La série hjpergéométrique de M. Appell
peut être exprimée par le moyen d'une intégrale définie, mais je me bornerai sur ce point à quelques brèves indications. Considé-
rons l'intégrale
uP-^{\ — a)?-i du
que nous prendrons le long' d'une ligne allant de l'infini à l'infini en passant entre les deux points o et i .
On pourra faire, par exemple, u^=- — h lu' et faire varier a' par
valeurs réelles depuis — oo jusqu'à + oo. Cette intégrale sera finie et déterminée pourvu que
Dans ces conditions, à un facteur près G facile à déterminer et qui ne change pas quand p ou q augmente d'un nombre entier, notre intégrale est égale à
Y(.p)V(.q) ^ T(p-hg)'
D'autre part, notre série hjpergéométrique (à un facteur constant près, indépendant de x et de y comme de m et de n) est égale à
•y r( I — Y — /n ) r ( Y — g — ft ) Fd — y'— »)r(Y'— p — /».) jiLi r ( I — a - m — n) T {i— <^ — m — n)
il -h [j — y', m)cr"' ( I -I- a — Y' '^ ).V" {i,m) {i,n)
^i/)n voit que chaque terme sous le signe ^ est décomposé en quatre facteurs; le premier facteur c'est l'intégrale
J<-T-'« (l— u )y-i-a-/( du,
à un facteur près G qui est indépendant de fn et de /i, puisque m et n sont entiers (et que le facteur G, ainsi que nous venons de le remarquer, ne change pas quand l'un des exposants augmente d'un nombre entier).
De même le second facteur, à un facteur constant près, c'est l'intéerale
p-y'-" (I — V )T'-i-P-'« dv.
Remarquons que toutes nos intégrales sont finies, au moins pour les valeurs de a, [S, y, y', qui satisfont à certaines inégalités.
Le troisième facteur est un terme du développement de
( 1 — a7)Y'-ti~i = V A,„ a?'"
et le quatrième est un terme du développement de
Nous trouvons donc
"y / du dv zi-y-'«(i — M)y-i-a-'i p-T'-" (i — p)Y'-i-P-'« A;„.r'» B„7'S
ou bien
^ i du dv u-1 {\ — u )y-i-=' v-r {i — V )y'- i"P A ou bien / / du dv i<.~y(i — uyi-^-y- v-r{ \ — p)y'^i-? i -^ — ;-
y-P-ir
ou enfin ■
(21) / I du dç w^^ç^iu — uv—'X)^{v — ui> — yY^
avec
c = y' — ,3 — I , d = •[ — I — et.
L'intégrale doit être prise tant par rapport à u que par rapport à r le long d'une ligne allant de l'infini à l'infini en passant entre o et I . Les autres solutions des équations (19) pourraient être représentées par cette même intégrale (21) prise le long d'autres contours convenablement choisis.
26i. Envisageons toutes les séries
( a, , /rt -f- ;i ) ( 3 1 , /?z -4- /z. )
OÙ les constantes a,, [ji, yt, y, sont égales à a, |j, y, 0 augmentés dun nombre entier. Je dis que toutes ces séries pourront s'exprimer
linéairement à l'aide de quatre d'entre elles, les coefficients de l'expression linéaire étant des fonctions rationnelles de x et de y.
Soient, en effet, 5, , 5o, 53, S/, quatre solutions des équations (19); la solution générale de ces équations sera une combinaison linéaire de ces quatre solutions; quand .r et r reviendront à leurs valeurs primitives, après avoir varié d'une manière continue, il pourra se faire que ces solutions ne reviennent pas à leur valeur primitive, si les variables x e.\y ont tourné autour d'un point singulier. Mais alors les solutions s,, io, ^35 ^4 auront subi une transformation linéaire à coefficients constants; c'est tout à fait analogue à ce qui se passe dans le cas des équations différentielles linéaires ordinaires.
