HP' A
où
ra ,x)b i r-—a (,,b
Nous pouvons donc toujours supposer que le polynôme H est symétrique.
Nous devons ensuite rechercher quels sont les polynômes H syinétriques qui nous conduisent à une intégrale double identitiquement nulle. Ce sont ceux qui sont de la forme (4)- Dans le second membre de l'expression (4), il faut, bien entendu, faire 0 =z o et remplacer x et 7 par les variables nouvelles z el w.
Je remarque maintenant que si, dans cette expression (4) ainsi
modifiée, on remplace P(s, (v), Q(^, ^p) par — Vi-^w]., Q ( -7 w\, l'expression H(^, (v) se change en H ( -? w\. De même,
si l'on remplace P(s, w), Q{z,w) par P[z,^), — Q(s, -i^);
l'expression H(^, w) se change en H (5, — Si l'on a alors
nous dirons que P et O présentent la symétrie croisée.
t34 CHAPITRE XXI.
Il est clair que, si P et Q présentent la symétrie croisée, l'expression H présentera la symétrie directe.
Si H présente la symétrie directe, je dis que l'on pourra toujours, sans restreindre la généralité, supposer que P et Q ont la symétrie croisée. En effet, si H est symétrique, on pourra, sans changer H, remplacer P et Q par
OU par ou par
ou enfin par les deux polynômes
P(5, W) — P{ -, w] -hP(z, —) — P( ^, -
q(z, (v) + Q [^,wj — Q(3, —
qui présentent la symétrie croisée.
Si maintenant P et Q présentent la symétrie croisée, l'expression
Q dz P cuv^^ r^^^^ r,i s
supposée intégrable, présentera une troisième espèce de symétrie que j'appellerai la symélrie inverse, c'est-à-dire que S et U changeront de siene quand on changera s en -? ou bien (v en — •
Dans ces conditions,
dz ~ F^-'^
change de signe quand on change w en — Si nous posons
dV ^ -,
notre période polaire, si elle existe, sera 2/~C i ; elle sera indépendante de w (qui joue ici le rôle àe y). D'autre part, elle devra
RELVTIONS DE liÉCU liRENCE ET ÉQUATIONS DIFFÊRENTIICI.LES l35
changer de signe quand on changera w en —; elle est donc nulle.
Examinons maintenant le degré de ces difïerents polynômes; mais nous ne définirons pas le degré de la même manière que dans les numéros précédents.
Soit un polynôme en 5, -, w, —,
Nous dirons qu'il est de degré m si
Soit alors h le degré de H, nous voyons que celui de P et de Q est A — I et que celui de S est A — 2.
Un polynôme de degré h contient j li- -\- 9J1 + i coefficients arbitraires, mais, s'il est symétrique, il n'en contient plus que — "^ ' ' ^ '^ + ^ ) g- Y^ gjniétrie est directe et, en effet, les coefficients
de s-«(p-* se déduisent d'un seul d'entre eux, de sorte que nous n'avons plus à envisager que les termes où les deux exposants sont nuls ou positifs. Si la symétrie est croisée, il arrive (pour P par exemple) que les termes indépendants de z sont nuls, de sorte que nous ne devons plus envisager que les termes où l'un des exposants est nul, et l'autre nul ou positif. Cela fait coefficients
distincts. Si enfin la symétrie est inverse, les termes indépendants soit de (T% soit de :;, sont nuls, et les deux exposants doivent
être positifs, de sorte qu'il reste -*— ^ coefficients. Nous sommes
donc conduits au Tableau suivant :
Nombre des coefficients.
Polyni)
me.
Degré.
Symétrie
directe
croisée
croisée
inverse
l36 CHAPITRE XXI.
Le nombre des expressions H distinctes est donc
Donc, entre les coefficients du développement de la jonction perturbatrice, il y a des relations linéaires de récurrence dont les coefficients sont rationnels par rapport aux éléments etcjui permettent d'exprimer tous ces coefficients à l'aide de quatre d'entre eux. Chacun cVeux, considéré comme fonction de l'un des éléments., satisfait à une équation différentielle linéaire du quatrième ordre. Considéré comme fonction de tous les éléments, il satisfait à un grand nombre cV équations aux dérivées partielles. Tous les coefficients et toutes leurs dérivées partielles peuvent s'exprimer linéairement à V aide de quatre des coefficients, ou bien encore à l'aide de l'un d^ eux et de trois de ses dérivées partielles.
297. On arriverait au même résultat en conservant les variables x et y, on aurait alors
a- -^ a '^ -h aa u H —
aa'^l^xy^ ^).
sY -^ / \ -^y I
Ce polynôme serait de degré i au sens du n° î290 et non plus du n" 296. Il serait d'ailleurs symétrique au sens du n'- 291 et non plus du n" 296. Enfin l'expression x A- se réduirait, pour .2; = o, à
aa \\xY -^ h
qui n'est pas un carré parfait; nous pourrions donc appliquer les conclusions du n" 291, et, puisque
le nombre des expressions II distinctes serait
4{/-t- wf= 4. G. Q. F. D.
