CO = I

Seulement le polynôme 0 dépend de m et de m' . Il n'est donc pas le même pour deux coefficients A,„,„' différents.

Les conclusions du n" 293 ne se généralisent donc pas.

Au contraire, le polynôme 0 est le même pour un coefficient -^mm' et pour toutes ses dérivées partielles, de sorte que le théorème du n" 294 se généralise immédiatement.

l3'2 CHAPITRE XXI.

Chacun des cocjjicients A, considéré comme fonction de L'un queLconcjue des éléments, satisfait à une écjuation différentieiie linéaire du trentp-sixième or Ire au plus. Il satisfait en outre à de nombreuses équations linéaires aux dérivées partielles, si l'on regai-de les divers éléments comme des variables indépendantes.

296. Passons au cas où les excentricités sont nulles; il en résulte de grandes simplifications. D'abord, en effet^ il n'y a pas de distinction à faire entre les anomalies excentriques et moyennes, de sorte que l'on a

De plus on a

A- = «2 | (i'% f (^fT[' jj^

en posant

S— — ='ri~, iv ^ xy = ?-.

D'ailleurs les coefficients K,nm' sont exprimés à un coefficient numérique près par l'intégrale

JJ

' dz dw Il • j

zw 1

OU Jrt est un polynôme entier en z. w, -, • On a donc

Le polynôme c|ui joue le rôle de F est ici A-, et l'on voit que, pour 5 = G, l'expression sA se réduit à une constante; le raisonnement par lequel on démontre qu'il ne peut y avoir de périodes polaires n'est donc pas a[)plicable immédiatement [puisque nous avons dû supposer plus haut que le premier membre de l'équation F (a;, 7 ) ^ o ne se réduisait pas à un carré parfait pour x = o].

Nous pourrions nous tirer d'afi^aire de plusieurs manières différentes :

1° En nous servant des fonction elliptic[ues, comme je l'ai fait dans le IJulh'iin (isironomique, t. XIV; 2" En revenant aux variables .27 et y.

Mais je préfère me servir de la symétrie du polynôme A-.

RELATIONS DE RÉCURRENCE ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. l33

Ce polynôme ne change pas en effet quand on change z en -? ou bien tv en — • Un polynôme satisfaisant à cette double condition sera ce que j'appellerai désormais symétrique.

Dans le développement de - les coefficients de

sont égaux, et peuvent être représentés à un même coefficient numérique près — - — ^ par l'une des intégrales doubles

dz dw