CALCUL NUMÉRIQUE DES COEFFICIENTS. I^I
et
Dans la formule (3 bis)^ il faut donner, sous le signe 2 ji à m de même qu'à u' ^ les n valeurs équidistantes
ir. ^Tz ■i.[n — i)-jr
Cela fera donc, sous le signe ^V? *^6s termes dont le nombre
sera /i-, puisqu'il faut combiner les n valeurs de u avec les n valeurs de u .
Pour la formule (4 bis), on opérera de la même manière avec cette différence que ce n'est plus à u et à m', mais bien à / et à /' qu'il faut donner les n valeurs équidistantes
Le Verrier voulant calculer la grande inégalité Pailas-Jupiter, c'est-à-dire le coefficient A,8 7, a employé la formule (4 bis). Il aurait pu se servir avec plus d'avantage de la formule (o bis). Mais il fallait la puissance de calcul de Le Verrier pour avoir le courage d'aborder une tâche aussi écrasante. Heureusement il y a des moyens d'éviter ces quadratures mécaniques, ou tout au moins de réserver les quadratures mécaniques pour le calcul, non plus d'une intégrale double, mais d'une intégrale simple. Les plus importantes de ces méthodes sont celles de Hansen, de Gauchy et de Jacobi.
30L Méthode de Hansen. — Il s'agit d'obtenir les coefficients ^mm' du développement procédant suivant les anomalies excentriques. Il sera aisé ensuite de passer aux coefficients A,„,„' du développement suivant les anomalies moyennes en employant la formule du n° 240, ou bien encore de passer au développement spécial de Hansen en employant la formule du n" 246.
Prenons alors l'expression de A- ; c'est un polynôme dvi second degré en E-'", £-'"', de sorte que nous pouvons écrire
(5) A2= A-i-BE''"'+B'E-'»'-H GE2'"'+ C'E-2'«',
1^2 CHAPITIiK XXII.
les coefficients A, B et C dépendant seulement de a; nous verrons ensuite que l'on a simplement
de sorte que Cet G' sont indépendants de u et, de plus, du second degré par rapport aux excentricités. Nous pouvons en conséquence négliger ces termes en première approximation et, appelant A^ la somme des trois premiers termes du second membre de (5) et R la somme des deux derniers, écrire
I I 1 jl 3 R2
^^) Â ~ â; ~ 2 If "^ 8 Ag "••••
La série (6) converge très rapidement à cause de la petitesse
de R, de sorte que le développement de - est ramené à celui de I I
Or nous pouvons poser
A2 = Am- BE'"'-j- B'E-'«'= H2[r-4-a2 — 2acos(M'— P)], H, a et [B étant des fonctions de u. On en déduit
les bf^ étant les coefficients de Laplace formés en fonctions de a parles procédés du Chapitre XVII.
A, B, B' peuvent être regardées comme des fonctions connues de u; il en est donc de même de H, a et j5i et, par conséquent, des b'f^ ; on aura alors
si Caa est le coefficient de E'^" dans le développement de
c'est-à-dire si
CALCUL NIMERIQL'E DKS COKFl- ICIENTS. l43
On calculera l'intégrale (8) par quadratures mécaniques à l'aide de la formule
OÙ n est un grand nombre; la fonction cjui figure sous le signe \
est une fonction de (f : on j donnera successivement à u les n valeurs équidistantes
■2-71 iT. -1(11 — I ) ir
Telle est la méthode de Hansen; je me bornerai à renvoyer pour plus de détails au Chapitre XXI du Tome IV de la Mécanique céleste de Tisserand et en particulier aux pages 34 1 à 344-
302. Méthode de Jacobi. — Jacobi cherche aussi à former le développement qui procède suivant les anomalies excentriques; il décompose aussi A- en deux parties Aj; et R, dont la seconde est du second degré par rapport aux excentricités et aux inclinaisons; mais il n'a pas recours aux quadratures mécaniques. Sa manière de mettre A- sous la forme
n'est d'ailleurs pas la même que celle de Hansen. Pour bien la faire comprendre, je suppose d'abord que l'inclinaison soit nulle. On trouve alors, en appelant ;, t\ et ^', t]' les coordonnées des deux planètes,
A- = ( ^ -+- îTj — ^' — i r/ ) 1 ^ — iri — ^'-f- i Y)' ).
