Appliquons ceci au développement de

Nous prendrons pour origine des longitudes dans les plans des deux orbites la ligne commune des nœuds; la longitude moyenne est égale à l'anomalie moyenne plus la longitude du périhélie (qui ici se réduit à la distance du périhélie au nœud). Mais, au Heu de prendre pour variables la longitude moyenne et la longitude du périhélie, ou bien encore l'anomalie moyenne et la longitude du périhélie comme on le fait d'ordinaire, nous pouvons évidemment prendre la longitude moyenne et l'anomalie moyenne.

Nous considérerons donc - comme une fonction de q variables

qui seront, outre l'inclinaison mutuelle des orbites: i" les logarithmes des grands axes; '^." les excentricités; 3" les longitudes moyennes; 4" les anomalies moyennes.

Nous aurons donc, après développement,

(3) ~ = 'V Ae'«e''"'E''0-'î;+p's'+'7/+'/'/')

où />?, /«', yj), />', y, q' sont des entiers, où / et V sont les anomalies moyennes, Ç et Ç' les longitudes moyennes, et où A est une fonction de l'inclinaison et des logarithmes des grands axes.

Si les excentricités étaient nulles, les longitudes moyennes se confondraient avec les longitudes vraies, les grands axes avec les rayons vecteurs; et la distance ne dépendrait plus des anomalies moyennes / et /' (mais seulement des grands axes et de ^, Ç). Donc dans notre développement (3) disparaîti'ont tous les termes dépendant de e, e', /, /', c'est-à-dire tous ceux où les entiers m^ ///', q^ q' ne sont pas nuls.

90 CHAinriiii xix.

Mais, dans le cas des excentricités nulles, le développement (3) est connu, c'est celui que nous avons obtenu dans le Chapitre précédent; et il s'agit d'en déduire le développement dans le cas général.

Or il est clair que A ne peut dépendre que des longitudes vraies et des rayons vecteurs. On obtiendra donc le développement dans le cas général, en partant du développement pour les excentricités nulles et en y remplaçant les logarithmes des grands axes

loga, loga' et les longitudes moyennes

par les logarithmes des rayons vecteurs

et les longitudes vraies

11 suffit d'appliquer les principes du numéro précédent, en faisant jouer à - le rôle de F{x,y), à

loga, loga', Ç, Ç',

le rôle de x et y, k

logr, log/-', P, p',

celui de JC + £, j/ H- s', et par conséquent à

(4) log^, log^, v-Z, P'-C

celui de e et s'. En effet, ces quatre quantités (4) sont développables suivant les puissances de

eE'/, eE-'/, e'E'/', e'E-'''

qui vont jouer le rôle de h et h' et ne dépendent d'ailleurs pas de rt, a', ^, ^'.

Soit donc F le développement pour les excentricités nulles et