Nous avons vu au n" 240 qu'il est aisé de passer du
LES OPÉliATEURS DE NEWCOMB. 93
développement procédant suivant les anomalies excentriques au développement procédant suivant les anomalies moyennes. Nous pouvons donc nous proposer, au lieu de former directement ce dernier développement, d'j parvenir indirectement et par l'intermédiaire du premier. C'est ce c[u'a fait M. Newcomb.
A cet effet nous prendrons comme variables l'inclinaison mutuelle des orbites el, pour chaque planète, le logarithme du grand axe, l'excentricité, l'anomalie excentrique a et ce cju'on pourrait appeler la longitude excentrique^ c'est-à-dire l'anomalie excentrique, plus la longitude du périhélie, toujours comptée à partir du nœud. Nous chercherons alors à former le développement
(3 bis) — = ^ 4e/«g'm'£;'(/rr,-)-//-^'+^M-l-(ir'(i')
où u et «' désignent les deux anomalies excentriques, r, et r/ les deux longitudes excentriques.
27o. M. Newcomb introduit encore une autre simplification en posant
Il cherche ensuite à développer, non plus suivaut les puissances de e et e', mais suivant celles de s et s' de façon à obtenir le développement
(3 ter) — =7 A£'«e''«'E'</-"i-*-/-'''l '+'/«+'?'"').
11 est clair qu'il est aisé de passer du développement (3 ^er) au
développement (3 bis^ et de là au développement (3).
Si nous posons
e = sincp,
il vient
es e = lang - •
Remarquons en passant que les éléments ccuionicjues ç, etv], du n" o8 sont proportionnels à sin -•
^276. U y a des termes des développements (3), (3 bis) et
94 CHAPITKE XIX.
(3 ter^ qui sont connus; ce sont ceux où m = rri = ^ =: ^' = o,
les seuls qui subsistent quand les excentricités sont nulles; nous les avons déterminés au Chapitre précédent. Ils sont d'ailleurs les mêmes pour les trois développements, sauf la substitution de t, etYi'
à c et x:.
De ces termes connus, il s'agit de déduire les autres; et, pour cela, que nous adoptions les variables du n" 274 ou celles du n" 275, il nous suffira d'opérer tout à fait de la même manière qu'au n" 273; on n'aura qu'à faire jouer à
e, e', 7), r/, u. u' ou à
le rôle que jouaient au n" 273 les quantités
On trouvera comme au n" 273 que le coefficient de
Qin q' m' J^H/rr^-hp' r^'+iju+q' u')
ou celui de
£/» g' /II' i^i{/>ri-t-/y-q'+qii-t-q'u')
sera
A désignant le coefficient du terme en
tandis que 11',"^" est un opérateur qui n'est autre chose que le coefficient de
g/n g' 'II' \^Hqu-^q' a')
ou de
-/« g'w' '^i{qil-\-q' u')
dans le développement de l'expression symbolique
(7) ( "")(""' ) E''/^(''-ri)-+-i7/(i''-T)')^
suivant les puissances de cE-'", e'E-'"' ou celles de sE-'", s'E-'"'. On remarquera que, dans l'expression (7), j'ai remplacé D, etD',
LES OPERXTEURS nK NEWCOMB. Ç)!
par tp et ip', ainsi que nous avons démontré qu'on devait le faire à la fin du n'' 273.
Seulement les opérateurs II sont beaucoup plus simples quand on adopte les variables du n° 274 et surtout quand on adopte celles du n" 27o.
277. Il y a d'abord une remarque que nous devons faire et qui restera vraie que l'on adopte les variables des n"^ 273, 274 ou 27o. L'expression symbolique (6) est le produit de deux autres
Il en est de même de l'expression (^), à la condition bien entendu de changer Ç et ^' en y; etrj'; quant à Dt et D\ ils peuvent être remplacés par ip et ip', ainsi que nous l'avons dit.
La première des deux expressions (8) ne dépend que de eE— '', ou de eE-'", ou de sE-'", la seconde au contraire ne dépend que de e'E-'^' ou de e'E-'«', ou de e'E-'"'.
Appliquant en conséquence une remarque faite aun" 272, nous voyons que l'opérateur II à quatre indices peut être considéré comme le produit de deux opérateurs à deux indices
\9) qi' ~~ '/o ^^0,7' •
Le premier facteur dépend seulement de D et deD|, c'est-à-dire de D et de /?; le second de D'etdeD'j, c'est-à-dire de D' et dey^'. Mais de plus nous avons une relation entre D et D'. En effet,
et de même
np ^F d¥
DF = —j = «-7—
a\o"a (la
da
Mais la fonction - est homogène et de degré — i en « et en d .
