Reprenons les équations du n" 2(S
/ .D r r cix dv
, , . ,. r r QE'-i dxdv
(2) — 4tt2A,„,„'= / / ,
qui définissent les coefficients du développement, soit suivant les anomalies excentriques, soit suivant les anomalies moyennes. Rappelons que
2 0 = me [x j -f- m' e' [y
Ces coefficients A et B sont des fonctions des éléments, par exemple des grands axes, des excentricités et des inclinaisons et l'on peut se proposer Fétude analytique de ces fonctions. Je me propose de montrer :
i" Que ces fonctions satisfont à des équations différentielles linéaires, dont les coefficients sont des fonctions rationnelles des éléments.
2" Qu'il y a entre ces fonctions, ou du moins entre les B, des relations de récurrence linéaires dont les coefficients sont des fonctions rationnelles des éléments.
290. A cet effet, je vais envisager une expression plus générale définie comme les A et les B par une intégrale double.
rj!0 CHAPITRE XXI.
Soit (3) ^^rrHEO^
une intégiale double prise le long de contours fermés.
H, 0 et F sont des polynômes entiers en jr, — > y^ - dont le
degré est respectivement A", co et /. Quant à 5, c'est la moitié d'un entier impair.
Avant d'aller plus loin, il faut que j'explique ce que j'entends
par le degré d'un polynôme en ;r, - •. j-, - • Un pareil polynôme
est de la forme
^Xx'^yb^
a et b étant des entiers positifs ou négatifs. Je dirai c|u'il est de
degré m si
Un polynôme de degré m contient (am -h i)- coefficients arbitraires, puisque a de même que b peut prendre 2 m -\- i valeurs.
Ceci posé, je suppose que Q et F soient des polynômes donnés, mais que nous fassions varier H. Il y a (a A + i)-^ polynômes H de degré h linéairement indépendants, mais pour quelques-uns d'entre eux la fonction U est nulle. En effet, si P est un polynôme, l'intégrale
-; =, — - dx dy
dx yF^-<-^ ^
sera nulle. En effet, intégrons d'abord par rapport à x, nous trouverons
peq
Comme nous intégrons le long d'un contour fermé, cette quantité reprend la même valeur aux deux limites et l'intégrale est nulle.
On verrait de même que, si Q est un polynôme, l'intégrale
est nulle. Il suffirait d'intégrer d'abord par rapport à y. Donc
RELATIONS DE RECURRENCE ET EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 121
n sera nul si
HEQ ^ PEU d QEÛ
xyY^ dx j)/F^'-i dy irF*"-i
c'est-à-dire si
idV ^ dù^^ , ^ dF ^ dx dx dx
dO ^ dQ ^^ , dF ^
Si P et Q sont de degré />, nous voyons que le deuxième membre est de degré p -\-/-\- m. Nous devons donc avoir
p ^ h — f — to .
Il y a donc (2 h — 2/" — 2(0 + 1)2 polynômes P distincts et autant de polynômes Q. Nous pouvons donc former
i{'xh — '2.f — 2 OJ + 1 )-
relations de la forme (4). Mais ces relations sont-elles distinctes; ne peut-il pas arriver que le deuxième membre de (4) soit identiquement nul ? Cela arrivera si
d PEU d QK^
dx yF'^-'^ dy a?F^"i
c'est-à-dire si
QEQ dx PEQ dy F^-i ~x F^-i ^
est une différentielle exacte; je représente cette différentielle par
SFû
ce qui donne
1 d<> du , dF
] dx dx dx
i r» ^S^ dÇi ^^ . dF ^
Je dis que S est un polynôme entier (en x^ -' J^5 — ) 6t d'abord
que c est une fonction uniforme.
CHAPITRK XXI.
i" L'intégrale / dU ne présente pas de périodes cycliques.
Supposons que l'on calcule cette intégrale en regardant y comme une constante et en faisant décrire à x dans son plan une courbe fermée, à l'intérieur de laquelle il y ait un nombre pair de valeurs de^ telles que F= o. Il en résultera que quand on aura décrit cette courbe fermée y/F et F^~' reviendront à leur valeur initiale. L'intégrale prise le long de ce contour serait une période cyclique
fdU.
Cette période, si elle existe, sera une fonction dey. Je dis que cette fonction devra se réduire à une constante. Si en effet la fonction U admet deux déterminations U' et U", on aura
dj- dy y F-^-i
et, par conséquent.
Si l'on se reporte maintenant à l'analyse de M. Picard dans son Ouvrage sur les fonctions algébriques de deux variables (t. I, p. 88 à 90), on verra que cela ne saurait avoir lieu sans que la période cyclique soit nulle si le polynôme F est le plus général de son degré et dans beaucoup d'autres cas encore.
