A «j-i dz dw

4 / a^ -+- a- -1- aa' i i

CALCUL NUMÉRIQUK DES COEFFICIENTS. l5l

en posant en posant

■la' = i/ k-+ bIz^\\^iC +4/A + B (■ 3+ ^j — 2G.

Notre intégrale, par l'application de la règle précédente, se rédiiii^a donc à l'intégrale simple

où a' et a sont des fonctions de z définies par les formules précédentes et que l'on pourra calculer par quadratures mécaniques, ou mieux de la manière suivante :

Comme B est très petit de l'ordre du carré de l'inclinaison, on pourra développer la fonction sous le signe / suivant les puissances de B ( 5 -t- - )' ce qui nous donnera en même temps le déve-

loppement de cette fonction suivant les puissances entières positives et négatives de z.

305. On pourrait faire quelque chose d'analogue dans le cas général; il s'agit toujours de calculer l'intégrale

dx dy

x'i^y'"-' ^Ki^x, y)

On commencera par exemple par intégrer par rapport k y ; l'intégrale à calculer est alors une intégrale elliptique que je puis écrire

\y-'"-' dy

et il faut calculer l'une des périodes de cette intégrale elliptique.

l52 CHAPITRE XXII.

Seulement A, a, [3, y, S sont des fonctions de x. Quand e' est nul, une des quatre racines a, [3, y, o est nulle et une autre infinie. On est donc ramené au calcul de l'intégrale

yin dy

Le calcul des racines y et o est alors immédiat et l'on peut appliquer directement les procédés du Chapitre XVII et en particulier ceux du n° 256. Toutes les intégrales peuvent d'ailleurs se déduire de deux d'entre elles par les relations de récurrence du Chapitre XVII.

Si e' n'est pas nul, le cas est plus compliqué; il faut d'abord déterminer les racines a, ^, y. S; nous avons expliqué au n° 303 comment cela pouvait se faire, grâce à la petitesse de e' . D'autre part, nous n'avons plus comme au Chapitre XVII à calculer l'inté-

grale

mais l'intégrale plus compliquée

où a et b sont des constantes et m un entier positif ou négatif. Et en effet, pour ramener l'intégrale (i4) à la forme canonique, il faut poser

p{u) étant la fonction de Weierstrass.

La période de l'intégrale (i5) dépend de celles des cjuatre intégrales suivantes :

/ du, I '(^{u±UQ)du, I [Ç(i^-l-Mo) — ^{u^U(^)]du,

I [Ç(?^-l-îii) — t{u — Ui)] du,

Uq et u^ étant définis par les équations