Cela posé, considérons quatre systèmes d'équations analogues aux équations (19), mais où les constantes a, [3, y, y' aient des valeurs différentes, et supposons que la différence des valeurs de a pour deux de ces équations soit un nombre entier (et de même pour [3, y, y'); soient
les quatre solutions fondamentales de chacune de ces quatre équations. De ce que les différences entre les a, ... sont supposées être des nombres entiers, il résulte ceci, ainsi que le montrerait aisément l'étude des équations (19), c'est que, si x et jk décrivent un contour fermé,
subiront la même transformation linéaire que
Donc les déterminants contenus dans la matrice
seront multipliés par un même facteur. Les rapports de ces déterminants sont donc des fonctions uniformes et l'on verrait aisément (puisque nous n'aurions pas de point singulier transcendant) que ces fonctions uniformes sont rationnelles. Nos déterminants sont donc proportionnels à des fonctions
R, Ri, R2, R3, 1^1
qui sont des polynômes entiers en x et en j^; de sorte que nous aurons la relation
(22) R3i+R,5(il'-f-R2^<2'+R3-?'-HR4^'l''=0,
ce qui montre la possibilité d'exprimer linéairement toutes nos fonctions à l'aide de quatre d'entre elles.
On arriverait facilement au même résultat en partant des intégrales (21), ce qui permettrait de former elïectivement ces relations (22). Je reviendrai plus loin sur ce point.
Il semble d'abord que ce résultat, important pour la théorie des séries hypergéométriques les plus générales, soit sans intérêt dans le cas particulier qui nous occupe ; cas où ces séries se réduisent à des polynômes entiers. Mais il faut observer que ces polynômes peuvent être de degré très élevé, car le nombre m du n° 259 d'où dépend ce degré peut être très grand; tandis que les degrés des polynômes R de la relation (22) restent limités si les différences entre les a (ou entre les ^, les y, les y') restent des entiers limités, surtout si ces différences sont toutes égales à o ou à zt i; c'est ce qui permettrait d'établir entre les polynômes hypergéométriques de M. Appell un système de relations de récurrence qui en faciliterait considérablement le calcul.
Ces relations seraient analogues aux relations de récurrence étal)lies par Gauss entre ses séries hypergéométriques et que l'on trouvera à la page i3o du Tome III de ses OE livres complètes, éditées par la Société de Gottingen.
26o. Quels sont les points singuliers de la série de M. Appell, considérée comme fonction de x et de y. On peut les trouver de deux manières différentes, en partant des équations (19). 3e suppose que l'on ait différentié ces deux équations par rapport aux deux variables x e\,y\ on obtiendra quatre équations, où figureront
linéairement les quatre dérivées troisièmes de z. Les coefficients de ces quatre dérivées dans ces quatre équations seront
Oi
X — x^ — 2 xy
— ■2xy y—y-
— x'^ — -ixy
dont le déterminant est égal à
x^ y'^ {x"^ -\- y- -4-1 — '2 xy — ix — ay ) .
Les points singuliers nous sont alors donnés par ^ = o, j'- = o
et
x'^ H- jK'^ -I- I — ixj' — 'ix — ly = o, c'est-à-dire
(23) sjx^sjy ^ I.
On pourrait arriver au mêmerésultaten partant de l'intégrale (21); les points singuliers de la fonction définie par cette intégrale s'obtiendront en envisagent les quatre facteurs de la fonction sous
le signe /
M, p , u — uv — a? , V — uv — y.
Si l'on regarde un instant u et v comme des coordonnées rectangulaires et cju'on égaie ces facteurs à zéro, on obtiendra les équations de deux droites et celles de deux hyperboles. Il j aura un point singulier, si les deux hyperboles se touchent ou si trois de ces facteurs s'annulent à la fois.
Quand la variable x tourne autour de zéro, deux des solutions particulières des équations (19) ne changent pas et deux autres sont multipliées par un facteur constant; il en est de même quand la variable jK tourne autour de zéro. Quand j; ety tournent autour d'un point singulier satisfaisant à l'équation (aS), il y a trois solutions qui ne changent pas et une qui est multipliée par un facteur constant. On vérifierait aisément ces résultats etl'on déterminerait ces facteurs par l'étude des éc|uations (19).
Dans le cas particulier qui nous occupe, la série de M. Appell se réduit à un polynôme, elle n'a donc aucun point singulier et les points singuliers que nous venons de déterminer appartiennent seulement aux solutions des équations (19).
