TERMES D'ORDRE ÉLEVÉ
307. On peut être amené à rechercher une valeur approchée du coefficient Kmm' quand m et m' sont des entiers très grands en valeur absolue et cela pour deux raisons :
1° On peut se rendre compte ainsi de la rapidité de la convergence des séries ;
2" Un terme d'ordre élevé /V„i,„' peut donner lieu à une perturbation notable si, le rapport des moyens mouvements n et n' étant sensiblement commensurable, le diviseur mn -\- m' ii' devient très petit. Le coefficient de la perturbation de la longitude est alors de l'ordre de
A (mn -t- ni' n' )-
et il convient alors de calculer le coefficient K,n„i' sans avoir besoin des coefficients précédents. Le plus souvent, une fois ce calcul terminé, on reconnaîtra qu'il était inutile, parce que la valeur trouvée pour A,„„j' est trop petite. Il y a donc intérêt à se faire à'cwance une idée de l'ordre de grandeur de ces coefficients, et même à pouvoir en trouver rapidement une valeur approchée. C'est ce but qu'on peut espérer atteindre par l'emploi de la méthode de M. Darboux pour le calcul des fonctions de très grands nombres. Cette méthode repose sur les principes suivants :
1° Si une série
est convergente dans un cercle de rayon p', et que sur la circonférence de ce cercle elle possède un point singulier ^o? tel que dans le voisinage de ce point la fonction ©(5) soit développable suivant
l58 CHAPITRE XXIII.
les puissances entières, réelles croissantes et d'ailleurs fractionnaires ou même incommensurables, positives ou négatives, de
I — — , de telle façon que le premier terme du développement
z dont l'exposant ne soit pas entier soit
on aura approximativement pour n très grand
A rt^-i
2" Si le point singulier est logarithmique, c'est-à-dire si '^{z) est de la forme
Cp(s)=cpi(5) + l0g 1—— h>2(^),
C5, (z) et ©2(5) étant développables suivant les puissances réelles et
croissantes de 1 — —5 il faudra opérer de la façon suivante. Soient
s^ et s-2 les exposants du premier terme du développement de -j;, et de '^2 dont l'exposant n'est pas entier. Soit s^ l'exposant du premier terme de ©o, les exposants entiers n'étant pas exclus. Si 5, ^^o, on pourra appliquer la formule précédente en changeant s en Si. Si s^^s^, il faudra envisager le premier terme de cp^
Si 5o n'est pas entier négatif, on a approximativement
Aq «*'o~' \o^ii
et, si 5o est entier négatif ou nul,
3° Si la fonction C5(::) présente plusieurs points singuliers sur la circonférence du cercle de convergence, la valeur approximative de a,i sera la somme des valeurs approximatives partielles que l'on obtiendrait en considérant isolément les divers points singuliers;
TEiiMKS d'oudki-: élevé. iSg
4" Supposons que ''^{^■) soit de la forme
çp (^ ) = 2 «■■' 2" -^ 21 ^"-^~"'
et que cette série double converge dans une couronne comprise entre les deux cercles [^j^p,, |:;|=po, pi>>po- Alors la série
2^a,iZ" convergera pour |^|-<p) et ne présentera aucun point
sino-ulier sur le cercle 1 :;|^ On ni à l'intérieur. iVu contraire la
série 2,^^')-'" convergera pour | 5 | >■ po et ne présentera aucun
point singulier sur le cercle j:;|=p, ni à l'extérieur. La valeur asymptotic]ue de a« s'obtiendra d'après les règles précédentes en envisageant les points singuliers de 'f(^) sur le cercle |;[=p,; celle de b,i s'obtiendra d'après les mêmes règles en envisageant les
points singuliers de 'f (^), ou plutôt de 'f ( - ) sur le cercle | ^ | ^ po-
308. Comment ces principes peuvent-ils s'appliquer au problème qui nous occupe? Il semble d'abord C[u'ils sont faits uniquement pour les fonctions d'une seule variable. Aussi M. Flamme a-t-il commencé par décomposer le terme à évaluer en une somme dont chac[ue élément était le produit de deux facteurs dépendant chacun d'une seule variable, qui était l'anomalie moyenne de la première planète pour le premier facteur et celle de la seconde pour le second facteur.