298. Les équations aux dérivées partielles auxquelles conduit l'analyse précédente ont déjà été rencontrées. Ce sont celles que
nous avons étudiées au n" 261. Nous avons vu que les onze dérivées partielles de Z, désignées dans ce numéro par (8), (9), (10), (11), (12), (i3), s'expriment linéairement en fonctions des neuf expressions (i4) qui sont elles-mêmes liées par les trois relations (i5). Il y a donc, entre ces onze dérivées, cinq relations. Soit
Z = y u^/'tv^.
Les coefficients de z^w^ dans les onze dérivées partielles seront
d\} da'
dix^-
d'- U rf2 U f/2 U
da~ ' da d\j. ' da <r/v
d'-\] d\x dy
dM]
Il y aura donc cinq relations entre U et ses neuf dérivées des deux premiers ordres. D'ailleurs, outre les relations (i5), les neuf
expressions (i4) sont liées entre elles et à Z = z.Us'^tv'* par la relation
(i -H a^)Z' — •ia\xTJ cos^ — -lav Z' cosr, = — sZ.
Nous aurons donc six relations entre U et ses neuf dérivées, c'est-à-dire cjue U satisfait à six éc[uations aux dérivées partielles du deuxième ordre. De U et de ses dérivées, en tout dix expressions, il en reste donc quatre qui sont indépendantes.
Parmi ces six équations, nous distinguerons celles qui ont été étudiées à la fin du n" ':26I et dont nous avons vu la parenté avec les équations de M. Appell. Nous avons vu que ces équations admettent cjualre solutions distinctes, de sorte que U considéré comme fonction d'un seul élément satisfait à une équation différentielle du cjuatrième ordre.
299. Les fonctions que nous avons étudiées dans ce Chapitre sont définies par des intégrales doubles et ces intégrales doubles sont prises le long des contours fermés. En d'autres termes, ce sont des périodes de l'intégrale double indéfinie
l38 CHAPITRI-: XXl.
Supposons que nous fassions varier l'un des éléments, que j'appellerai a, en lui donnant bien entendu des valeurs imaginaires, et que cet élément a décrive dans son plan un contour fermé. Notre coefficieirt, représenté par notre intégrale double, est une fonction analytique de l'élément a; quand cet élément aura décrit son contour fermé, nous retomberons sur une autre détermination de cette fonction analytique, et cette détermination ne pourra être cju'iine autre période de notre intégrale définie double.
Supposons cjue cette intégrale définie ait k périodes fondamentales
Pi, P2, ..., Pa;
toutes les autres périodes et, par conséquent, toutes les déterminations de notre fonction, seront des combinaisons linéaires à coefficients entiers de ces périodes fondamentales.
Quand donc la variable décrira un conlour fermé, les différentes déterminations de la fonction subiront une transformation linéaire à coefficients entiers. Considérons maintenant plusieurs fonctions II qui pourront différer par les polynômes H et Q, mais pas par le polynôme F, toutes ces fonctions subiront la même transformation linéaire, puiscjue celle-ci ne dépend que de la déformation des contours d'intégration.
So]t donc A le déterminant formé par k déterminations correspondantes de k fonctions II; ce déterminant sera multiplié simplement par un facteur numérique quand la variable décrira un contour fermé; le rapport de deux de ces déterminants demeurera donc constant, ce sera donc une fonction uniforme.
Donc entre A" H- i fonctions II, il y aura une relation linéaire dont les coefficients seront des fonctions uniformes des éléments. Donc le nombre des périodes fondamentales est égal à celai des fonction'' Il en fonction desc/iielles toutes les autres peuvent s'exprimer par des relations linéaires dont les coefficients sont des fonctions uniformes des éléments.
Si les fonctions II ne présentent que des singularités algébriques, ces fonctions uniformes se comporteront comme des fonctions rationnelles. Les coefficients de nos relations seront des fonctions non seulement uniformes, mais rationnelles. C'est ce qui arrive quand ù = o.
Nous pouvons prévoir par là que le nombre des périodes fonda-
RELATIONS DE KÉCURKENCE ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. iSg
mentales est de i6 dans le cas général et de 4 si les excentricités sont nulles C'est ce que montre le résultat obtenu au sujet du développement suivant les anomalies excentriques.
Mais alors nous pouvons en tirer une conclusion relative au développement suivant les anomalies moyennes. Il y aura entre les coefficients de ce développement des relations linéaires de récurrence dont les coefficients seront des fonctions non rationnelles mais uniformes des éléments, et ces relations permettront de les exprimer tous à l'aide de seize d'entre eux. De plus chacun de ces coefficients satisfera à une équation différentielle linéaire, qui sera du seizième ordre (et non plus du trente-sixième), mais dont les coefficients seront non plus rationnels, mais uniformes.
Ces relations de récurrence et ces équations différentielles sont analogues à celles que nous avons rencontrées dans l'étude des coefficients de Laplace. Nul doute cpi'elles ne puissent rendre les mêmes services dans le cas où les excentricités sont nulles; mais il n'en est pas de même dans le cas général; leur ordre semble trop élevé ; heureusement il est permis d'espérer que ces équations ne sont pas irréductibles et que l'étude des périodes de l'intégrale double permettra d'en abaisser l'ordre.
J'ajouterai que M. Féraud, dans le Tome VIII des Annales de l'Observatoire de Bordeaux, a montré que, par suite de certaines symétries, cet ordre pouvait s'abaisser de lui-même dans certains cas particuliers.
