II
— — - = 4a2 jjL'-Z" sin2^ -t- ■2a[jt.Z' cos^,
f —^ — = 4a-v2 Z sin^in -\- 11» L cos'ri,
\ drp-
—, — =4a2Z"cos2f. ^ = 4a2Z" cos? COST),
«fjL^ d\i.dy
— - — = 4a'Z cos^in, av-
(12) -^-y = 4Z"(a — cosa)2+ aZ',
— — — = — 1^olL\'x — costr) cost — ïL cos^, aa d\x
dx d^i
= — 4 2cZ"(a — cosj) cosT] — 2Z' ces Y],
ce qui nous montre que ces onze dérivées partielles de Z peuvent s'exprimer linéairement en fonctions des neuf quantités suivantes :
!Z', Z' cos^, Z' cosv),
Z", Z"C0SÇ, Z"C0S7),
Z"cos-^, Z"cos^cosri, Z"cos2 7j,
les coefficients étant des polynômes entiers en a, [jl, v.
D'ailleurs, ces quantités (i4) ne sont pas indépendantes, elles sont liées par les relations
/ (i-)-a-)Z" — 2 0(;j. Z"cos^
— 2avZ"cosY] = — (5-t-l)Z',
(H-a2)Z"cos^ — 2aiJLZ"cos2^ ( 1 5 ) (
— 2avZ" cos^ cos-r) = — (5 -H i)Z" cos^.
(i -f- a^ )Z" COST) — ia\xZ" cos^ cosï]
— 2avZ"cos2Ti = — (5 -t- i)Z' cosr, .
Il est aisé de comprendre l'origine de ces trois relations.
De
7© CHAPITRK XVIII.
nous déduisons
■ FZ" = — (5 + [)Z'.
En remplaçant F par sa valeur, on aura la première relation (i 5) et l'on aura la deuxième ou la troisième en multipliant la première par cos^ ou par cos/i.
Mais nous pouvons aller plus loin; les relations (8) à (i3) nous montrent que les onze dérivées
dZ rfZ f/Z dyL ciyi dy. d\i o?v <r/^2 dfi
d\i? d^j-dv (iv- dy.'- dy. d\x cly dv
s'expriment linéairement en fonctions des dix quantités
/ Z' a'-, Z'acosç, Z'acosr),
(17) Z"a-, Z"a-cos'-Ç, Z"a- cosç cos-fj, Z"a2cos-7j,
' Z"a^, Z"a3cus^, Z"a^cos'/^,
les coefficients étant des polynômes entiers en a et en v indépendants de a. D'autre part, la première relation (i5), multipliée par a-, sera une relation linéaire entre les dix quantités (17); nous avons donc douze relations linéaires entre les vingt-deux quantités (16) et (17); en éliminant les dix quantités (17) il nous restera deux relations entre les quantités (16).
// y a donc, entre les onze dérivées (16), deux relations Linéaires dont les coefficients sont des polynômes entiers en ijl et en v.
Or nous pouvons poser
avec (si par exemple h et k sont positifs)
On voit alors que, dans les onze quantités (16), le coefficient de
se réduit respectivement à
d^\] rf-^U '-/•^U , ,,, «?U c?U
dix- d\±d-t d^i- d[J. dv
Si donc nous prenons l'une des deux relations linéaires dont il vient d'être question et qui lient les dérivées (i6) et que, dans cette relation, j'égale à zéro le coefficient de
y/n ^ii/i'i-hATi)
j'obtiendrai une relation linéaire entre les dérivées
,, du dU d-^V d'-U d'^U d[i. d-i d\x^- dixd't dv
Donc le coefficient U satisfait à deux équations linéaires aux dérivées partielles du deuxième, ordre, dont les coefficients sont des polynômes entiers en \i. et v.
Ce sont les équations de M. Appell.
'262. Je rappelle la forme de ces équations telles que M. Appel] les a établies dans son Mémoire du Journal de Liouville (p. 182, 1882).
1{x — x-)r — y"^ t — '1 xy s ^ [Y-f-(a-f- |3-M)*-]/? — (a-h |îi H- i)ycy — ^<^z = o, (y — y~)t — x'^ r — 'ixys
Dans ces équations x el y sont les variables; :; est la fonction inconnue,/? et cj sont ses deux dérivées du premier ordre; /•, i-, t ses trois dérivées du deuxième ordre.
Pour passer de ces équations à celles auxquelles doit satisfaire U, il suffît de faire
a? = [JL-, jK = v2, z ^ [x-'^y-^X] ^
Mais une première observation se présente. Les équations li-
néaires simultanées (19) ne comportent pas une solution unique; elles comportent quatre solutions linéairement indépendantes, ainsi que l'a montré M. Appell. Quelle est alors, dans le cas qui nous occupe, la signification de ces diverses solutions?
Reportons-nous à ce que nous avons dit au n" 242, et appliquons des principes analogues au problème qui nous occupe; nous verrons que le coefficient de z^w'^ dans le développement de Z sera égal à
— irrzdzdw
L'intégration doit être prise par rapport à ^ le long d'un cercle ayant pour centre l'origine et pour rajon l'unité et par rapport à w le long d'un cercle analogue tracé dans le plan des w. La combinaison de ces deux cercles définit un conlovir fermé à deux dimensions le long duquel doit être prise l'intégrale double. En d'autres termes, le coefficient cherché est une période de V intégrale double (20).
Pour avoir U, il faut développer ce coefficient, qui dépend de a, suivant les puissances croissantes de a et conserver le coefficient de a'«.
Mais l'intégrale double (20) possède d'autres périodes que celle que nous considérons; une quelconque de ces périodes est fonction de a et peut être développée suivant les puissances croissantes de a. Le coefficient de a"* dans ce développement satisfera aux mêmes équations différentielles de U. La multiplicité des solutions des écjuations (19) s'explique donc par la multiplicité des périodes de l'intégrale (20).