D'autre part, dans ces cas particuliers, nous avons
a? = u.^ = cos* - j r = V- = sin* - > ■1 " -i
d'où
Nous retombons donc justement sur l'un des points singuliers définis par l'équation (aS). Cela n'a pas d'inconvénient puisque ces points singuliers, comme je viens de le dire, n'appartiennent pas à notre polynôme, mais seulement aux autres solutions des équations (19). Nous verrons même bientôt qu'il résulte de là une simplification.
266. Jusqu'ici nous avons raisonné comme si aetv étaient deux variables indépendantes. Nous savons qu'elles sont liées par la relation
[JL -t- V = I
de sorte que le polynôme P, qui était entier en \x- etv-, devient un polynôme entier en v seulement. M. Appell a transformé les équations (19) en y remplaçant y par v- et x par (i — v)'^; il montre ainsi {Joarnai de Liouville, 1884), par un calcul que je ne reproduirai pas, que la solution générale z de ces équations (19) et par conséquent P satisfait à une équation du troisième ordre. Il forme cette équation (p. 4i8) et l'écrit :
(24) (v — v2)-3"'-i- (v — v") (a-1-6v) 5" -t- (c -i-<iv -H ev2)2'-t- ( /v -i-y0)5 =0,
s', 5", ... sont les dérivées successives de z par rapport àv; les constantes «, b, . . . ont pour valeurs
c = (2y'— 1) (A — Y) = (2A-+- 1) (/cH-5),
d= — 2(2B + 2Ay' -y') = — 4B-h4('t^ I) (h
A = a-t-p-Hi, B = a[3 = — ^(/-hs).
Comment se fait-il que nos équations (19), qui admettaient quatre solutions indépendantes, se trouvent transformées en une équation du troisième ordre qui n'en admet plus que trois? Cela est aisé à expliquer. En effet, la relation tj. -[- v = i équivaut à la relation (28) qui définit un des points singuliers. Quand on tourne autour de ce point singulier, trois solutions restent holomorphes, tandis que la quatrième est multipliée par un facteur constant, elle devient donc nulle ou infinie (suivant les valeurs de a, etc.) au point singulier; donc, quand on fait a == i — v, l'une des quatre solutions disparaît et il n'en reste plus que trois.
267. Dans le cas particulier de 5 = -? il se produit une grande
simplification, comme l'avait montré M. Tisserand et comme l'a retrouvé depuis M. Appell par un calcul que nous allons résumer. Désignons toujours, en effet, par les lettres/?, ^, r, s, t les dérivées premières et secondes de z par rapport à :c et à j>^, et faisons
il viendra
dz
-y- 7 = ^{r\L- — ■2 5,uv -4- /V-) -H- 'î{p -i-q).
En éliminant /■, s et t entre ces deux équations et les deux équations (19), et se rappelant que [x + v ^ i , on trouve
{25 his) v(i — v) -r— -+-(Av-|-B)-7^ H-G.5 = 2D(oa-t-ûfv)
OÙ A, B, C, D sont des constantes, et où
en remplaçant a, !3, y, y' par leurs valeurs
et nous rappelant que
8o CHAPITRE XVII I.
nous trouverons
Donc, pour s= -, noire inconnue z satisfait à l'équation cliiTé-
rentielle linéaire du second ordre que l'on obtient en égalant à zéro le premier membre de (20 bis). On reconnaît la forme des équations auxcjuelles satisfont les séries hypergéométriques de Gauss à une variable.
Donc dans le cas de s = -, notre polynôme P se réduit à une
série hyper géométric[ue de Gauss à une seule variable. Il arrive alors qu'une seconde solution des équations (19) s'annule identiquement pour UL H- V = I. L'élimination de r, 5, t entre les équations (19) et (aS) présente quelques particularités. Si l'on ajoute les équations (19) et seconde équation (20) respectivement multipliées par
on verra disparaître à la fois les termes en /', s eX. t si l'on suppose
[ji -(- V = i :
il nous restera donc après l'élimination non pas une, mais deux équations dont la combinaison fournira (20 bis).