D'autre part, si l'on pose
il vient
On en déduirait l'expression de ^ — ir^ en changeant i et — /, et l'on aurait ensuite celles de E'-h i'i]' , ^' — i-r\ en changeant a, î, ru, u en a', s', nr', u' .
Si, dans l'expression précédente, nous négligeons le terme en e'-E~'", nous commettrons une erreur du second degré et nous trouverons
A| = (ih'e'— aèe -+- 6E''«— 6'E+'«') (aô', e'— aèiS + èjE-^" — è'j £-'«') en posant, pour abréger,
Si alors nous désignons par A^ cette valeur approchée de A- et par R l'erreur commise, nous aurons
et Pi sera du second degré par rapport aux excentricités.
Si l'inclinaison n'est pas nulle, nous pourrons développer suivant les puissances de l'inclinaison et dans le développement ne figureront que des puissances paires de l'inclinaison.
Si donc nous négligeons l'inclinaison, l'erreur commise sera du second degré. Nous pourrons donc conserver la même expression pour Aj; et l'erreur R = A- — A^ sera encore du second degré par rapport aux excentricités et aux inclinaisons.
Nous pouvons écrire ensuite
^-; - \\i ([ Y ËJ'tt-tt'— w) y']£— /((«'— (1)') \ (i Y J7— /(it— ;i'— w' y'E+'''''~"'^'' ),
en posant
Il est clair d'ailleurs que nous pourrions modifier les coefficients H, y, u), y', oj', qui figurent dans Ajî, pourvu que les modifications soient seulemeut du second degré par rapport aux excentricités et aux inclinaisons. L'erreur R resterait du second degré.
.lacobi profite de cette latitude pour faire disparaître certains termes de R, à savoir les termes tout connus, les termes en
cos , , cos
iu — a ), . u.
sin sin
CALCUL NUMÉRIQUE DES COEFFICIENTS. l45
Je renverrai pour les détails de l'analyse à la Mécanique céleste de Tisserand (t. IV, Chap. XVIII, p. 3oi à 3o6). Quoi qu'il en soit, nous avons
 ~ Â"o ~ 2 A;î ^ 8 Ag • ■ • '
de sorte que (R se réduisant à un nombre fini de termes) le développement de - est ramené à celui de — ^ • Si nous posons, pour
A Ag
abréger, il vient
et il s'agit d'effectuer le développement suivant les puissances entières, positives ou négatives de :; et de m.
Il est aisé de véi^ifier que le coefficient de z^m'^ sera, au facteur près, y'^v''* et à un facteur constant près, une série hjpergéométrique de deux variables de M. Appell par rapport à y- et y'^.
Ces séries sont tout à fait analogues à celles que nous avons étudiées au Chapitre XVIII, seulement elles ne se réduisent pas à des polynômes.
Jacobi ne se sert pas de ces séries, qui n'étaient pas encore connues de son temps: son analyse est un peu différente; on la trouvera dans la Mécanique céleste de Tisserand (t. IV, p. 3o6 à 3i i).
Les coefficients du développement de—? -^} -zi ••• sont liés
Aq Aq Ag
par des relations de récurrence, et ces relations permettent de les exprimer tous à l'aide de quatre d'entre eux (de sorte qu'elles deviennent pratiquement utilisables). Il suffit, pour s'en convaincre, soit de se reporter à ce que nous avons dit au n° 1264, soi t d'appliquer les principes du Chapitre XXI, en remarquant qu'ici w ^ o, /'= I et que le polynôme A^ présente une symétrie particulière, puisqu'il ne change pas quand on change z en - et ca
en -•
