On peut encore opérer d'une autre manière. Ecrivons

F-^ = ([ + a2 )-*■(! — 2^1 ces a )--'•■, où

il reste à développer

(i — 2 [3 ces a)-*".

Il est évident que nous obtiendrons ce développement en nous reportant aux formules (2) et (3), en j remplaçant a par (3, et en n'y conservant que les termes où e = o.

Or, ces termes seront ceux où

/Il = h -h k -i- p -h g ,

c'est-à-dire ceux où l'exposant de [i (qui remplace a) est la somme de ceux de itetdev; il suffira donc de conserver, dans le polynôme P, les termes du degré le plus élevé en a. et v. Nous avons trouvé plus haut

(27) F-^' =^Pa'«(— ;jLZj/' (— V (V)'t

et nous trouvons maintenant

(.,8) F-- = (1 + a2)-.2^ P„ l^y^-^/j {-u.zy^[~,^yc^

Po étant ce que devient P quand on n'y conserve que les termes du degré le plus élevé en a. et en v; or, nous avons, à un facteur constant près,

jLà{C,p){c\ q) il, p){l, q)^

a, 6, c, c' étant des constantes et b entier négatif. Il faut conserver

84 CHAPITIIE XVIII.

les termes du degré le plus élevé, c'est-à-dire faire

/> -H gr = — 6 ; d'où

{b,p-^q)=±{-by.

Le facteur

est également constant.

de sorte que (c', ^) est en raison inverse de

De même {i, g) est en raison inverse de {b,p); nous avons donc, à un facteur constant près,

c'est-à-dire que Pq est égal à v~-* multiplié par un poljnome hjpergéométrique de Gauss en ^ = cot* -•

Si nous rapprochons les relations (26), (2'^) et (28), nous pouvons résumer nos résultats comme il suit :

Nous voulons développer à"-^ et nous cherchons le coefficient d'une exponentielle quelconque

]^Hpu + p' u')

Cette exponentielle peut être toujours mise sous la forme

ce coefficient étant divisible par ^^ v^ je l'appellerai

M iJ> vt ;

M dépend de a, de ^j. et de v. Je puis le développer :

i" Suivant les puissances de a, le coefficient de a'" est alors un

polynôme hypergéométrique d'A.ppell à deux variables en cos'*

sin'' - , qui se réduit à un polynôme de Gauss en sin- - pour ^ ^^ ,-•

•2" Suivant les coefficients de Laplace bf' qui sont des fonctions de a; le coefficient de b^''^ est alors la différence des carrés de deux

polynômes de Gauss en sin- -; 3° Suivant les cjuantités

(i -+- a2)'« + 4- ' le coefficient de chacune de ces quantités est alors égal à

s[l-ii>{m-h-/à

multiplié par un polynôme de Gauss en cot' -•

Dans les trois cas le calcul des polynômes de Gauss peut être simplifié par les relations de récurrence dont j'ai parlé plus haut et que Gauss a démontrées dans le Tome III de ses Œuvres complètes^ p. i3o et suivantes.