FP + ,.§Q
oùP et Q sont des polynômes du premier degré; il est facile d'établir cette identité et de déterminer les polynômes P et Q. Cela posé, nous pouvons observer que les coefficients de la série (3) peuvent être établis par la formule de Fourier :
(8) ■2iizb^/'-^=J
F---^-^/^-i dz.
L'intégration doit être prise, par rapport à / — /', depuis o jusqu'à 27: et par conséquent par rapporta z le long d'un cercle de rayon (1).
En vertu de l'identité (y), nous pouvons multiplier la fonction sous le signe / par le premier membre de cette identité, ee qni
donne
jTièiA^ = r Fi--^z'^F dz-h f^ F-^-^/'+i Q dz.
Nous pouvons transformer la seconde intégrale par une intégration par parties, en observant que, l'intégration se faisant le long d'une ligne fermée, nous pouvons laisser de côté la partie qui
sort du signe / et qui prend la même valeur aux deux limites.
Notre intégrale devient ainsi :
pi— 5
(A'-hi)^/^-Q
Mais il est clair que
Ph
~dz
est un polynôme du premier degré en z] soit
ce polynôme, notre équation devient
2 f Tt 6i'--) = r F( 1 -■') ( [35/'+' + Y z'^ ) dz
d'où
C'est la relation de récurrence cherchée.
Grâce aux relations de récurrence (5), (6) et (8), le calcul des coefficients de Laplace peut être ramené à celui de deux quelconques d'entre eux, par exemple
2o0. Considérons maintenant la dérivée
da.
En clifFéren liant la formule (S) sous le signe / , il vient :
ce qui permet d'exprimer les dérivées des bs en fonction des bs+\ et par conséquent en fonction des bs-
JNous pourrons donc finalement, par ce moyen, exprimer la dé-
rivée ■ ''' en fonction de b^^., 6], sous la forme
P et Q étant des fonctions rationnelles en a.
En difFérentiant la relation (lo), nons trouvons :
doL' \ d% I c/a d% da.
de sorte que la dérivée seconde est exprimée en fonction de 6J, b\
et de leurs dérivées premières, et peut par conséquent, par une nouvelle application de la formule (lo), être exprimée en fonction de 6" et b\ sealement.
On opérerait de même pour les dérivées d'ordre supérieur. 2ol. Nous avons
Or la formule du binôme nous donne
OU plus généralement
54 CHAPITKE XVII.
OÙ r représente la fonction eulérienne. De même
a'Jz-'J
ou, par multiplication,
^âTHs)r{p + i)r{g+i)
ce C[ui nous donne pour le coefficient de 5^ :
(lO ^i'^=2r
T{s + g)T(s + g -f- /Q Hs)r{g + i)r(g-+k + i)
formule qui donne le développement des coefficients de Laplace suivant les puissances croissantes de a. Nous remarquerons tout d'abord que b^f^ est divisible par a*, et que c'est une fonction paire ou impaire de a suivant que A' est pair ou impair.
Pvapproclions la série (i i) de la série hjpergéométricjue de Gauss. Cette série s'écrit :
F(A B C :r) Y r( A + ry) r(B + ^) r(C)
^^^'^'^'^^"2dr(ry + i)r(G + ^)r(A)r(B)^ • La comparaison nous donne immédiatement
252. On sait que la série hypergéométrique de Gauss satisfait à une équation linéaire du second ordre, il doit en être de même de Z>f' . C'est en effet ce qu'il est aisé de vérifier. Nous voyons en effet que dans la série (i i) le rapport du terme général au précédent est
( s ^ g — i) (s + g + k — i) ^ gig^k)
Si donc j'appelle C^ le coefficient de a^+"-y, nous aurons g(g + k) Cq= {s + g — i){s + g -+- k — \) G./i, d'où
(12) ^q{q + /O a/a27+/.- = V (s + g-i)(s + g + k-i) G,/ia27+/.-.