2" L'intégrale ne présente pas de période polaire. Elle pourrait
en présenter si la fonction sous le signe / devenait infinie, mais
cette fonction ne peut devenir infinie que pour x = o, ou y = o, o u F = o .
Pour F =: o, la fonction est infiniment grande d'ordres — i à moins que F ne soit divisible par un carré parfait, ce qui n'arrivera pas si F est le polynôme le plus général de son degré. La fonction n'étant pas infinie d'ordre entier, il ne peut résulter de là une période polaire.
Soit maintenant j; = o. Développons la fonction sous le signe /
suivant les puissances entières positives et négatives de x de telle façon que l'on ait
les C/„ étant des fonctions de y, alors nous aurons une période
polaire cjui sera
En vertu de l'écjiiation (6), cette période devra être une constante indépendante dejK- Je dis que cette constante est nulle. Soit j^ =J>^o Line des racines simples de réc[uation
F( G, JK) = o.
Bien entendu, avant de faire x = o, il faut multiplier F par une puissance convenable de x de façon cjue F reste fini pour x ^^ o. Faisons varier j- de façon c[ue cette variable revienne à sa valeur
initiale après avoir tourné autour de Vq ; alors y/F se changera
en — \/b , -— en j- , et, par consec[uent, L., en — L, ; mais,
comme C( est une constante, on a
C—i ^ — G i, d'où
Il n'y a donc pas de période polaire pour ^ == o et l'on verrait de même qu'il n'y en a pas pour j^ = o.
Le raisonnement précédent ne s'appliquerait pas toutefois si F se réduisait à un carré parfait pour ^ = o.
'à" Mais S p lurrait encore ne pas être uniforme pour une autre cause. Supposons que l'on prenne Tintégrale U le long d'un contour enveloppant un nombre impair de valeurs de x qui annulent F. Alors \J¥ se change en — \/F cjuand on parcourt ce contour.
Donc Use change enU'=:/i — U, h étant une constante cjui ne peut dépendre de i . Ici l'éc^uation (6) ne s'applique pas et la différence
U — U' n'est pas indépendante de y] car, y/ F ayant changé de
signe, --j— el—i— ne sont pas égaux, mais égaux et de signe contraire,
de sorte que
dlj' du dh
dy ^ dy' dy" '
Ainsi h est une constante absolue. De plus, si nous considérons un autre contour analogue cjui change U en U" = h' — U, je dis
que les deux constantes h et h' sont identiques ; sans quoi l'intégrale admettrait la période h' — h.
La constante h étant la même pour tous les contours, nous pouvons choisir la constante arbitraire d'intégration de façon que h^o. Alors notre intégrale ne sera susceptible que de deux valeurs U et — U. D'ailleurs le signe de U changera en même
temps que celui de y/F, de telle sorte que — = et par conséquent S
est une fonction uniforme.
4" S est un polynôme entier en
fi
En effet, l'intégrale et S ne peuvent devenir infinis que si les
dérivées
dU d\J
dx dy
deviennent infinies, c'est-à-dire si
a? = co, y = co, X ^= o, y = o, F = O.
Pour F = o, les dérivées deviennent infinies d'ordre s — i et par conséquent U devient infini d'ordre s — 2 et S reste fini.
Voyons comment se comporte S pour x très grand. Les termes prépondérants de F, Q, 0 se réduisent respectivement à x^^ xP et x^ multipliés par une fonction dey(f^p et w étant les degrés de
F, Q, Q). Donc -j— réduit à ses termes prépondérants se réduira à
et U à
et enfin S à
■ïliy)xP-f-'^,
6(jk) et 'ri(y) étant des fonctions dey faciles à former.
On trouverait le même résultat en cherchant comment S se comporte pour ^ = o ; il suffirait de changer y, p et w en — f, — p et — oj. On raisonnerait encore de même pour y très grand ou très petit.
Donc S se comporte comme un polynôme de degré
p — y" — O) = h — • >.y — 2 OJ .
C'est donc un polynôme de degré h — 2/ — aco, dépendant de
coefficients arbitraii'es.