Mais on peut opérer d'une autre manière. Soit
(i) m = an -+- b, <=^iiS^^^cn -r- d,
a, 6, c, d sont des entiers finis et donnés une fois pour toutes; n est un entier très grand; a et c sont premiers entre eux. Il faut calculer
^ mm' ^ i^an-i-b, cn^-d-
Nous avons
— 4tc-A,„,„'= / , ,- " ^= ■■
J x"'-y"' \/K[x, y) avec
jne ,' I \ m' e / i
l6o .. CHAPITRE XXIII.
Soit
ae / I \ ce' / i
èe / I \ de' / i
Notre intégrale deviendra
{■jl) I I I \ -< y
Considérons la fonction auxiliaire
Sous le signe > nous ne donnons pas à m et m' toutes les
valeurs, mais seulement celles qui sont de la forme (i); mais nous pouvons encore opérer de deux manières :
i" Nous pouvons donner à n toutes les valeurs entières positives, outre la valeur zéro; nous obtenons ainsi V intégrale de Féraud
E'-^-^Qdxdy
rpU yC
2" Nous pouvons donner à n toutes les valeurs entières positives, négatives ou nulles; la Ibnction ^{z) peut alors se mettre sous la forme d'une intégrale simple. Nous pouvons trouver deux entiers a et y tels que
puisque a et c sont premiers entre eux. Posons alors Nous avons le développement
- = 7 kniin E '■('"''+'«''"' =: V l^ , z<^ m+<^ m' fa m' -c m ^
TERMES D ORDRE ELEVE. l6l
Considérons alors l'intégrale simple
(4) / - tt'C-ad-\ z-'^a.b+^d) di
prise le long de la circonférence | i | r= i . Cette intégrale peut s'écrire
OÙ
L'intégrale / tv- dt est nulle à moins que u. ^ — i et alors elle
est égale à 2ï7ï; pour que pi := — i , il faut que m et m' soient de la forme (i); mais alors on a X = /i ; de sorte que l'intégrale (4) se réduit à
Ainsi, pour résoudre le problème qui nous occupe, nous n'avons qu'à rechercher la position et la nature des points singuliers de la fonction ^(s), et pour éviter toute confusion nous distyiguerons la fonction $,(3) de M. Féraud définie par l'intégrale double (3) et la fonction $0(3) définie par l'intégrale simple (4)-
309. Appliquons ces principes au calcul des coefficients de Laplace qui sont donnés par la formule
lTl6</^) = fp-^z/^-ldz,
avec
Considérons d'abord s comme fixe et faisons croître A", il s'agit de trouver le coefficient de z'' dans le développement de F
F-^ = (i — as)-*( I— ~
Cette fonction présente deux points singuliers, l'un sur le cercle extérieur à la couronne de convergence, 3=-, l'autre sur le
p. — II. II
l62 CHAPITRE XXIII.
cercle intérieur, ^ = a ; si nous supposons k positif et très grand, c'est le premier qu'il faut considérer.
Dans le voisinage de ce point, on a sensiblement
F--S = (i — a s )-■' ( I — 7.2 )-^, ce cjui nous donne asymptotiquement
•^ Fis) ^
Supposons maintenant k fixe et s très grand ; soit
Alors ziizbf^ sera le coefficient de [i" dans le développement de
l'intégrale
5^-1 dz
Les points singuliers de la fonction sous le signe / nous sont
donnés par
Il faut ou que ces deux équations aient une racine commune, ce qui donnerait [^ = o, solution à rejeter, ou que l'une d'elles ait une racine double. Nous pouvons exclure la première qui ne dépend pas de [i; il reste la seconde, qui a une racine double si
z=±i, p = (id=a)2.
La racine C|ui convient c'est (i — a)-.