Or, si nous observons que
dh
= 2c,a2'/+^ «^ ^^{',q-^k)Q.,oM^K
et que de même
a^ 6 =2 Cr/-i a-î+'S «•' ^ =2 ( 2 5' + /-^ — 2 ) Gy i a27+A-^
dij.-
si nous remarquons de plus que les coefficients du premier et du second membre de (i a) qui sont ^(^ -\- k)^[s -\- q — i)(5 + ^ + /r — i) sont des polynômes du second degré en q et par conséquent peuvent s'exprimer linéairement, le premier à l'aide de
I, ig -h k, {iq ->r- k){iq -\- k — \)^
le second à l'aide de
I, -iq ^ k — 2, {iq -+- k —'?.){'}. q -^ k —"i)^
les coefticients ne dépendant que de k et de ,ç, nous verrons qu'il y a une relation linéaire entre les six quantités
, db d-b „ , ^db , c/^ b
relation dont les coefficients ne dépendent que de k et s. C'est l'équation différentielle cherchée.
J'ai supprimé pour abréger les indices s et k de b^^\
Cette équation s'écrit
(72 h db
(i3) («^- a'. ) ^-^ + I a - (4. + I) a3]- - [^s^a^^-^ k^-Çi - a^-)] b = o.
Elle peut nous indiquer comment se comporte la série (ii) pour les valeurs de a voisines de i. Les méthodes de Fuchs nous apprennent en effet que les intégrales de cette éc^uation ne peuvent
présenter de singularité que quand le coefficient de -3— s'annule,
c'est-à-dire pour
Pour a = o, les racines de l'équation déterminante sont dz k^ ce qui veut dire que l'équation admet une intégrale particulière développable suivant les puissances de a et commençant par un terme en a^ (cette intégrale n'est autre chose que la fonction b\'^^ cjui nous occupe) et que l'intégrale générale est de la forme
h étant une constante quelconque et S une série procédant suivant les puissances entières croissantes positives ou négatives de a et commençant par un terme en ar^.
Restent les points singuliers a = ±i;je me contenterai d'examiner le point a = + 1 ; puisque l'équation différentielle ne change pas quand on change a en — ■ a.
Pour a = +i, les racines de l'équation déterminante sont o et I — is] ce qui montre que, outre une intégrale particulière développable suivant les puissances de a — i , l'intégrale générale est
de la forme
S + Plog(a — I),
où P et S sont développables suivant les puissances entières croissantes de a — I, le développement commençant pour P par un terme de degré o, pour S par un terme de degré i — 2S.
Pour 5 = - j on a i — 25 = o et S ne devient pas infinie, c'est le
second terme qui est prépondérant, de sorte que bf^ devient infini
pour a = I de la même manière que log(a ^ i ) • Pour 5 = - , -, • • -,
le terme S devient infini et prépondérant de sorte que Z>^,^' devient infini de la même manière que
On voit par là que la série (11) converge pour
et diverge pour | a | >- 1 . Les résultats précédents se déduisent d'ailleurs immédiatement des propriétés connues de la série hjpergéomé trique.
253. On a proposé un très grand nombre de procédés de calcul pour les coefficients de Laplace, mais il j en a un qui est très supérieur à tous les autres, c'est celui qui est fondé sur l'emploi des* fonctions elliptiques.
Nous savons que la fonction ,p(;^) de Weierstrass est définie par l'équation
Lp'(«)P= ipHu) — §-ip(u) — S'a=^ liip — ei) {p — e.J (p - es), ■ où ei, 60, 63 sont trois constantes liées par la relation
avec la condition
p(0) = co.
Nous savons en outre qu'elle satisfait aux conditions
p{u) = p(— II) = p( a + iMi) — p(u ^ 2(x).2} — p(u -i- 'iiJO'i); p(wi) = e|, p(w2) = e2, p(o)3) = e3.
D'autre part la fonction ^(«), qui est telle que jouit de la propriété
où
'n/= C(Wi), ^i + 'la + 'ls^ o-
Reprenons l'intégrale
I r z^ dz
t '^'-'^J \,^z{\ — az){z~oi.) et plus généralement la suivante :
* ■li'K J F*' 2iTz J [z(i — az){z — a)]^
Pour identifier aux formules des fonctions elliptiques, nous devons poser :
d'où
58 CHAIMÏRE XVII.
(r4) (^-^\\iT.b[!'^= Ap -e3)^-i+2.s-p'i-2. ^„
et, en particulier,
(i5) TTv/â 6^') = f {p — 63)^-1+2.. du.
234. Rappelons une propriété importante des fonctions doublement périodiques : c'est la possibilité de décomposer ces fonctions en éléments simples.