Donc parmi Jes
^{■xh ^ if — 2 co -H I )2
relations (4) il J en a seulement
qui sont distinctes. Donc nous n'avons que
(2/1-1- I )- H- ( 2 /? — 4 / — 4'-" -I- i)- — 2 ( 2 /î — if — 2 (0 -1- I )2 expressions II qui soient linéairement indépendantes. Or ce
8(/-»-co)2.
nombre est égal à
Il est donc indépendant de h et s. Donc, quelque grand que soit le degré de h du polynôme H, nous n'aurons toujours, au plus, que 8(/'+ w)- expressions H distinctes-
Remarquons que les expressions où 5 = ^^ rentrent comme cas particuliers dans celles où 5 = 5o+ 1 , puisque nous pouvons changer 5 en 5+ i et H en H F sans changer l'expression H. Donc toutes les expressions II, quel que soit le nombres, le degré du polynôme H et ce polynôme lui-même, peuvent s'exprimer linéairement à l'aide de 8(/-hw)- d'entre elles.
Si nous prenons
expressions II quelconques, il y aura entre elles une relation linéaire, dont les coefficients seront des fonctions rationnelles des coefficients des polynômes F, 0 qui sont les mêmes pour toutes ces expressions II ainsi que des divers polynômes H qui ne sont pas Les mêmes pour les différentes expressions H. Cela résulte de la façon dont nos relations (4) ont été formées.
291. Le nombre des expressions II distinctes peut s'abaisser si les polynômes présentent certaines espèces de symétrie. Supposons par exemple que F, 0 et H ne changent pas quand on change x
120 CIIAPITRK X\I.
en — X el y en — y. Si alors nous écrivons ces polynômes sous la forme
nous voyons cjue les deux entiers a et b doivent être de même parité.
Un polynôme de degré m présentant cette symétrie ne contient
plus que
coefficients arbitraires. Nous n'aurons donc que
polynômes H.
Si les polynômes P et Q présentent cette même symétrie il en sera de même du second membre de (4)- D'ailleurs nous obtiendrons de cette façon tous les polynômes H symétriques qui sont de la forme (4)- Soit en effet
le second membre de (4)- Considérons deux polynômes P et Q non symétriques de telle façon que P[x, y) ne soit pas égal à
P(-a?, -7) et supposons cjue
soit égal à un polynôme symétrique H de telle sorte que U(x, y) = Hi — ar, —y);
nous aurons à la fois
et
H(^, r) = H(-^, -7) = *[P(-^, -jK), Q i-x,-y)l
ou, en additionnant et divisant par 2,
qui est une relation de la forme (4) où les polynômes P et Q sont
RELATIONS DE RECURRENCE ET EQUATIONS DIFFERENTIELLES. I27
remplacés par les polynômes symétriques
P(cr, y) -r- P ( — ■ -T. — y) Q(cr, y) -{- Q( — x, —y)
11 suffira donc de considérer les relations (4) formées avec des polynômes symétriques. Nous aurons donc, non plus
relations (4), mais
De même, si nous nous reportons aux relations (5), nous verrons que, si P et Q sont symétriques, il en sera de même de S ; nous aurons donc
2 ( A — 2/ — 2 M )' -H 2 ( A — 2/ — 2 tu ) -H I
polynômes S.
En résumé le nombre des expressions II distinctes ne sera plus
mais seulement
6(A) -f- ft(A — 2/— 2œ) — 28(A — /— œ), en posant
Ce nombre sera donc
292. Appliquons ce qui précède aux expressions (i) et (2), mais auparavant il est préférable de les transformer en posant
Alors, A-, qui était un polynôme contenant des termes en deviendra un polynôme entier du second ordre en
Ce polynôme ne change pas quand on change ^ et Tj en — ^ et — 'i\. Ce sera lui qui jouera le rôle de F; nous avons donc
Le polynôme Q devient de son côté un polynôme symétrique du premier degré en
de sorte que
Dans la formule (i), bien entendu, où l'exponentielle E^^ ne figure pas, on prendra m = o.
Le rôle du polynôme H sera joué dans l'expression (i) par —^ — —,>
et dans l'expression (2) par ^^^ ^^^, , qui nous donneront l'une et
l'autre un polj^iome symétrique en
Nos coefficients B„;,„' et h^mni seront représentés à un facteur numérique près par l'intégrale
. /■/-HEO-i^.
OÙ Q est du degré o ou i et où
rjf-in y /Il -jQlll yin ^
où enfin A joue le rôle de F'. Ce sont donc des expressions de la forme II.
Les coefficients de ces polynômes F, ù et H sont d'ailleurs des fonctions rationnelles des grands axes « et a', des excentricités e, e' et de y/i — e-, \l \ — e'-, ou, si l'on aime mieux, de s et de e', en posant
Ce sont également des fonctions rationnelles des lignes trigono-
RELATIONS DE RECURRRXCE ET EQUATIONS DÎFFER i:>"riEr.LES. 1*29
métriques déjaendantde rinclinaison et des périhélies, c'est-à-dire
1 J in w'
de tang - •> tang - , tang — •
Ce sont en résumé des fonctions rationnelles des sept quantités
a, a, £, £, lang-;> tang , tang — ,
les longitudes des périhélies étant comptées dans les plans des deux orbites, à partir de l'intersection mutuelle de ces plans. Ce sont ces sept quantités que nous appellerons les éléments.
