Méthode de Cauchy. — Cauchy, comme Jacobi et Hansen

l46 CHVPITRE XXII.

cherche d'abord le développement suivant les anomalies excentriques pour en déduire, par le moyen des fonctions de Bessel, le développement suivant les anomalies moyennes. Je n'ai pas à revenir sur le passage d'un développement à l'autre; je m'occuperai donc simplement de la manière d'obtenir le développement suivant les anomalies excentriques.

La méthode de Cauchy se rapproche également de celle de

Hansen par un autre point. Cauchy commence par développer -

suivant les anomalies excentriques de la seconde planète sous la forme

Les B/;' sont des fonctions de u et, si nous posons

il vient finalement

Cauchy calcule les coefficients B,;' par àe?> procédés analytiques et il en déduit ensuite les coefficients ï^nii par quacbalure mécanique à l'aide de l'intégrale

(lo) ■j.T.B„a'= Bn'E-i'"' du.

La difTérence provient surtout de la manière d'obtenir les coefficients B//; reprenons la formule (5) : '

(5) A2= A + BE'"'-+- B'E-'«'-f- CE2'"'+ G'E-2'«'.

Si nous égalons A- à o, nous obtiendrons une équation du quatrième degré en j/ =■ E'"' qui peut s'écrire

(il) A 4- B j H 1- Cj2 4- G y-^- = o.

Discutons cette équation ; nous observerons d'abord que ses coefficients ne sont pas réels, ou du moins A, C, C sont réels, mais B et B' sont imaginaires conjugués; l'équation ne change pas quand

CALCUL NUMÉRIQUE DES COEFFICIENTS. l47

on change y en — et ^ en — i. Les racines peuvent donc se répartir en deux paires :

où a et [^ sont réels et plus petits que i, de telle sorte qu'on permute les deux ra en — i. De plus,

mute les deux racines d'une même paire en changeant j^ en — et l

de sorte que le produit des racines est égal à + i , ce qui donne

11 en résulte c|ue nous pouvons mettre A- sous la forme d'un produit de deux facteurs :

A- = H2 [l — 2 a COè{u' — tu) -h a2] [l — 2 ^ COè{u' -h O)) H- fi-],

H étant facile à calculer quand on connaît a, [i et (o.

Nous remarquerons ensuite que, si l'on néglige e'-, le degré de l'équation s'abaisse, car C et C s'annulent et l'équation (ii) devient simplement

A-hBv-i =o.

L'équation du quatrième degré se réduit donc au deuxième, une des racines étant devenue nulle et l'autre infinie. L'équation se résout donc aisément pour C = C'=o. Nous pouvons ensuite développer les racines suivant les puissances de C, en considérant A, B, B' et C comme des variables indépendantes et faisant C'= C. Comme C est du deuxième degré par rapport aux excentricités, la convergence sera très rapide. Nous voyons en même temps que [i est une quantité du deuxième degré par rapport aux excentricités.

Il reste à effectuer le développement de - et pour cela on développera les deux facteurs

[i — 2a cos{u' — w) -T- a- ] - = ^ CpE'f"' ,

[l— 2p COs(«'-t- Wj + [^2] 2 = "y c'yE''^/«'.

l48 CHAPITRE XXII.

On aura ensuite le coefficient B„' en faisant le produit des deux séries; on trouve ainsi

Les quantités

Cy, E'>w, c'^E-'?w

ne sont pas autre chose que les coefficients de Laplace

calculés respectivement en prenant a = a et a = |3. On les déterminera par les procédés du Chapitre XVII. Cauchy préfère employer, pour cette détermination, les séries procédant suivant les

puissances de — ( ou de — ^ ,-,, j particulièrement commodes

dans le cas où p (ou q) sont grands, ce qui est le cas où il est placé.

Quant à la série

elle converge très rapidement à cause de la petitesse de [â ; en effet, le développement de c^.^ suivant les puissances de [3 commence par un terme en [i'"'~/^' , donc c^.^ est du degré 2\n' — p\ par rapport aux excentricités et est par conséquent très petit.

Ayant calculé ainsi B„ par la formule (12), Cauchy aurait pu obtenir ensuite B«„' par la formule 10) et en déduire ensuite A,^,/ par la formule (12) du Chapitre XVI. Mais ce n'est pas tout à fait comme cela qu'il opère, il passe par l'intermédiaire d'un développement mixte procédant suivant l'auomdie excentrique u' et l'anomalie moyenne / :

C ,Vi(nl-\-n' II')

de sorte que

2 71 C„„' = / B„' E-'"/ dl = I B„. E-'"^(\ — e cos u ) du.

CALCUL NUMÉRIQUE DKS COEFFICIENTS. l49

Cauchy calcule C,/„' à l'aide de cette dernière formule et pour cela il applique les quadratures mécaniques, c'est-à-dire qu'il prend (R étant un entier suffisamment grand)

KG„„' = y B„/E-'"^( [ — e cos m),

B„ et E"'"'' sont des fonctions de a ; on donne à ii sous le signe ^ les K valeurs équidislantes

2 Tï 2 ( K — I ) TT O, -TT-J •••? 7T

On calcule enfin A„„' à l'aide de la formule

A ,— "V/Ln 'T ' '(7i'p')

analogue à la formule (12) du Chapitre XVI. Cauchy a appliqué cette méthode au calcul de la grande inégalité Pallas-Jupiter, en faisant n^- — 18, 72'= 7, il n'avait donc à calculer que les fonctions de Bessel de l'argument unique 'j e' .

Je renverrai pour plus de détails à la Mécanique céleste de Tisserand, t. IV, Chap. XVII.

304. On pouri^ait évidemment fonder d'autres méthodes analogues sur les propriétés des fonctions elliptiques et sur l'emploi de formules, telles que celles dont nous avons fait usage au n'' 256. Je me bornerai à cet égard à quelques indications sommaires. Supposons d'abord les excentricités nulles et que nous ayons à calculer, par exemple, l'intégrale

où A = a- + a'-, B = «a'v, C = aa' [j.. Intégrons d'abord par rapport à w; nous avons une intégrale elliptique que nous pouvons prendre par le procédé de la moyenne arithmélico-géométrique. Ce procédé est fondé sur l'égalité

chv w-^ r dw w-i

lOO CHAPITRE XXII.

qui a lieu quand

\l a -I- 9, 6 = a, \J a — 26= fi ; sj a! -1-26' = a' = " ~^ ' ?

y/a' — 'ib' ^ v/^!j .

Si nous prenons l'intégrale qui donne le coefficient de Laplace

dw (ip~'

les quantités qui jouent le rôle de \l a -^ ib sont

1 -H a, 1 — a; en prenant les moyennes arithmétique et géométrique, on trouve

I, \/ 1 — a2 ; en faisant une seconde fois la même opération,

une troisième fois,

d'où

irM • "^"'"^

OU

ce qui est la formule du Chapitre XVII; nous avons vu quelle

approximation donne celle formule quand a est plus petit que ~i^'

Appliquons la même méthode à l'intégrale (1 3). Nous pouvons la mettre sous la forme