{z-^-)'] =o,
LES COEFFICIENTS DE LAPLACE. 5l
d'où en égalant à zéro le coefficient de :-^'* :
o = 5«(6(''+i^— 6'/-"- D) ^ ([ ^ a2) A-6i>-' — a[(A- + i) èi^+D^ (A' — i) b^/'-^^] d'où la relation de récurrence
(5) ab^/'+^^{s — k — i) ^ab\.^~i\—s — /c + i) + (1 + a^) /c 6/' = o. Nous avons ensuite
F-*-= fi — a/'^-H i^ H-a^l F-^-i ou
ou en égalant à zéro le coefficient de s* :
(6) 6</^-) = (, + a2)6(^)^ «(6(^+1) +6(iii)),
relation de récurrence qui permettrait de passer des 6^^, aux bs', mais il serait préférable de chercher une relation de récurrence permettant de passer des bs aux bs+\ . Nous pouvons prendre deux relations (6) consécutives qui nous donneront deux équations entre b^f\ 6f+" et les quatre inconnues b^^'l , 6'^',, bf^^^\ K^+t'^- D'autre part les relations (5) nous fournissent deux autres relations entre ces quatre inconnues. Nous pouvons donc déterminer ces quatre inconnues en fonction de bf\ 6^''"*''^
Pour arriver directement au même résultat, nous partirons de l'identité