Soit F(«) une fonction doublement périodique, soient a,, «2? • • -5 <^i-n ses infinis distincts; bien entenda je ne regarde pas comme distincts deux infinis quand ils ne diffèrent que par des multiples des périodes 200/.
Soit cij l'un de ces infinis qui sera, je suppose, d'ordre k] développons F ( ;^) suivant les puissances croissantes de a — ay, et soient
( Li — aj )''■ {u — cij )^''-i " " (M — aj)- u — Œj
l'ensemble des termes de ce développement qui ont un exposant négatif. Posons
— ri 11 —
*y(") = AiÇ(z< — ay)— -^-(^{u— aj) -{- — X^'{u — aj)
OÙ ^^*^(m) représente la dérivée A'^me jg ^[u) par rapport à n. De cette façon la différence
reste finie pour 11 = aj. Nous aurons alors
C étant une constante. C'est cette formule bien connue (16) qui représente la décomposition de F(w) en éléments simples.
Revenons aux intégrales (i4) et (i5); elles doivent être prises
de o à 2W,. Si nous désignons la fonction sous le signe / par
LES COEFFICIENTS DE LAPLACE. Sg
F(;^), nous décomposerons F(u) en éléments simples, et nous intégrerons séparément chacun de ces éléments. Parmi ces éléments il j en a qui nous donneront zéro, ce sont les éléments
t''^'{u — aj) du,
où A'^a; l'intégrale indéfinie nous donne
Z^U-i)(u — aj),
qui est (au signe près) la fonction p( w — a.j) si A" = 2 et une de ses dérivées si /i\> 2. Dans tous les cas ce sera une fonction doublement périodique qui reprendra la même valeur aux deux limites o et 2to, ; l'intégrale définie est donc nulle. Si k = I
Ç' ( îi — aj) du = ^( u — «y ),
et l'intégrale définie est
Ç(20Ji— ay) — Ç(— «y) = 2'fli.
Si A" ^ o, on a
^( u — aj) du = loga'(u — aj),
et l'intégrale définie est
(17) -f — — -^ = iiz-h-irnitoi — aj).
jNous n'aurons pas d'ailleurs à faire d'application de la formule (l'y) dans ce Chapitre.
Reste enfin la constante C qui nous donne
G du = -iGcoi.
Dans le cas qui nous occupe, et qui est celui des intégrales (i4) et (i5), la fonction F(«) ne peut devenir infinie qu'avec p{ii} ou p'{u), c'est-à-dire pour
M = o, Ml, W2 ou W3.
6o CHAPITRK XVII.
J'ajoute que, pour s=- [formule (i5)], elle devient infinie seulement pour u = o.
De plus, l'exposant i — 2 s est pair, et, comme p'-(u) est une fonction rationnelle de ,p(w), il en sera de même de F(m). Donc F(w) sera une fonction paire de «, ainsi que de u — o)/
F{u) = F(— u), F(u) = F('2Mi—u).
Donc le développement de F[u) suivant les puissances croissantes de u ou de 11 — to/ ne contiendra que des termes d'ordre pair; il ne contiendra donc pas de terme de degré — i [qui aurait pu donner un élément simple en ^(u) ou t(u — w/)] ; et c'est pour cette raison c[ue nous n'aurons pas à faire usage de la formule (17). Nous n'avons pas à nous inquiéter des termes de degré — 4i — G, . . ., qui, comme nous l'avons vu, donneraient une intégrale nulle, mais seulement des termes de degré — 2, ainsi que de la constante G; nous trouvons ainsi pour notre intégrale
(18 ) 2 ITT (^Y b'/'^ = 2 G W, — 2'^], y A,.,
> Ao étant la somme des coefficients des termes de degré — 2 dans les développements relatifs aux quatre infinis o, to,, too, tO;,.
2oQ. Ces coefficients G et Ao sont des fonctions rationnelles de a. En effet le développement de p(ii) ou de p'(ii) suivant les puissances croissantes de u ou de u — co/ a pour coefficients des fonctions rationnelles de Ci, Co, e^ et, par conséquent, de a; il en est donc de même du développement de
Donc tous nos coefficients Ao sont rationnels en a.
