CALCUL NUMÉRIQUE DES COEFFICIENTS

On s'en assurerait en décomposant la fonction doublement pério-

dique ( , 1 en éléments simples.

Or ces quatre intégrales ont pour périodes

On a vu au n" 2o6 comment on pouvait calculer toj et rj) ; on trouvera dans l'excellent ouvrage de M. Schwarz ( Formules et propositions pour V emploi des fonctions elliptiques, d'après les leçons de Weierstrass, Paris, Gauthier- Villars, 1894) des formules tout aussi convergentes pour le calcul de Wo et de Ui (pages 67 à yS).

On voit qu'ici les formules de récurrence permettent d'exprimer toutes les intégrales en fonction non plus de 2, mais de 4 d'entre elles.

D'autre part 20)1, 27;,, 4*^n^^0) 4''0i''i 1^6 sont plus ici des constantes, mais des fonctions de x^ et il faut maintenant les développer suivant les puissances entières, positives et négatives de x. Ce développement peut se faire, soit par quadrature mécanique, soit par des procédés analytiques ainsi que je l'ai explic[ué à la fin du numéro précédent.

Nous remarquerons qu'il est préférable de faire la première intégration en prenant pour variable non pas y comme nous l'avons

fait plus haut, mais — ; il arrive alors que nos quantités w,, yi,, etc.

varient peu quand on fait varier x^ les variations étant de l'ordre des excentricités.

306. Seulement ce n'est pas la fonction perturbatrice elle-même qui figure dans les éc|uations différentielles du mouvement; ce sont les dérivées partielles de cette fonction si l'on emploie la méthode de la variation des constantes; ce sont les composantes de la force perturbatrice avec d'autres méthodes.

Si nous avions les coefficients de développement de la fonction perturbatrice sous la forme analytique, il serait aisé d'en déduire les coefficients correspondants dans le développement des dérivées partielles, ou des composantes de la force. Mais il n'en est plus de même si nous possédons seulement la valeur numérique de ces

coefficients, et c'est là tout ce que nous donnent les méthodes exposées dans le présent Chapitre. Cela nous oblige à examiner la question à ce point de vue nouveau.

Pas de difficulté en ce qui concerne la dérivée partielle suivant l'une des anomalies moyennes / ou /'. Si l'on a

-^ ni. m -L' 1

on trouve immédiatement

— — — 'V /w A ,'^H.ml^ni'l')

dl A -^'"^^'«'» ^

Pour les autres dérivées partielles, il s'agit (a étant l'un quelconque des éléments) de calculer

où

Si l'on veut les composantes de la force suivant trois axes rectangulaires, on aura à développer

en désignant par ^, v], Ç, ç', V, Zj les coordonnées rectangulaires des deux planètes.

Dans la méthode de Hansen [voir Tisserand, t. IV, Chap. XXI, p. 341) on considère les composantes de la force suivant trois axes particuliers et l'on est amené à envisager les combinaisons

Dans tous les cas, il s'agit de développer une expression de la

forme ■—, et - est encore de la même forme en faisant P =: A-. Ce A3 A

qui nous intéresse c'est que, quand on développe P suivant les anomalies excentriques, c'est-à-dire suivant les puissances entières, positives et négatives de. r et de y, ce développement ne contiendra qu'un nombre fini de termes.

Cela est vrai des coordonnées ç, "r^, ^, ^', r/, "Q et par conséquent

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de leurs combinaisons

Cela est vrai de à- et par conséquent de -j-- Il faudra donc opérer de la façon suivante :

i" On développei^a — suivant les anomalies excentriques. Les méthodes des numéros précédents Cjui visaient particulièrement — s'appliquent sans changement à — • et en particulier à — ■

2" On multipliera le développement de — par celui de P.

Ce dernier développement se réduisant à un nombre fini de termes, cette multiplication ne présente aucune difficulté.

3" On passera du développement de — suivant les anomalies

excentriques à celui de cette même quantité suivant les anomalies moyennes à l'aide de la formule (12) du Chapitre XVI.

Une dernière observation toutefois. Les dérivées -r t' -t— dont