268. Supposons maintenant ^^ ^ 1. Il semble d'abord que cela n'ait pas d'intérêt puisque s doit toujours être la moitié d'un nombre impair. Mais on verra bientôt que la simplification c|ue nous allons obtenir aura une application importante.
Dans le cas de .s = i , le polynôme P devient, pour ij. = i — v, non plus un polynôme hypergéométrique de Gauss a une variable^
ainsi que cela arrivait pour s^^-, mais le carré d'un pareil polynôme.
En effet :
La série hypergéométrique de Gauss satisfait à une équation différentielle du deuxième ordre, son carré satisfait donc à une équation du troisième ordre qu'il est aisé déformer. Si nous cher-
LES POLYNOMES DE TIPSEUAND.
chons à identifier cette équation avec l'équation (24), nous verrons que l'identification est possible dans le cas de s = i.
Ce résultat, dû d'abord à Tisserand, a été démontré par S tieltj es d'une façon fort élégante. Reprenons les équations (19) et faisons-y un changement de variables en posant
^ = (1 — p)(i — ?'), 7=pp';
nous verrons que, dans le cas de s^ i, les équations (ig) se ramènent à deux équations linéaires du deuxième ordre, dont l'une
dz d'-z ,. ,, . ,
ne contient cjue p, z, — , -r— ;? tandis que 1 autre ne contiendra que
dz d- z p', ^, -^,, -T-j-^- On passe d'ailleurs d'une de ces équations à l'autre
en accentuant partout la lettre 0.
La première de ces équations est une équation différentielle linéaire ordinaire entre z et p, et l'on voit facilement que c'est j)récisément celle qui définit une série hjpergéométrique ordinaire de Gauss. Si donc z =■ F(p) est une solution de cette équation, on satisfera au système des deux équations en faisant
On conclura de là cjue notre polynôme hypergéométrique à deux variables est à un facteur constant près le produit de deux polynômes hypergéométriques à une variable, l'un en p, l'autre en p'.
Faisons maintenant
FH-v = I, c'est-à-dire
d'où
JK = p^ = V2, a7 = (l 0)2— |j(.2; p=v,
il viendra
On voit que, quand on tiendra compte de la relation
notre polynôme hypergéométrique à deux variables deviendra à un facteur constant près le carré d'un polynôme hypergéométrique à une variable en v. c. q. f. d. P. — II. 6
82 CHAPITHE XVIII.
Je renverrai, pour le détail du calcul, au Traité de Mécanique céleste de Tisserand, t. I, p. 488 et suivantes.
269. Pour comprendre l'application possible du résultat précédent, reportons-nous avi commencement du Chapitre; soit
F--5 = ( — j =(i — aacosiT -H a-)-^.
Nous avons trouvé
P étant le polynôme hjpergéométinque à deux variables que nous venons d'étudier. Dans le cas de 5 = i , nous venons de voir que ce polynôme est à un facteur constant près le carré d'un polynôme hypergéométrique à une variable. Mais dans ce cas on a
(I — aE'<^) il — aE-'-J) E'c? — E -'<7
E'cr
E-'ff "1 I — a E-'<î J
11 est aisé de développer le dernier membre suivant les puissances de a et l'on trouve
^ 'V^ sin (m -t- i) cr
Â^ sin?
Donc le polynôme P n'est autre chose que le coefficient de
dans
sin ( m -^ i)(T
Sin a en supposant
•2 coso- = IJ,(^ 4- z—^ ) -f- V ( w -t- tv~' ).
Ce coefficient s'exprime donc à l'aide des polynômes de Gauss (polynômes hypergéométriques à une variable).
Supposons maintenante quelconque et revenons à la formule (i), elle peut s'écrire
(.6) F- = K-^y è<^-) ^'"^^^-^^^^ - y èi^> -^'"^^'-'^^ .
LKS POLYNOMES DE TISSERAND. 83
Or nous venons de voir que les expressions de la forme
sin (A" -I- t)a sin <y
pouvaient se développer à l'aide des polynômes de Gauss; il en est donc de même de F~^.
