CONVERGENCE DES SERIES. II

c'est-à-dire si la distance périhélie de l'une des planètes est plus grande que la distance aphélie de l'autre.

288. Le théorème que nous avons appliqué à la fin du numéro précédent est analogue à celui que nous avons rencontré au n" !28o et pourrait s'établir de la même manière. Mais il vaut mieux le rattacher à un théorème d'Analyse.

Si, dans un domaine D simplement connexe, une fonction de deux variables F(x,y) est holomorphe, s^wï peut-être pour les points qui satisfont à une relation analytique

et si un de ces points

r=ro, a7 = o(jKo)

est ordinaire, il en sera de même de tous les autres.

En effet, d'abord si ce point est ordinaire, il en sera de même de tous les points voisins.

Décrivons maintenant dans le plan des x un contour très petit, autour du point douteux x =■ Z)[y). Soit x = 'i'(,r) un des points du contour. Nous pouvons supposer que le contour se déforme d'une manière continue quand y varie d'une manière continue, et que '^{y) est une fonction analytique.

Je dis d'abord que Y(^x,y) est une fonction uniforme.

Supposons, en effet, qu'elle ne le soit pas, que F,(.r, )/■) et ^^{x^ y) soient deux de ses déterminations, et que l'on passe de l'une à l'autre quand x décrit le contour. Alors

Fi[J^(jK),^]-F,[4.(j.),^] = 0(j^)

serait une fonction analytique de y, mais cette fonction serait nulle pour j)''= l'o et pour les valeurs voisines, puisque la fonction Y[x^y) est uniforme pourj)/- = yo et pour les valeurs voisines- La fonction B(j^) est donc nulle pour toutes les valeurs de y et, par conséquent, ¥(^x,y) est uniforme pour toutes les valeurs dejK- La fonction F étant uniforme, la condition pour que x ^=. o{^y') soit un point ordinaire, c'est que l'intégrale

x"^ V {^x^ y) dx.

Il8 CHAPITRK XX. — CONVERGHNCI-: DES SÉRIES.

prise le long du contour, soit nulle quel que soit l'entier positif /«.

Cette intégrale est une fonction analytique de y\ elle est nulle pour K =jKo et pour les valeurs voisines puisque x = 'f (jKo) est un point ordinaire ainsi que les points voisins. Elle est donc identiquement nulle, et le point x = 'f (j") est ordinaire quel que soit f.

Le théorème s'étendrait aisément au cas où tous les points de D seraient ordinaires, sauf peut-être ceux qui satisfont à l'une des n relations analytiques

^ = ?i(7)> ^ = ?2(r), ..., x = ^aiy)-,

et où l'on saurait, d'autre part, que le? points

sont ordinaires.

Nous nous bornerons aux cas particuliers simples traités plus haut, bien que les mêmes procédés soient applicables au cas général. Nous mentionnerons toutefois que M. Féraud a traite d'autres cas particuliers dans le Tome X des Annales de l' Observatoire de Bordeaux .