Quelle est la nature de ce point singulier? Pour [3 très voisin de (i — a)-, les parties les plus importantes de l'intégrale seront celles qui correspondent aux valeurs de z voisines de i. On a alors sensiblemeiit ::=i, ^/Fr=i— a, de sorte que l'intégrale s'écrira sensiblement
(i — a) dz
La fonction sous le signe / est une fonction rationnelle dont il
TKRMES d'oRDBE ÉLKVÉ. i63
faut obtenir le résidu; or ce résidu est
étant donné par l'équation
Mais cette équation donne sensiblement
iî = '
Le résidu est donc
(i — a)\/a 2av/(i — a)"- — p
et l'intégrale est égale à ce résidu multiplié par liiz. Donc hf^ est le coefficient de j3" dans le développement de
2 AL (i-a)'J
c'est-à-dire
2v/â(i — a)2^-i p/i formule qui, on le remarquera, est indépendante de k.
310. La détermination des points singuliers de la fonction ^{z) ne présente pas de difficulté; on n'a qu'à applic^uer aux intégrales (3) et (4) les procédés du n" 282. Pas de difficulté non plus en ce qui concerne la nature de ces points singuliers, je me bornerai à renvoyer aux Méthodes de la Mécanique céleste, t. I, p. 322.
La difficulté provient de ce fait que tous les points singuliers ne conviennent pas et n'appartiennent pas à la branche considérée de la fonction ^(s). Nous avons vu en effet aux n"^ 282 et 283 quelle
CHAPITRK XXIII.
est la condition pour qu'une singularité de la fonction ^(z) convienne. Celte singularité se présente quand deux points singuliers
de la fonction sous le signe / se confondent et, pour que la singularité convienne, il faut que ces deux points singuliers soient, avant de se confondre, de part et d'autre du contour d'intégration.
Les points singuliers qui conviennent sont dits admissibles et il nous faut choisir, si nous adoptons l'intégrale (3), celui des points singuliers admissibles dont le module est le plus petit, et, si nous adoptons l'intégrale (4), celui des points singuliers adimissibles dont le module est le plus voisin de i .
La discussion pour reconnaître l'admissibilité des points singuliers est assez délicate et a été jusqu'ici le principal obstacle à l'emploi de cette méthode. J'ai indiqué dans les Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste les principes généraux qui permettent de faire cette discussion. Mais je n'ai appliqué ces principes qu'au cas où l'inclinaison est nulle, l'une des excentricités nulle et l'autre très petite. M. Hamj, dans le Journal de Liouville (1894 et 1896), a traité le même problème sans s'astreindre à la troisième condition. M. Goculesco, dans sa thèse, 1895, s'est occupé du cas où l'inclinaison est nulle, les deux excentricités petites et différentes de zéro et où la longitude du périhélie est la même. Enfin M. Féraud, dans sa thèse, 189'^, a traité le cas où l'inclinaison est finie et les deux excentricités nulles; il a d'ailleurs retrouvé les résultats de M, Hamy.
Il semble d'abord que la discussion doive être plus facile avec l'intégrale simple (4) qu'avec l'intégrale double (3); il n'en est rien, à moins que l'une des deux excentricités ne soit nulle, parce
que la fonction sous le signe / n'est pas une fonction uniforme
de ^, mais possède une infinité de déterminations, de sorte que la discussion ne pourrait se faire que par la considération d'une surface de Riemann à une infinité de feuillets'. Aussi, M. Féi^aud, en introduisant l'intégrale (3), a-t-il réalisé un sérieux progrès. Mais il faudrait faciliter la discussion des intégrales doubles et pour cela étudier les propriétés de leurs périodes. Nous avons déjà vu aux Chapitres XX et XXI l'importance que pourrait avoir cette étude.
Si, au lieu d'envisager le développement suivant les anomalies
TERMKS d'ordre ÉLEVÉ. l65
moyennes, on envisageait le développement suivant les anomalies excentriques, le problème serait considérablement simplifié. On reconnaîtrait, par exemple, que la fonction <ï*(5) satisfait à une équation différentielle linéaire à second membre dont les coefficients et le second membre sont des fonctions rationnelles de z.
Je n'insisterai pas davantage sur cette question, me bornant à renvoyer aux iMémoires cités et en particulier au Chapitre VT des Méthodes nouvel/es de la Mécanique céleste.
