h h ->!- k a-hp-+-c^g-\-e=^ ^ p -t- g

il viendra, en se reportant aux formules (2) et (3),

r(i — «Ji^-z^v^T

Nous observerons que m et h + k sont de même parité et, par conséquent, que /, g^ a + 5 et [^ sont entiers. Cela va nous permettre de transformer la formule; et, en effet, si / est un entier, on a

Cette formule résulte de la relation connue

sins-K

et du fait que, si / est entier, on a

sin(s -H ^) A? = ( — i)''sinsTr.

260. Le polynôme P n'est autre chose, à un facteur constant près, que l'un des cas particuliers de la série hypergéométrique à deux variables étudiée par M. Appell. Introduisons, en effet, la notation de M. Appell, en posant

La première expression se présente sous une forme indéter-

minée quand a et a + m sont des entiers négatifs; mais il est aisé de voir que la vraie valeur est alors le produit

et d'ailleurs la deuxième expression est alors déterminée. Nous aurons alors

if-^s,p-^q) = {-iy

Y(i—f—s~p—qy

d'où

et

r(i-5)Pi

(7) p Y (f^s^p^qn-g.p-r-q) ^,^^^^,^^

On reconnaît, dans l'expression (n), la série hypergéométrique à deux variables de M. Appell.

Nous avons supposé dans ce qui précède h et A' positifs, mais nous n'avons pas ainsi restreint la généralité et, en effet, Z ne change pas quand on change, soit 5 en x;~% soit w en w~^ ; d'où il suit que le coefficient de

,in zh IX) li

est le même que celui de

261. On sait que la fonction de M. Appell satisfait à deux équations aux dérivées partielles; on doit s'attendre à ce qu'il en soit ainsi de notre polynôme P qui n'en diffère que par un facteur constant; c'est ce qu'il est aisé de vérifier. Soient, en effet, Z' et Z" les dérivées premières et secondes de Z par rapport à

F ^ a^ — -loi^^ cos| + V cos-/] ) + i ,

il viendra

(8) -j-=^iT^'(a — |j.cos$ — vcosT]);

da

(q) -^— = — 2Z,acosc, —7-= — 2Z a cosin,