Posons

cosa ^ [JL cos^ H- V cos'A], :r = E'", jj/ = E'"',

cos- - = u, sin- - = V, c ^ u — u , 'fi ^ u -h u ,

z = -, w = arK, 2C0s^ = z -\- 5-', 2cos-r) — w -+- iv-',

Z = F-''' = (1 — ajj.5 — ajjL^-' — av w — av w—^ -+- a.^)-^ . P. — IL 5

66 CHAPITRE WIII.

La formule du polynôme, généralisation de la formule du binôme, nous donne

Z ="V A( — afjiz)« ( — x[JL^-i )/'(— av«')c(av w-')9 (a-)^

a, q, c, /?, e étant des entiers positifs quelconques et F étant la fonction eulérienne, ou bien encore

Nous voulons développer Z, d'une part, suivant les puissances de a et, d'autre part, suivant les cosinus et les sinus des multiples des anomalies ou, ce qui revient au même, suivant les puissances positives et négatives de z et de w. Nous chercherons donc le coefficient de

où m est entier positif, h et k entiers positifs ou négatifs. Nous

ferons donc

ni=:a-\-p^c-v-q-\-ie^

L'exposant a-\- p de \x. est plus grand en valeur absolue que h et en diffère d'un nombre pair ; l'exposant c -\- q de v est plus grand en valeur absolue que k et en diffère d'un nombre pair. La somme de ces deux exposants est plus petite que ni et en diffère d'un nombre pair. Le coefficient cherché est donc un polynôme entier en ]x- et v- de degré

multiplié par le facteur

JNous observerons en effet que

Supposons d'abord h et k positifs de façon que h =^\h\^ k =--\k\ et formons le polynôme P en question de sorte que le coefficient cherché soit

(I)/;+A-y/^vA■p.

Faisons donc

771 — h — k ^= ig, 771 -^ h -^ k ^=^ if^

a -T- j) = h -\- ip^ c ^ q ^= k -^ iq,