LES OPKRATEURS DE NEWCOMB

sera ce qu'on appelle un opérateur ; c'esl un symbole d'opération. Si j'appelle D^ cet opérateur, je pourrai écrire

(i) F(a7^- î) = F(a7) -H An, F + A.snoF +. . ..

Cela nous indique déjà l'esprit de la méthode; mais nous allons voir comment on peut former ces opérateurs. A cet effet, je fais

F(^) = EÀ-r; d'où

F(a7M-£) = E'^-^E>^£, nA-E>'-^= E>^^(è,X-i-...-H6/,X^-).

En faisant donc F(a7) ^ F^-^ dans la formule (i), nous trouvons

en convenant de remplacer D'" par /"* et de faire EIq = i .

En d'autres termes, on obtiendra l'opérateur Il^t en développant E'^- suivant les puissances de h comme si D était une quantité ordinaire et en conservant le coefficient de h^.

Nous pourrions donc regarder E^" comme un opérateur et écrire

Envisageons maintenant une fonction de deux variables F(j?, 9) et cherchons à développer F(a^ + s, y -i- e') avec

£ = ai h -i- a.2 h- -(- as /i^ | ^ s' = x\ h -+- a'g A'2 -H ag A3 + . . . .

Nous pourrons opérer de la même manière, nous développerons Y[x -\- t, y -\- s') suivant les puissances de s et de e' par la formule de Tajlor; nous développerons ensuite £"»£'« suivant les puissances de h et nous ordonnerons par rapport à A, nous trouverons ainsi

{\ bis) F(a7-H£, jK-l-£'} = V A^'^'n^.F,

où n^ sera un opérateur qui prendra la forme d'un polynôme entier en D et en D', avec cette convention que

est le signe d'une opération qui consiste à différentier p fois par rapport k x el q fois par rapport à y.

Pour déterminer ce poljnome n^, il suffira de prendre pour ¥{x^y) la fonction particulière E'^-*+I^-^\ ce qui, par une analyse toute pareille à celle qui précède, donnera

en remplaçant D et D' par A et y. dans le second membre. Nous pourrons donc écrire symboliquement

{ibis) F(ip-v-£,jK-H£') = Ei>'+i''='(F)

en regardant E^^"^^'' comme un opérateur.

272. On pourrait supposer que t et z' dépendent, non d'une seule variable A, mais de deux variables h et li' ou d'un plus grand nombre, et qu'on veut développer F(:c + s, k H- s') suivant les puissances de h et de h'] il n'y aurait rien à changer à ce qui précède.

On retrouverait la formule (2 bis) sans aucune modification; quant à la formule (i bis) il faudrait l'écrire comme il suit :

Examinons de plus près l'opérateur [I,y, je dis qu'il y aura un cas où l'on aura

de sorte que notre opérateur à double indice pourra être regardé comme le produit de deux opérateurs à simple indice. C'est le cas où £ est égal à une fonction de h seulement, plus une fonction de II' seulement, et où il en est de même de e'. Supposons, en effet,.

£, et z\ dépendant de li seulement, tandis que £0 et s', dépendent de h' seulement. On aura alors