Envisageons maintenant la dérivée de l^,nrn\ ou de B,„,„' par rapport à l'un de ces éléments, que je désigne par a; elle sera égale à
J J Tr,U
où
\ aa de/, j -1 ai
sera un polynôme de même forme que H. Nous retrouvons donc
une expression de la forme H avec cette différence que l'exposant
s qui était esal a - est maintenant -• ^ ° 2 1
Si nous considérons une dérivée partielle seconde, cet exposant deviendra -? rien d'ailleurs ne sera changé, et il en serait de même pour les dérivées d'ordre supérieur.
Ainsi nos coefficients A„j„i , B,„„j' ainsi que leurs détnvécs partielles d'ordre quelconque par rapport aux éléments sent des expressions de la foi' me 0.
Les conclusions du n" 290 sont vraies quand le polynôme F est le plus général de son degré. Elles subsisteraient bien entendu dans les cas particuliers, par passage à la limite ; mais ici elles sont directement applicables.
En effet le théorème de M. Picard s'applique directement toutes les fois que le polynôme F est indécomposable.
C'est ce qui arrive pour le polynôme A'^ dans le cas général du problème des trois corps. Quand l'inclinaison est nulle, le polynôme P. - II. 9
l30 CIIAPIIRK XXI.
A- se décompose, mais nous restons dans les cas très étendus où le théorème de M. Picard est applicable.
Il n'y a donc pas de période cyclique.
Pour montrer ensuite qu'il n'y a pas de période polaire, nous avons supposé que F(^,y) ne devenait pas un carré parfait quand après l'avoir multiplié par une puissance convenable de a? on y fait .X = o.
Si nous applicjuons cette règle au polynôme
cela reviendra à réduire A- aux termes en x-^ xy,y-, ou en a?"-, ^~^jK~', y~''^ ou en ic-, ■'x:y~^ , y~'i ou encore eux"-, x~^ y^ y-. Ce polynôme ne se réduit pas ainsi à un carré parfait. La condition est donc remplie.
293. Appliquons d'abord cela à l'expression (i) et aux coefficients B„i„j'; nous avons
Le nombre des expressions distinctes est donc
Nous n'avons donc que seize coefficients distincts. Donc :
Si l'on envisage le développement de la fonction perturbatrice suivant les anomalies excentriques, il y aura entre les coefficients des relations linéaires de récurrence dont les coefficients seront des fonctions rationnelles des éléments. Ces rtdations permettent d'' exprimer tous ces coefficients en fonctions de seize d'entre eux.
Ces relations de récurrence sont assimilables à celles C[ui relient les coefficients de Laplace. Ces relations peuvent s'obtenir de la façon suivante; écrivons les deux identités
dx \ A / dx
-^'^s^UJ^'^^""
RELATIONS DE HÉCURRKNCE ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. l3l
Remplaçons dans ces identités A- et - par leurs développements
suivant les puissances entières positives et négatives de œ et jk, et égalons à zéro dans l'une de ces identités le coefficient de xPyi. On a retrouvé dans le Nachlass de Jacobi, sans démonstration, un énoncé d'après lequel le nombre des coefficients distincts serait non pas i6, mais i5. Gela est possible, car i6 n'est ici qu'un maximum. Il serait intéressant de pousser la vérification jusqu'au bout.
294. Supposons maintenant que l'on envisage un coefficient et ses dérivées partielles des divers ordres par rapport aux éléments. Ce sont encore des expressions n, elles sont donc liées à seize d'entre elles par des relations linéaires.
Ainsi chacun de nos coefficients B, considéré comme fonction de Clin ciiielconque des éléments, satisfait à une équation différentielle linéaire du seizième ordre au plus, dont les coefficients sont des fonctions rationnelles des éléments.
Si l'on considère deux ou plusieurs éléments comme des variables indépendantes, on peut former aussi un très grand nombre d'équations linéaires aux dérivées partielles.
Tous nos coefficients B, et toutes les dérivées partielles peuvent s'exprimer linéairement en fonctions de seize de ces coefficients, ou bien encore en fonction de lun d'eux et de quinze de ses dérivées partielles.
295. Passons maintenant au cas de l'expression (2) et des coefficients h.mm'^ qui sont ceux du développement suivant les anomalies moyennes. Cette fois
