LES OPÉRATEURS DE NEWCOMB. QI

F, le développement dans le cas général; soient

des indices de difierentiation se rapportant à log«, î;, loga', V;

nous aurons pour l'expression analogue à J)£ H- D's'

D log ^ + D, (c. - O + D' log ^ + d; (</- C), de sorte qu'on aura symboliquement par la formule (2 bis) : (5) F.i= /-V (''-IVeDiC-O + d'.k.-î'IF.

L'expression

peut se développer suivant les puissances de

en faisant le calcul comme si D, D', D,, D'^ étaient des quantités ordinaires; les coefficients du développement sont alors des polynômes entiers par rapport à D, D', D,, D', . Soit alors

le développement ainsi obtenu; ce que je puis écrire :

en écrivant m, rti\ q^ q' au lieu de a+ [i, a'+ ^', a — [3, a — fj' . Le coefiicient II sera un opérateur qui dépend des quatre nombres m, /?i', q^ q\ ce que nous mettrons en évidence en écrivant

qq'

INous aurons alors

02 CIIAPITKE Xl\.

Maintenant F c'est le développement dans le cas des excentricités nulles, tel qu'il a été obtenu au Chapitre précédent. Soit

ce développement. Nous sommes conduits à calculer

pour appliquer cet opérateur à la fonction A-E'^^^+^'''^ il faut faire subir à cette fonction diverses différentiations par rapport à

loga, loga', !^, t' ;

mais, pour la différentier par rapport à ^ ou à "Ç', il suffit évidemment de la multiplier par ip ou ///. Nous pouvons donc l'écrire

Dans le premier membre H""" a le même sens que plus haut; c'est un polynôme entier par rapport à D, D', D|, D, ; dans le second membre, c'est le même polynôme, mais où les symboles D,, D'i sont remplacés par les quantités ip et ///. 11 ne contient donc plus que deux symboles d'opération D et D' et il est appliqué à la fonction A. qui ne dépend plus que de logr,t et loga'.

11 reste finalement

1 = F, = y e'«e'/«'E'./'ï;+//c+7/+'/'/'in;';//,' A.

Le coefiîcient du terme en

g/«g'/«']j;((/j;;+//C-i-'7/+7V) est donc

A désignant le coefficient du terme en

lequel, ne dépendant pas des excentricités, a éfé déterminé au Chapitre précédent.