Parlons maintenant de G. Nous observerons que F non seulement ne peut devenir infinie que pour a = o, w,, too, CO3, mais ne peut non plus s'annuler que pour l'une de ces quatre valeurs de u. Il en résulte que F(u) ne peut pas admettre les quatre infinis mais seulement une partie d'entre eux, ce qu'il est d'ailleurs aisé de vérifier; pour celles de ces quatre valeurs pour lesquelles elle
LES COEFFICIIÎNTS DE LA PLACE. 6l
ne devient pas infinie elle s'annulera de sorte que l'on aura
pour II = o, cO|, Wo, CO3 ; et pour co/= o, tO|, Wo, C03. D'ailleurs on n'aura pas u = w/, puisque u est une des valeurs pour lesquelles F s'annule, et co/ une des valeurs pour lesquelles F est infinie. Donc
u — aj;= Wj, coo ou 0)3 (à une période près).
Mais Aa est rationnelle en a. Il en sera de même de l^('^'^(co,), ^^'''^(wo), (^'''^^((O;}), qui sont des dérivées de p{ii) pour u = oj,, coo ou 0)3, et nous venons de rappeler que ces dérivées sont des {"onctions rationnelles de t?,, e^, e.) et, par conséquent, de a. L'équation (19) montre donc que C est rationnel en a. c. q. f. d.
En particulier nous avons pour
d'où
poi
d'où
2 TT y/a
■2-r]i -H - oji I a H
2 Tiy/a
Pour un coefficient bf^ quelconque nous trouverions de même
P'/l. + Qco,
où P et Q sont des fonctions rationnelles de a. On déterminerait aisément ces fonctions rationnelles à l'aide des relations de récurrence du n" 249.
256. 11 reste à calculer co, et -/-,, d'où b] et b\ ; pour cela je renverrai aux formules et propositions pour l'emploi des fonctions
CHVPITRK XVII.
elliptiques rédigées d'après Weierstrass par M. Schwarz et traduites de iallemand par M. Padé fParis, Gauthier-Villars, iHg4)- Portons-nous à la page (h. Deux cas sont à distinguer, et d'abord celui où
62 — 63 < ei — €-2, c'est-à-fJire a
Dans ce cas nous poserons 7 \/ei — e.—
sj ex — 63 -F- y ex — 62 et alors, en supposant
[-r- y/ 1 — oc2 '
h = E~Mr,
ce qui est le q de Jacobi, nous aurons
2 A -f- sA'-'-i-.
dVjù
On calculera h par la formule (ao; et l'on trouvera ensuite
V 2 V'- «••ii; \ ^^= à/i^ 1^1 =,^2/^^2Ai+2A9-^...,
I U(v — rji^b\= {/^~ 1/ ; — '-'■ = 1 — 2A-h ih'*—ih'^ +
Ce sont les formules (6), (^), (8; de Schwarz, mais nous ferons usage pour le calcul de h] de la formule
qui est la formule (4; de Schwarz, et pour le calcul de b\ de la
formule
/,., i2Tjioji r — 3" A2-f- 5'Afi— . . .
qui est la foiiuule {J)) de Schwarz.
Le second cas est celui où a;>— ;• On se servira alors des
formules (i8) et suivantes de Schvvarz et l'on posera
V/ei — 63-1- v/e2 — ^3 1 4- v ^ et l'on retrouvera la formule
{10 bis) hi = - — 1-21 — 1 +...
analogue à (20).
Nous aurons ensuite
/ 7 • s . /a co-'* 2 , , ,
{11 bis) 1/ - = — (1 -+- 2A:|;-l-. . .),
formules (19) de Sclivvarz. (^uant à rij et 7].t et par conséquent A], on les déduira des formules
() I — j/if -H. . .
(24) rjiWa— (Oi-ri3= TTi.
On remarquera que co..j et r,;, sont purement imaginaires.
!2o7. il importe de se rendre compte de la rapidité de la convergence; cette rapidité est extrême; en ellet, si a << -—, on a
et si a ^ — r, on a
Suivant le cas, / ou /| sera <<o,o8; tandis que // ou 1l^ sera <C 0,04. Or les séries qui procèdent suivant les puissances de k et
6,i CHAPITliE XVII. — LliS COEFFICIIÎNTS DE LAPLACE.
qui ne sont autres que les séries 0 de Jacobi ou des séries analogues, et qui ne contiennent par exemple que des termes où l'exposant de h est un carré parfait, convergent très rapidement. Les séries (20) et (20 bis)^ qui donnent h et /i,, convei^gent aussi très rapidement, puisque dans le cas le plus défavorable les termes successifs sont respectivement plus petits que