Celte propriété n'est altérée ni par l'opération D, ni par l'opération D', elle appartiendra donc à toutes les fonctions auxquelles nous aurons à appliquer soit l'opérateur D, soit l'opérateur D'; de sorte qu'on aura
da da
g6 CHAPITRE XIX.
c'est-à-dire
Cela nous permet d'exprimer D' en fonction de D de sorte que nos opérateurs II seront des polynômes entiers par rapport à l'opérateur simple D et par rapport aux entiers p et p' .
278. On rencontre de plus grandes simplifications encore quand on adopte les variables du n"27o. On a alors, en effet,
/■ I — it cos M -f- e-
— =1 — ecosu= :- >
d'où
Reste le facteur
EDi
On observera que, en vertu de l'équation des aires,
r^ —r = /la'"' i/ [ — e-, dt ^
r- dv /
a^- dl
d'autre
part
dl r —r- = ' — 6 cos u = — , au a
d'où
dv
du
~ I — eCOSK I — ■2£C0S«-i-£- 1 — £ E'" ' 1
dv du
et en intégrant
'' ' ^ mi ^ mi
On voit que
se décomposera en deux facteurs, le premier dépendant seulement de sE'" comme le deuxième facteur de ( - ) , le deuxième dépen-
dant seulement de sE '" comme le troisième facteur de ( - ) . Mais
LES OPERATEURS DE NEWCOMB. ny
il vaut mieux opérer comme il suit. Considérons l'expression
Si la longitude du périhélie est, pour un instant, supposée nulle, elle est égale à
cos u — e H- î sin ii\/ \ — e^ — ^
OU à
■(i — sE-'")-.
On aura donc, quelle que soit la longitude du périhélie,
Reprenons l'expression symbolique
elle pourra s'écrire
(i -H £^)-i'(i — £E''^)D-/'(i — eE- '■")» + /'.
Or, on a par la formule du binôme
(, - £E'-")i>-. = 2 (A^^IZZ±I1^( e^^-'E'--^-'",
la notation (D, k) ajanl même sens qu'au Chapitre précédent. Ces formules nous donnent immédiatement nos opérateurs H. Si, en effet, nous tenons compte seulement d'abord des deux derniers facteurs et que nous posions
(i — £E'")0 + /^(i — £E-'«)D-t-p = 'V H^"£'"E'9«, P. — II. 7
98 CHAPITRE MX.
il viendra
/ „ m -^ q m ^ a \ f m — q m -^ q ( D— />-M -^, ^ ) (D^-/j-vi — ^, 2-
et ensuite
,1 "'/ "^ oi '/
ou en mettant en évidence le terme général
On voit que tous nos opérateurs se présentent sous la forme de polynômes entiers en D.
M. Cliessin préfère, au lieu de passer par les intermédiaires des développements (3 Ler) et (3 6/5), former directement les opérateurs qui donnent le développement (3). Ces opérateurs sont encore des polynômes en D, mais dont les coefficients sont beaucoups plus complicjués; mais M. Chessin a donné dans V Astronomical Journal àes relations de récurrence qui en facilitent l)eaucoup le calcul.
279. Une fois les opérateurs formés, il est aisé d'obtenir les développements eux-mêmes. Au Chapitre précédent, nous avons
développé - en supposant les excentricités nulles et cela sous plusieurs formes différentes. Nous avons trouvé d'abord
B étant égal à un polynôme de Gauss en v = sin--j multiplié par un facteur numérique et par des puissances de [j. = cos- - et v^sin--- C'est la formule (2'j) du Chapitre précédent. 11 s'agit alors de voir ce que c'est que
LES OPERATEURS DE NEWCOMR. 99
on trouve
Il suffit donc de remplacer D, D', D, D', par m, — (m + i), ip, ip' ; notre expression (6) devient tout simplement
et le développement (3) est ramené au suivant : I ^^ r'"-
- = > B -, ^ikp^+iy^')
formule d'ailleurs évidente sans tant de détours.
Nous avons trouvé aussi une autre forme de développement
1 jLd a' j '
P + P' P-P' où B est égal à jjl - v ^ , multiplié par la différence des carrés de
deux polynômes de Gauss. C'est la formule (26) du Chapitre précédent. Cette fois l'emploi des opérateurs se justifie. Il faut appliquer nos opérateurs II à
et pour cela il faut savoir appliquer à cette expression l'opérateur simple D une ou plusieurs fois; or, on trouve
et les expressions
a' di.
s'exprimeraient de même très simplement à l'aide des dérivées supérieures du coefficient de Laplace 6,'^'. Or nous avons appris
au n" 250 à calculer par des relations de récurrence les dérivées successives des coefficients de Laplace. Le problème peut donc être considéré comme entièrement résolu.
